重庆市綦江区2023-2024学年八上期末数学试题（解析版）

八年级数学试题卷（本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色的签字笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.下列手机中的图标是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2.已知图中的两个三角形全等，则的度数是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可．【详解】解：第一个三角形中、之间的夹角为，是、之间的夹角，两个三角形全等，，故选：D．3.图1是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一、燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（）A.135° B.360° C.1080° D.1440°【答案】C【解析】【分析】根据正多边形的性质，利用每一个外角及内角都相等，结合多边形外角和为或者内角和公式求解即可得到答案．【详解】解：在正八边形中，每一个外角为，正八边形的每一个内角为，正八边形的内角和为；另解：由多边形内角和公式可得正八边形内角和为；故选：C．【点睛】本题考查正多边形内角和，涉及多边形性质，利用内角和及外角和均可求解，熟记多边形内角和公式及外角和为是解决问题的关键．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可．【详解】解：A.，原式错误；B.，计算正确；C.，原式错误；D.，原式错误；故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．5.肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：700纳米米米，故选：B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6.如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地．下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接NM′交直线m于Q．根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．故选：C．【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．7.如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（）A.图1、图2、图3 B.图2、图3、图4C.图1、图2、图4 D.图1、图3、图4【答案】A【解析】【分析】根据两种方法，求出面积，列出等式，即可得出结论．【详解】解：图1可以验证的公式为：，符合题意；图2可以验证公式为：，整理得：，符合题意；图3可以验证的公式为：，符合题意；图4可以验证的公式为：，不符合题意；故能验证平方差公式的是图1、图2、图3，故选A．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景．正确的识图，利用两种方法，表示出面积，是解题的关键．8.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.9.如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：；；；．正确的是（）A.①④ B.①③④ C.①②③ D.①②④【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质等知识，由角平分线的定义可得，，，，再根据三角形内角和，外角性质即可判断，明确角度之间的数量关系是解题的关键．【详解】解：∵为外角的平分线，平分，∴，，又∵是的外角，∴，故正确，∵，分别平分，∴，，∴，故错误，∵平分，平分，∴，，∴，∴是的外角，∴，故正确，综上所述正确结论是，故选：A．10.有个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（）①；②当时，第四个整式的值为81；③若第三个整式与第二个整式的差为21，则；④第2024个整式为．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查整式的加减、列代数式、以及代数式的求值，属于规律性的题目，繁琐，但只要理解题意，掌握规律即可解决，耐心会更好．根据已知条件找到规律即可解决．【详解】解：第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，，记为，，记为，，故①正确；以此类推：同理可得：，，，，由于第一个整式为，第二个整式为，第二个整式加上作为第三个整式，第三个整式为：，第三个整式加上作第四个整式，第四个整式为：，当时，，故②正确；第三个整式与第二个整式的差为，即，解得：，故③正确；根据题意，第五个整式为：第四个整式加，第五个整式为，同理第六个整式为，第七个整式为，第八个整式为，第2024个整式为，故④正确，故选：D．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知，则图2中的度数为______________．【答案】##度【解析】【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得．【详解】解：∵，∴，故答案为：．12.已知：如图，AB=DB．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是______．（写出一个即可）．【答案】AC=DC【解析】【分析】由题意可得，BC为公共边，AB=DB，即添加一组边对应相等，可证△ABC与△DBC全等．【详解】解：∵AB=DB，BC=BC，添加AC=DC，∴在△ABC与△DBC中，，∴△ABC≌△DBC（SSS），故答案为：AC=DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．13.因式分解：______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键．【详解】，，故答案为：，．14.一个长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，则的值为________．【答案】42【解析】【分析】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．利用长方形的性质得出和的值，进而将原式变形得出答案．【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，∴，故，，则．故答案为：42．15.如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________．【答案】12【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题．【详解】解：连接，∵是的垂直平分线，∴，∵，点D为边的中点，∴，∴周长，∴周长的最小值为，∵，点D为边的中点，∴，∵中，长为6，面积是27，∴，解得，∴周长的最小值为，故答案为：12．16.