2025年高考物理一轮复习（新人教新高考）第五章万有引力与宇宙航行复习讲义（教师版）

考情分析试题情境生活实践类地球不同纬度重力加速度的比较学习探究类开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型第1课时万有引力定律及应用目标要求1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。考点一开普勒定律开普勒三大定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。思考1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。(1)v1与v2大小什么关系？(2)试推导eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)。答案(1)v1>v2(2)证明：由开普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，则有eq\f(1,2)v1Δt·r1＝eq\f(1,2)v2Δt·r2，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)。2．把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。答案由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得：eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，即k＝eq\f(GM,4π2)。1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(√)2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。(×)例1(2023·广东清远市南阳中学检测)如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是()A．太阳位于焦点F1处B．S1>S2C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkND．在N和P处，小行星的加速度aN>aP答案B解析已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确；由动能定理，由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM<EkN，C错误；根据万有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知小行星在N处的引力小于在P处的引力，由牛顿第二定律F＝ma，得aN<aP，D错误。例2(2023·江苏无锡市期末)2021年2月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道(图中未画出)，进入近火点高度(离火星表面的高度)为h、远火点高度为H、周期为eq\f(1,5)T的火星停泊轨道。已知火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为()A.eq\r(3,\f(25,8))(H＋h) B.eq\r(3,\f(25,8))(H＋h＋2R)C.eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h) D.eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h＋2R)答案B解析根据开普勒第三定律可得eq\f(\f(H＋h＋2R,2)3,\f(T,5)2)＝eq\f(a3,T2)，解得a＝eq\r(3,\f(25,8))(H＋h＋2R)，故选B。考点二万有引力定律1．万有引力定律(1)内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝Geq\f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。(2)适用条件①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度大小g′地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)。1．地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。(×)2．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(√)3．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)例3(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5答案B解析万有引力定律表达式为F＝Geq\f(m1m2,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，选项B正确。例4假定太阳系中一颗质量均匀、可看作球体的小行星其自转原来可以忽略。现若该行星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的eq\f(2,3)。已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为()A.eq\f(9ω2,8πG)B.eq\f(ω2,3πG)C.eq\f(3ω2,2πG)D.eq\f(9ω2,4πG)答案D解析该行星表面“赤道”上的物体相对行星中心静止，忽略行星自转时，有eq\f(GMm,R2)＝FN，行星自转角速度为ω时，有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(2,3)FN＋mRω2，行星的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，解得ρ＝eq\f(9ω2,4πG)，故选D。万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。例5(2024·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是()答案D解析设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(M′,\f(4,3)πR－h3)，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有Geq\f(M′m,R－h2)＝mg，联立以上两式并整理可得g＝eq\f(GM,R3)(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误。考点三天体质量和密度的计算1．利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．利用运行天体已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。例6航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的密度ρ。答案(1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)解析(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)g月t2月球表面的自由落体加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)(2)不考虑月球自转的影响，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月，得月球的质量M＝eq\f(2hR2,Gt2)(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2)。例7(2023·辽宁卷·7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()A．k3(eq\f(T1,T2))2 B．