2019年全国高中数学联赛贵州省预赛及解析

2019年全国高中数学联赛贵州省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1.已知等差数列{an}的公差d≠0，且，则{an}的前15项之和S15等于（）A.15 B.16 C.30 D.322.方程组的解的组数是（）A.5 B.6 C.7 D.83.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15，BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中(含边AB、BC)长度为整数的线段条数是（）A.9 B.10 C.11 D.124.已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为，则此三棱锥的高h与其内切球半径r之比是（）A.5 B.6 C.7 D.85.设椭圆C：的左、右焦点分别为，其焦距为2c.点在椭圆的内部，点M是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题6.如图，在△ABC中，AB=30，AC=20，S△ABC=210，D、E分别为边AB、AC的中点，∠BAC的平分线分别与DE、BC交于点F、G，则四边形BGFD的面积为________.7.已知函数，若m满足，则实数m的取值范围是____________.8.若半径的空心球内部装有四个半径为r的实心球，则r所能取得的最大值为____________.9.在△ABC中，.则____________.10.已知正项数列的前n项和为.若,均为公差为d的等差数列，则________.11.已知m∈{11，13，15，17，19}，n∈{2000，2001，…，2019}，则mn的个位数是1的概率为____________.12.已知方程的五个根分别为，f(x)=x2+1，则____________.13.若(a+b)n的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数n=____________.14.求平面区域的面积为____________.15.已知集合A={1，2，3，…，2019}，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为____________.评卷人得分三、解答题16.我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.17.已知定长为4的线段AB的两端点，分别在两条相交直线x±2y=0上移动.（1）设线段AB的中点为G，求点G的轨迹C的方程；（2）若由点P向曲线C作出的两条切线互相垂直，求证：动点P在定圆上.18.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：.

参考答案1.A【解析】1.因为等差数列{an}的公差d≠0，由，所以，进而，因此.所以有.故选：A.2.B【解析】2.如图，分别画出与的图象，从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.3.D【解析】3.因为顶点B到斜边AC的距离为12，所以顶点B与斜边各点的连线中长度为13、14、15的线段各有两条，长度为12、16、17、18、19、20的线段各有一条，故满足条件的线段共有2×3+6=12条.故选：D.4.C【解析】4.如图，过正三棱锥V－ABC的侧棱VC及高VG作截面交AB于点M，则内切球O与侧面相切的切点N在VM上.在△VGM中，，故，得到.故选：C.5.D【解析】5.由在椭圆的内部，得，即，从而，得到，因此.因为0<e<1，所以3e2－4<0，故3e2<1，得到.又由恒成立，即恒成立，等价于，亦即，等价于，即，得到.综上，得.故选：D.6.【解析】6.如图，在△ABC中，由AG平分∠BAC知，故.又S△ABC=210，则.由D、E分别为边AB、AC的中点知，所以△ADF∽△ABG.由，得到，故.故答案为：．7.【解析】7.由，得到f(－x)=f(x)，且x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数.又由得到.所以，故，得到.即m的取值范围是.故答案为：．8.2【解析】8.当半径为r的四个实心球“最紧凑”时，即此四个球两两相切且内切于空心球时，r取得最大值.此时，小球的四个球心连线构成棱长为2r的正四面体，显然，此四面体外接球的球心即为实心球球心.在棱长为2r的正四面体中，求得外接球半径为.于是，空心球的半径为，所以，解得r=2.故答案为：2．9.【解析】9.设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.由，知G为△ABC的重心.又GA⊥GB，所以.得到.故：.故答案为：．10.【解析】10.根据两个数列是等差数列，结合特殊的几项，寻找等量关系，解方程求解.因为数列的前项和为，故，，，又也是公差为的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②-①可得：③把③代入①得：.故或，因为数列为正项数列，故舍去；当，代入③解得.故.故答案为：.11.【解析】11.当m=11，n∈{2000，2001，…，2019}时，mn的个位数都是1，此时有20种选法；当m=13，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn的个位数都是1，此时有5种选法；当m=15时，mn的个位数不可能为1，此时有0种选法；当m=17，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn的个位数都是1，此时有5种选法；当m=19，n∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m的个位数都是1，此时有10种选法.综上，所求概率为.故答案为：．12.37【解析】12.设，则.又f(x)=x2+1=(x－i)(x+i)，所以.故答案为：37．13.959【解析】13.设(a+b)n的展开式中连续三项的二项式系数为.因为，所以，得到①由n为正整数，则8k+9应为奇完全平方数，故设8k+9=(2m+1)2，即，代入①式得n=(m+1)2－2或n=m2－2.所以，三位正整数n的最大值为959.故答案为：959．14.【解析】14.由，得到，所以有或.由，得.所以或，画出(x，y)的可行域(图中阴影部分)，从而求得平面区域的面积为.故答案为：．15.2019【解析】15.集合A的22019－1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2019，1×2，1×3…，2018×2019，…，1×2×…×2019，它们的倒数和为.故答案为：2019．16.能，方案见解析【解析】16.因为不存在正十面体，所以直接产生“十进制骰”是办不到的.但要实现“十进制骰”的要求，这样的骰子也是能设计的.即把骰子做成正二十面体，使其相对两面标同一个数字，这样0~9这十个数字就均匀分布在骰子上，当掷一次骰子时，最上面出现的数字必然是0~9这十个数字之一，显然，每个数字出现的可能性一样故“个位骰”即为“二十面骰”.17.（1）；（2）证明见解析【解析】17.（1）设A、B、G的坐标分别为，则.得到，因此有.所以，点G的轨迹C的方程为：.（2）设，PS、PT与椭圆C相切于S、T，椭圆C的左、右焦点分别为关于PS、PT的对称点分别为.由椭圆的光学性