重庆市南坪中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

20242025学年度高一上期数学12月月考卷数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知全集，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合交集、补集的知识求得正确答案.【详解】，阴影部分表示的集合为.故选：A2.“”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合充分不必要条件的定义，即可求解.【详解】根据充分不必要条件的定义，可得的一个充分不必要条件，即找集合的一个真子集，结合选项，可得集合是它的一个真子集.故选：B.3.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性即可.【详解】由指数函数的单调性可知，即，又，即，所以.故选：D.4.已知扇形的周长为12，半径为4，则该扇形的面积是（）A. B. C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】求出扇形的弧长，利用扇形面积公式求出答案.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得：，所以扇形的面积为.故选：C5.函数的零点所在的区间为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数在上都是增函数，所以在上单调递增，因为，所以的零点所在的区间为.故选：C.6.若，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【详解】因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C.7.已知函数，若，则正实数的值为（）A.1 B. C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】就、分类计算后可得方程的解.【详解】因为，故，而当时，有，故，故，而在为增函数，且，故，若，则，故，而，故在上无解，故的正实数解为，故选：C.8.《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（）（参考数据：，，）A.22倍 B.55倍 C.217倍 D.407倍【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为，则“进步值”与“退步值”比，两边取对数得，因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍.故选：B二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（）A. B.为偶函数C.为单调递增函数 D.的值域为【答案】ABD【解析】【分析】由幂函数定义可得，然后可得奇偶性，单调性，值域.【详解】对于A，因为幂函数，则，故A正确；对于B，由A，为偶函数，故B正确；对于C，在上单调递减，在上单调递增，则不为定义域上的单调递增函数，故C错误；对于D，注意到，则的值域为，故D正确.故选：ABD10.下列说法不正确的是（）A.已知，，若，则取值集合为B.的定义域为，则的定义域为C.不等式解集为，则D.“”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用集合的包含关系分类讨论即得；对于B，把函数符号内看成整体,将其范围代入计算即得；对于C，利用三个二次之间的关系，结合韦达定理找到数量关系即可推得；对于D，根据一元二次不等式恒成立问题，按参数分类讨论，数形结合即得.【详解】对于A，易知，对于集合，由，可知包括，或三种情况，故的取值集合为，故A错误；对于B，由的定义域为，可知，要求的定义域，需使，即，故的定义域为，故B错误；对于C，依题意，方程有两根为和，且，则解得，故，故C正确；对于D，由不等式对一切实数恒成立，可得：①当时，不等式为显然恒成立；②当时，由，可得.综上可得，的取值范围为，故D错误.故选：ABD.11.已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（）A. B.C. D.的取值范围为【答案】BCD【解析】分析】根据函数图象可得，即可结合图象，根据选项即可求解.【详解】作出的图象如下：令，则，故，，A错误，BC正确，令，则或，结合图象可知，D正确.故选：BCD第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.求值：__________.【答案】10【解析】【分析】利用有理数指数幂运算法则，对数的运算法则即可求解.【详解】解：；故答案为：10.13.函数的单调递增区间为_________．【答案】【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，结合指数函数和二次函数的单调性知识，求得函数的单调递增区间.【详解】函数在上递减，函数的对称轴是，且在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为.故填：.【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查指数函数和二次函数的单调性，属于基础题.14.已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】因为的定义域为，，所以为奇函数.因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增.因为为R上的奇函数，所以在上单调递增，因为，所以不等式即为，则.因为，所以，即.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式.四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分）15.设全集为，集合，，．（1）求，；（2）；（3）若，求实数a的取值范围．【答案】（1），.（2）（3）【解析】【分析】（1）由集合的交集与并集的运算求解即可；（2）由集合的补集运算与交集运算求解即可；（3）由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可.【小问1详解】集合，，所以，.【小问2详解】或，所以.【小问3详解】因为集合，，，则，故，所以实数a的取值范围.16.已知角满足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简，再由即可得到结果.（2）由及，即可得到结果.【小问1详解】原式，，原式.【小问2详解】，且，，.17.为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？【答案】（1）③,理由见解析（2）72万元【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解．（2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可.【小问1详解】对于模型①，，图象为直线，故①错误，由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，指数型函数是爆炸型增长，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③，【小问2详解】由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，，则，解得，，故所求函数为，，即，，，至少应完成销售利润72万元．18.已知定义在上的函数是奇函数.（1）求函数的解析式；（2）解不等式；（3）设函数，若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由奇函数性质利用可得，经检验可知符合题意；（2）根据（1）中解析式判断出函数的单调性，结合奇函数性质解不等式可得结果；（3）依据题意可得只需满足，结合指数型复合函数单调性求得可得结果.【小问1详解】因为定义域是上的奇函数，所以，即解得.经验证时，是奇函数.【小问2详解】设，则，因为在上递增，且在上递减，所以是上减函数，又因为在上是奇函数，则可转化为，且在是减函数，则，整理得，解得或，可得或，所以不等式的解集为或.【小问3详解】由题意可得因为，即，则，可得，所以的值域是，若，使成立，只需，设，则可知在[1，2]上单调递增，可知，即时，取到最大值为，所以，解得，所以实数的取值范围.【点睛】关键点点睛：本题求解实数的取值范围时关键在于将问题转化为求解的问题，再根据复合函数单调性计算解不等式即可.19.设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有.（1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②.（2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围；（3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”.【答案】（1）①是（满足性质1）；②不是（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数和，进行判定，即可求解；（2）若I为的“区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若I为的“区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解.【小问1详解】解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“区间”；②中，函数，当时，可得，此时不满足，所以区间不是函数的一个“区间”；所以①是（满足性质1）.②不是.【小问2详解】解：记，，可得，故若I为的“区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即；由，当时，在上单调递增，且，即，所以不包含于，不合题意；当时，，符合题意；当时，，所以，不合题意；综上可知，，即实数的取值范围是.【小问3详解】证明：对于任意区间，记，由已知得在I上单调递减，故，因为，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①，所以若