如图，将长方形纸片沿着翻折，使得点C落在边上的点处，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着翻折，使得点D落在点处．若，则_______．【答案】##60度【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠和平行线的性质结合角的和差计算即可．【详解】根据折叠的性质，得到正方形，长方形形，∴，，，∵，∴，根据第二次折叠，得，∴，∵，∴，故答案为：．17.若关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数a的和是_______．【答案】26【解析】【分析】本题考查的一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解题意是关键，本题先解不等式组根据解集的情况可得，再解分式方程结合解的情况可得且，再结合为整数，为非负整数，从而可得答案．【详解】解：，由①得：，由②得：，解得：，∵关于的不等式组至少有两个整数解，∴两个整数解为，；∴，解得：；∵，去分母得：，整理得：，∵关于的分式方程的解是非负整数，∴且，解得：且，∴且，∵为整数，为非负整数，∴的值为，，，，，10，∴；故答案为：26．18.若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“振兴数”，则最小的“振兴数”是_______；若一个“振兴数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“振兴数”m的最小值为______．【答案】①.1001②.4114【解析】【分析】本题考查了数的整除，新定义，正确理解定义，结合数的特点分析解答即可【详解】∵，且，∴当时，四位数最小，故答案为：1001；根据题意，得，k是正整数，∴，∵，，解得∵，∴，∴，∴，∴∴解得，故或，当时，或，当时，或，当时，或，当时，，∵m最小，∴，，根据，故，故最小数是4114，故答案为：4114．三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了乘方，零指数幂，绝对值，整式的乘除，根据公式计算即可．(1)根据乘方，零指数幂，绝对值计算即可．(2)根据整式的乘除计算即可．【小问1详解】．【小问2详解】．20.（1）计算：；（2）化简求值：，其中．【答案】（1）1（2），【解析】【分析】（1）根据分式运算法则、完全平方公式、平方差公式求解即可；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，再把的值代入计算即可．【详解】解：（1）原式=1；（2）原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式运算、分式化简求值、平方差公式以及完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．21.在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示．（1）在图中画出关于y轴对称的；（2）的顶点B关于x轴对称的点的坐标为：，A关于y轴对称的点的坐标为：；（3）求的面积．【答案】（1）见解析（2）（3）12【解析】【分析】本题考查了坐标的对称问题，分割法计算三角形的面积，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键．(1)根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可．(2)根据横不变，纵相反写出答案即可．(3)利用分割法计算即可．【小问1详解】∵与关于y轴成轴对称，，∴，画图如下：则即为所求．【小问2详解】∵，∴，故答案为：．【小问3详解】．22.如图，在中，，点在边上，．（1）作的平分线，交于点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接，．求证：垂直平分．证明：为的平分线，．，，在和中，，．．两点都在的垂直平分线上．垂直平分．【答案】（1）见解析（2），，，，、．【解析】【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．（1）根据题意作出图形；（2）证明．推出，可得结论．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】证明：为的平分线，．，，在和中，，．．，两点都在的垂直平分线上．垂直平分．故答案为：，，，，、．23.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．问题1：如图1，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接．（1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？（2）①问题1：如图1，若，则是“和谐三角形”吗？为什么？②问题2：如图2，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数．【答案】（1）是“和谐三角形”，见解析（2）①是“和谐三角形”，见解析；②或【解析】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键．（1）利用三角形内角和定理求得，再利用“和谐三角形”的定义解答即可；（2）①利用三角形内角和定理求得，再利用“和谐三角形”的定义解答即可；②利用分类讨论的方法，根据“和谐三角形”的定义解答即可．【小问1详解】解：是“和谐三角形”，理由如下：∵，∴，∴，∴是“和谐三角形”；【小问2详解】解：①是“和谐三角形”，理由如下：∵，∴，∵，∴．中，∵，∴，∴为和谐三角形”；在中，∵，∴，∴为和谐三角形”；②∵是“和谐三角形”，点D是线段上一点，∴或．当时，；当时，∵，∴，∴；综上，的度数为或．24.列方程（组）解应用题：綦江区某校为举行六十周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了312000元购进纪念画册和保温杯若干．已知纪念画册总费用占保温杯总费用的．（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多，而保温杯数量比纪念画册数量的3倍多1200个．求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？【答案】（1）纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元（2）每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意列方程组求解是解题的关键．(1)设纪念画册的总费用是x元，保温杯的总费用是y元，由题意得：解方程组即可．(2)设每个保温杯的进价是m元，则每本纪念画册的进价是元，根据题意，得，解答即可．【小问1详解】设纪念画册的总费用是x元，保温杯的总费用是y元，由题意得：，解得：，答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元．【小问2详解】设每个保温杯的进价是m元，则每本纪念画册的进价是元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元．25.（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B