k3(eq\f(T2,T1))2C.eq\f(1,k3)(eq\f(T1,T2))2 D.eq\f(1,k3)(eq\f(T2,T1))2答案D解析设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,r12)＝m月eq\f(4π2,T12)r1，Geq\f(m地m日,r22)＝m地eq\f(4π2,T22)r2，由几何关系有eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，根据ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，可得ρ地＝eq\f(m地,\f(4,3)πR地3)，ρ日＝eq\f(m日,\f(4,3)πR日3)，则eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)(eq\f(T2,T1))2，故选D。课时精练1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案C解析由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。2．(2024·山东青岛市调研)编号为2020FD2的小行星是中国科学院紫金山天文台发现的一颗近地小行星。科学家们观测到它的轨道如图所示，轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木星轨道半径，近日点在水星轨道内，远日点在木星轨道外。已知木星绕太阳公转的周期为11.86年，关于该小行星，下列说法正确的是()A．在近日点加速度比远日点小B．在近日点运行速度比远日点小C．公转周期一定小于11.86年D．在近日点的机械能比远日点小答案C解析根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可知，该小行星在近日点加速度比远日点大，故A错误；根据开普勒第二定律，该小行星在近日点运行速度比远日点大，故B错误；该小行星轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木星轨道半径，已知木星绕太阳公转的周期为11.86年，根据开普勒第三定律可知，该小行星的公转周期一定小于11.86年，故C正确；在同一轨道上，只有万有引力做功，机械能守恒，该小行星在近日点的机械能等于远日点的机械能，故D错误。3．位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为()A．年 B．年C．年 D．年答案A解析设地球与太阳距离为r，根据题述可知木星与太阳的距离R＝eq\r(r2＋kr2)＝设木星的公转周期为T，根据开普勒第三定律，则有eq\f(T2,T地2)＝，T地＝1年，解得T＝年，选项A正确，B、C、D错误。4．(2023·陕西商洛市山阳中学一模)过去几千年中，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51Pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1,20)，已知太阳的质量约为2×1030kg，则该中心恒星的质量约为()A．2×1030kg B．1×1029kgC．4×1028kg D．2×1028kg答案A解析根据万有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故该中心恒星与太阳的质量之比为eq\f(M1,M2)＝eq\f(r13,r23)·eq\f(T22,T12)＝eq\f(1,203)·eq\f(3652,42)≈1，所以该中心恒星的质量M1≈M2＝2×1030kg，故选A。5.(2021·山东卷·5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1B．9∶2C．36∶1D．72∶1答案B解析悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq\f(mM,R2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝Geq\f(M火m祝融,R火2)∶Geq\f(M月m玉兔,R月2)＝eq\f(9,22)×2＝eq\f(9,2)，故选B。6．2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知引力常量为G，由此可知地球的质量为()A.eq\f(2πp,G)B.eq\f(4πp,G)C.eq\f(4π2p,G)D.eq\f(2π2p,G)答案C解析卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，又由题可知r3＝pT2，联立解得M＝eq\f(4π2p,G)，C项正确。7．(多选)(2023·安徽滁州市期末)已知火星半径是地球半径的eq\f(1,2)，质量是地球质量的eq\f(1,9)，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是()A．该人以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是eq\f(9h,4)B．火星表面的重力加速度是eq\f(4,9)gC．火星的平均密度是地球平均密度的eq\f(8,9)D．该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的eq\f(2,9)答案ABC解析根据万有引力定律得F＝Geq\f(Mm,R2)，知eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝eq\f(1,9)×22＝eq\f(4,9)，该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的eq\f(4,9)，故D错误；根据Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得eq\f(g火,g地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝eq\f(1,9)×22＝eq\f(4,9)，则火星表面的重力加速度为eq\f(4,9)g，故B正确；根据ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)∝eq\f(M,R3)，可得eq\f(ρ火,ρ地)＝eq\f(M火R地3,M地R火3)＝eq\f(1,9)×23＝eq\f(8,9)，故C正确；因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的eq\f(4,9)，根据h＝eq\f(v02,2g)知该人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度是在地球上跳起的最大高度的eq\f(9,4)，为eq\f(9,4)h，故A正确。8．(2023·浙江温州市模拟)一卫星绕某一行星做匀速圆周运动，其高度恰好与行星半径相等，线速度大小为v。而该行星的环绕周期(即沿行星表面附近飞行的卫星运行的周期)为T。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.eq\f(v3T,2πG)B.eq\f(\r(2)v3T,2πG)C.eq\f(v3T,πG)D.eq\f(\r(2)v3T,πG)答案D解析设该行星的半径为R，质量为M，卫星的质量为m，根据题意，由万有引力充当向心力有Geq\f(Mm,2R2)＝meq\f(v2,2R)，对沿该行星表面附近飞行的卫星，则有Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(4π2,T2)R，解得M＝eq\f(\r(2)v3T,πG)，故选D。9.(2023·四川省成都七中模拟)如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星()A．做圆周运动的周期之比为2eq\r(\f(1,sin3θ))B．做圆周运动的周期之比为eq\f(1,sin3θ)C．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为eq\r(\f(1,sinθ))D．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为eq\f(1,sinθ)答案C解析夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有rB＝rAsinθ，由开普勒第三定律可得eq\f(TA2,TB2)＝eq\f(rA3,rB3)，则eq\f(TA,TB)＝eq\r(\f(1,sin3θ))，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝eq\f(t,T)·πr2，则eq\f(SA,SB)＝eq\f(TB,TA)·eq\f(rA2,rB2)＝eq\r(\f(1,sinθ))，C正确，D错误。10．(2023·陕西商洛市一模)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值eq\f(F1,F0)的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；(2)若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值eq\f(F2,F0)的表达式。答案(1)eq\f(F1,F0)＝eq\f(R2,R＋h2)0.98(2)eq\f(F2,F0)＝1－eq\f(4π2R3,GMT2)解析(1)在北极地面称量时，物体受到的重力等于地球的引力，则Geq\f(Mm,R2)＝F0，在北极上空高出地面h处称量时，有Geq\f(Mm,R＋h2)＝F1，则eq\f(F1,F0)＝eq\f(R2,R＋h2)。当h＝1.0%R时eq\f(F1,F0)≈0.98。(2)在赤道地面称量时，考虑地球的自转，地球的引力提供重力(大小等于弹簧测力计示数)与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的作用力，有Geq\f(Mm,R2)－F2＝mR(eq\f(2π,T))2得eq\f(F2,F0)＝1－eq\f(mR\f(4π2,T2),G\f(Mm,R2))＝1－eq\f(4π2R3,GMT2)。11．(2023·辽宁大连市一模)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙号”所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f(R－d2,R＋h2)C.eq\f(R－dR＋h2,R3) D.eq\f(R－dR＋h,R2)答案C解析设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小似近相等，有g＝Geq\f(M,R2)。由于地球的质量为M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(G·ρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR。质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”所在处的重力加速度g′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R)；根据Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg″，“天宫一号”所在处的重力加速度为g″＝eq\f(GM,R＋h2)，所以eq\f(g″,g)＝eq\f(R2,R＋h2)，eq\f(g′,g″)＝eq\f(R－dR＋h2,R3)，故C正确，A、B、D错误。

第2课时人造卫星宇宙速度目标要求1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.会分析天体的“追及”问题。考点一卫星运行参量的分析1．基本公式(1)线速度大小：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))。(2)角速度：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))。(3)周期：由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))。(4)向心加速度：由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)。结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。2．“黄金代换式”的应用忽略中心天体自转影响，则有mg＝Geq\f(Mm,R2)，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。3．人造卫星卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)同步卫星①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。②周期与地球自转周期相等，T＝24h。③高度固定不变，h＝3.6×107m。④运行速率约为v＝3.1km/s。(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85min(人造地球卫星的最小周期)。注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。思考(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止轨道卫星吗？(3)赤道上停放一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v＝eq\r(\f(GM,r))得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？答案(1)由a＝eq\f(GM,r2)及v＝eq\r(\f(GM,r))可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有相同加速度和速度大小(2)由于静止轨道卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止轨道卫星只能定点在赤道正上方(3)赤道上停放的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足v＝eq\r(\f(GM,r))，又由v＝ωr，A、B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。例1(多选)(2024·广东江门市联考)某品牌推出了全球首款支持卫星通信的智能手机，该手机的卫星通信功能，可以让我们在无信号环境下，通过天通一号卫星与外界进行联系。目前我国已发射有天通一号01、02、03三颗静止轨道卫星，天通一号卫星的运行轨道距地球表面的高度约为地球半径的5.6倍，关于该系列卫星，下列说法正确的是()A．不同质量的天通一号卫星的速率不相等B．运行速度都小于7.9km/sC．可以在北京的上空保持相对静止D．向心加速度约为地球表面重力加速度的eq\f(1,44)答案BD解析根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得地球卫星的速度大小v＝eq\r(\f(GM,r))，天通一号三颗卫星的轨道半径相等，则速率相等，与卫星的质量无关，故A错误；第一宇宙速度7.9km/s是近地卫星的环绕速度，也是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，而天通一号卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，故天通一号卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，B正确；天通一号卫星在地球静止轨道上运行，不可能在北京的正上空保持相对静止，故C错误；根据万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,5.6R＋R2)＝ma，据地球表面万有引力等于重力可得eq\f(GMm,R2)＝mg，联立可得a≈eq\f(1,44)g，故该系列卫星的向心加速度约为地球表面重力加速度的eq\f(1,44)，D正确。例2(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是()A．周期为2t1－t0B．半径为eq\r(3,\f(GMt1－t02,4π2))C．角速度的大小为eq\f(π,t1－t0)D．加速度的大小为eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))答案B解析由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得半径为r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝eq\r(3,\f(GMt1－t02,4π2))，故B正确；P的角速度为ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0)，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝(eq\f(2π,t1－t0))2·eq\r(3,\f(GMt1－t02,4π2))＝eq\f(2π,t1－t0)·eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D错误。例3(2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))答案C解析设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球绕地球公转，有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，联立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故选C。例4(多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R) B.eq\f(a1,a2)＝(eq\f(R,r))2C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))答案AD解析根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v12,r)，Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v22,R)，故eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，故选A、D。同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。比较项目近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力来源万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2>r1＝r3角速度ω1>ω2＝ω3线速度v1>v2>v3向心加速度a1>a2>a3考点二宇宙速度三个宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v1＝7.9km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度第二宇宙速度(逃逸速度)v2＝11.2km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度思考(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R＝6.4×103km，g＝9.8m/s2)答案(1)由Geq\f(m地m,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(Gm地,R))由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)(2)近地卫星运行周期T＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(6.4×106,9.8))s≈85min。例5(2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是()A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9km/sB．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶eq\r(5)D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案C解析卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq\r(5)，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝eq\f(7.9,\r(5))km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2km/s，故B错误；g地＝Geq\f(M地,R地2)，g火＝Geq\f(M火,R火2)，联立可得g地>g火，故D错误。宇宙速度与运动轨迹的关系1．v发＝7.9km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。2．7.9km/s<v发<11.2km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。3．11.2km/s≤v发＜16.7km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。4．v发≥16.7km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。例6航天员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R。求：(1)该星球的第一宇宙速度的大小；(2)该星球的第二宇宙速度的大小。已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－Geq\f(mM,r)。(G为引力常量)答案(1)eq\r(\f(v0R,t))(2)eq\r(\f(2v0R,t))解析(1)由题意可知该星球表面重力加速度为g＝eq\f(v0,t)，由万有引力定律知mg＝meq\f(v12,R)解得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(v0R,t))。(2)由星球表面万有引力等于物体重力知eq\f(GMm,R2)＝mg，又星球表面Ep＝－Geq\f(mM,R)，可得Ep＝－eq\f(mv0R,t)，由机械能守恒定律有eq\f(1,2)mv22－eq\f(mv0R,t)＝0，解得v2＝eq\r(\f(2v0R,t))。考点三天体的“追及”问题例7(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出()A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有eq\f(r火3,r地3)＝eq\f(T火2,T地2)，可得eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(r火3,r地3))＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，要发生下一次“火星冲日”，则有(eq\f(2π,T地)－eq\f(2π,T火))t＝2π，得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。天体“追及”问题的处理方法1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或eq\f(t,TA)－eq\f(t,TB)＝1。2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或eq\f(t′,TA)－eq\f(t′,TB)＝eq\f(1,2)。课时精练1．(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是()A．它的周期与地球自转周期相同B．它的周期、高度、速度大小都是一定的C．它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的D．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空答案AB解析地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，A正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，B正确，C错误；我国发射的同步通信卫星不可以定点在北京上空，D错误。2．设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A．质量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的万有引力大小答案C解析根据Geq\f(Mm,r2)＝man，可得an＝eq\f(GM,r2)，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不相同。故选C。3．(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云二号气象卫星和神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36000km，神舟号飞船离地面的高度是340km。以下说法中正确的是()A．它们的线速度都大于第一宇宙速度B．风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度C．风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度D．风云二号的周期大于神舟号飞船的周期答案BD解析根据万有引力提供做圆周运动的向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma＝mreq\f(4π2,T2)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。因为第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，由v＝eq\r(\f(GM,r))知它们的线速度都小于第一宇宙速度，且轨道半径大的线速度小，故A、C错误；由a＝eq\f(GM,r2)知轨道半径大的向心加速度小，故B正确；由T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))知轨道半径大的周期大，故D正确。4．(2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则()A．木卫一轨道半径为eq\f(n,16)rB．木卫二轨道半径为eq\f(n,2)rC．周期T与T0之比为D．木星质量与地球质量之比为eq\f(T02,T2)n3答案D解析根据题意可得，木卫三的轨道半径为r3＝nr。根据万有引力提供向心力有Geq\f(M木m三,r32)＝m三eq\f(4π2,T2)r3，可得r3＝eq\r(3,\f(GM木T2,4π2))，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1＝eq\f(nr,\r(3,16))，木卫二轨道半径为r2＝eq\f(nr,\r(3,4))，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；根据万有引力提供向心力，分别有Geq\f(M木m三,nr2)＝m三eq\f(4π2,T2)nr，Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T02)r，联立可得eq\f(M木,M地)＝eq\f(T02,T2)n3，故D正确。5．(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是()A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/sC．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离答案A解析因为“夸父一号”轨道要始终保持太阳光能照射到，则在一年之内转动360°，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题干信息不能求出日地间平均距离，故D错误。6．(2023·广东茂名市模拟)如图，“嫦娥五号”、“天问一号”探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量为月球质量的9倍、半径为月球半径的2倍。假设月球、火星均可视为质量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则()A．月球表面重力加速度比火星表面重力加速度大B．月球的第一宇宙速度比火星的第一宇宙速度大C．质量相同的物体在月球、火星表面所受万有引力大小相等D．“嫦娥五号”绕月周期比“天问一号”绕火星周期大答案D解析由mg＝Geq\f(Mm,r2)，可得g＝eq\f(GM,r2)，结合题意可得g月＝eq\f(4,9)g火，A项错误；由mg＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(gr)，所以v月＝eq\f(\r(2),3)v火，B项错误；由F引＝Geq\f(Mm,r2)，可知F月＝eq\f(4,9)F火，C项错误；由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，可知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以T月＝eq\f(3\r(2),4)T火，D项正确。7．(2023·湖北武汉市华中师范大学第一附属中学检测)在某国产科幻电影中，太空电梯是其重要的科幻元素，其结构主要由地面基座、缆绳、空间站、平衡锤、运载舱组成，如图所示。地面基座为缆绳的起始段，主要起到固定作用，空间站位于距离地表36000km的地球静止同步卫星轨道，并在距离地表90000km的尾端设置了平衡锤，空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载舱可沿缆绳上下运动。已知空间站、平衡锤与地球自转保持同步，则()A．平衡锤的加速度小于空间站的加速度B．平衡锤的线速度小于空间站的线速度C．平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万有引力D．若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，平衡锤将坠落地面答案C解析平衡锤和空间站的角速度相等，根据a＝rω2，可知平衡锤的加速度大于空间站的加速度；根据v＝rω，可知平衡锤的线速度大于空间站的线速度，故A、B错误；平衡锤受拉力和万有引力共同作用提供向心力，所以平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万有引力，故C正确；若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，则平衡锤所受引力不足以提供向心力，平衡锤做离心运动，故D错误。8.(2023·海南琼海市嘉积中学模拟)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止轨道卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是()A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>acC．a与地球的万有引力全部提供a随地球自转的向心力D．a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为Ta＝Tc>Tb答案D解析地球同步卫星不一定与c在同一个轨道上，但轨道半径相等，卫星的质量不相等，由万有引力定律F＝eq\f(GMm,r2)可知，它们受到的万有引力大小不相等，A错误；对于b、c，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，rc＞rb，所以ab＞ac，由于a、c做匀速圆周运动的周期相等，又a＝rω2，rc＞ra，可得ac＞aa，所以a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab＞ac＞aa，B错误；a与地球的万有引力一部分提供a随地球自转的向心力，C错误；对于a、c，其周期相等，所以Ta＝Tc，对于b、c，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，rc＞rb，所以Tc＞Tb，即a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为Ta＝Tc>Tb，D正确。9．(2024·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为()A.eq\f(gT,2π)B.eq\f(\r(5)gT,10π)C.eq\f(\r(5)gT,5π)D.eq\f(2\r(5)gT,5π)答案B解析由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得到星球的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝eq\f(2π,T)v1，得v1＝eq\f(gT,2π)，设火星的第一宇宙速度为v2，则eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(M2,M1))·eq\r(\f(R1,R2))，代入数据解得v2＝eq\f(\r(5),5)v1＝eq\f(\r(5)gT,10π)，故选B。10.(2024·广西南宁市模拟)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第56颗北斗导航卫星。该卫星属地球静止轨道卫星，是唯一一颗高轨备份卫星。图为其绕地球运行的示意图，测得该卫星在t时间内沿顺时针从A点运动到B点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星运动的()A．线速度大小为eq\f(Rθ,t)B．周期为T＝eq\f(2πt,θ)C．向心加速度大小为eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))D．轨道半径为eq\r(\f(gR2t,θ))答案B解析由T＝eq\f(2π,ω)和ω＝eq\f(θ,t)得T＝eq\f(2πt,θ)，故B正确；由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(θ,t))2r，又v＝ωr，Geq\f(Mm,R2)＝mg，联立解得v＝eq\r(3,\f(gR2θ,t))，r＝eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))，故A、D错误；由a＝ω2r，ω＝eq\f(θ,t)，r＝eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))，联立解得a＝eq\r(3,\f(gR2θ4,t4))，故C错误。11.(多选)(2023·河南开封市期末)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是()A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aC<aBB．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星AC．经过时间eq\f(T1T2,T1－T2)，卫星A与卫星B又一次相距最近D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度答案AC解析根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq\f(M,r2)，由题图可知rA＝rC>rB，则aA＝aC<aB，A正确；卫星C向后喷气加速做离心运动，不能追上同轨道的卫星A，B错误；根据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)－\f(2π,T1)))t＝2π，卫星A与卫星B又一次相距最近经过的时间为t＝eq\f(T1T2,T1－T2)，C正确；第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误。12．(多选)(2023·山东泰安市模拟)2021年2月10日，在历经近7个月的太空飞行后，我国首个火星探测器“天问一号”成功“太空刹车”，顺利被火星捕获，进入环火星轨道。物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能Ep＝－eq\f(GMm,r)(式中G为引力常量)。已知地球半径约为6400km，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，火星半径约为地球半径的eq\f(1,2)，火星质量约为地球质量的eq\f(1,9)。则以下“天问一号”相对于火星的速度大于火星第二宇宙速度的是()A．7.9km/s B．5.5km/sC．4.0km/s D．3.2km/s答案AB解析设物体在星球表面的速度为v2，当它脱离该星球引力时r→∞，此时速度为零，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mv22－eq\f(GMm,R)＝0，解得星球的第二宇宙速度v2＝eq\r(\f(2GM,R))。第一宇宙速度是星球表面附近卫星的最大环绕速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)，解得v1＝eq\r(\f(GM,R))，故火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比eq\f(v火1,v地1)＝eq\r(\f(M火R地,M地R火))＝eq\r(\f(2,9))，又v火2＝eq\r(2)v火1，代入数据解得火星第二宇宙速度v火2≈5.27km/s，故选A、B。

第3课时专题强化：卫星变轨问题双星模型目标要求1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。考点一卫星的变轨和对接问题1．卫星发射模型(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有Geq\f(Mm,r12)＝meq\f(v2,r1)，如图所示。(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Geq\f(Mm,r12)<meq\f(vA2,r1)，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在椭圆轨道B点(远地点)，Geq\f(Mm,r22)>meq\f(vB2,r2)，将做近心运动，再次点火加速，使Geq\f(Mm,r22)＝meq\f(vB′2,r2)，进入圆轨道Ⅲ。思考若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？答案使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA>v1>v3>vB。(2)向心加速度在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA>aB。(均选填“>”“＝”或“<”)(3)周期卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1<T2<T3。(4)机械能在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1<E2<E3。例1(2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则()A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为(eq\f(h,R＋h))2gB．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为eq\r(\f(gR2,R＋h))C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能答案B解析卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma＝meq\f(v2,R＋h)，在地球表面附近由mg＝Geq\f(Mm,R2)得GM＝gR2，所以卫星在轨道Ⅲ上的加速度大小为a＝(eq\f(R,R＋h))2g，线速度大小为v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，故A错误，B正确；卫星的线速度大小为v＝eq\r(\f(GM,r))，卫星在圆轨道上运行的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，可知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，故C错误；卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能，故D错误。例2北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是()A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可答案D解析根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。考点二双星或多星模型1．双星模型(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2。②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。思考(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？答案由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)，由a＝ω2r及m1ω2r1＝m2ω2r2得eq\f(a1,a2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)。(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1＋m2)的关系怎样？答案由eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1＝m2eq\f(4π2,T2)r2及r1＋r2＝L，得eq\f(L3,T2)＝eq\f(Gm1＋m2,4π2)或m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。例3(2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1。则()A．根据图乙可以判断出k>1B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小答案B解析设P、Q之间的距离为L，P做圆周运动的轨道半径为r1，Q做圆周运动的轨道半径为r2，角速度为ω，则有Geq\f(mPmQ,L2)＝mPω2r1，Geq\f(mPmQ,L2)＝mQω2r2，联立可得eq\f(mP,mQ)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(k,1)，由于r1>r2，则k<1，故A错误；根据线速度与角速度之间的关系有vP＝ωr1，vQ＝ωr2，r1＋r2＝L，则vP＋vQ＝ω(r1＋r2)＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；根据Geq\f(mPmQ,L2)＝mPeq\f(vP2,r1)，可得vP＝eq\r(\f(GmQr1,L2))＝eq\r(\f(GmQ2,LmP＋mQ))，故C错误；根据Geq\f(mPmQ,L2)＝mPeq\f(4π2,T2)r1，Geq\f(mPmQ,L2)＝mQeq\f(4π2,T2)r2，可得T＝2πeq\r(\f(L3,GmP＋mQ))，若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运行的周期将变大，故D错误。2．多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律：常见的三星模型①eq\f(Gm2,2R2)＋eq\f(GMm,R2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向常见的四星模型①eq\f(Gm2,L2)×cos45°×2＋eq\f(Gm2,\r(2)L2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＋eq\f(GMm,\f(L,\r(3))2)＝ma向例4(2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为()A.eq\f(R,2r)eq\r(\f(3R,5r)) B.eq\f(r,R)eq\r(\f(3r,5R))C.eq\f(r,R)eq\r(\f(3R,5r)) D.eq\f(2R,r)eq\r(\f(3R,5r))答案D解析第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心力，则Geq\f(mm,R2)＋Geq\f(mm,2R2)＝meq\f(4π2,T12)R，解得T1＝4πReq\r(\f(R,5Gm))，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为R′＝eq\f(\r(3)r,3)，星体A所受合力F合＝2Geq\f(mm,r2)·cos30°，根据合力提供向心力有2Geq\f(mm,r2)·cos30°＝meq\f(4π2,T22)·eq\f(\r(3)r,3)，解得T2＝2πreq\r(\f(r,3Gm))，则T1∶T2＝eq\f(2R,r)eq\r(\f(3R,5r))，故选D。考点三星球“瓦解”问题黑洞问题1．星球的瓦解问题当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq\f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq\r(\f(GM,R3))。当ω>eq\r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ω<eq\r(\f(GM,R3))时，星球稳定运行。2．黑洞黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞。例52018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A．5×109kg/m3 B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3答案C解析毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有Geq\f(Mm,r2)≥mreq\f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq\f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥eq\f(3π,GT2)＝eq\f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32)kg/m3≈5.2×1015kg/m3，故选C。例6科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于()A.eq\f(2v12R,kc2)B.eq\f(2kc2R,v12)C.eq\f(kv12R,2c2)D.eq\f(2kv12R,c2)答案D解析地球的第一宇宙速度为v1＝eq\r(\f(GM,R))，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝eq\r(\f(GkM,r))，并且有eq\r(2)v2>c，联立解得r<eq\f(2kv12R,c2)，所以D正确，A、B、C错误。课时精练1.(2023·江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分，在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一号”在飞往火星的过程中()A．速度变大 B．速度不变C．加速度变小 D．加速度不变答案C解析“天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可知，“天问一号”与太阳之间的距离变大，加速度变小，故C正确，D错误。2．(2023·山东济南市模拟)2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是()答案A解析要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝meq\f(v2,r)，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。3．(2023·河南南阳市期中)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示。天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ上，运行周期为T1，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船()A．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期B．沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能增大C．在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度D．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1eq\r(\f(r1＋r3,2r1)3)答案D解析对神舟十二号飞船，由万有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r