【八年级上册数学】-角度计算模型专项训练之8字型专题

第八上数学：角度计算模型专项训练之8字型专题1．如图所示，∠α的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°2．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°3．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°4．如图，线段AB、CD相交于点O，AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，当∠B＝50°，∠D＝40°时，∠E的度数是．5．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝°．7．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DF平分∠ADE，BF平分∠ABC．设∠A＝n°，求∠F的度数（用含n的式子表示）．8．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝°．（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．9．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．（1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）请利用（1）的结论探索下列问题：①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP=14∠BAD，∠BCP10．（1）如图1，求证∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度数；（3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点O，请探究∠O与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论．11．在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．12．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数；③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．13．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP14．探究与发现：平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O．（1）如图1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数；（2）如图2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM=13∠BAD，∠BCM（3）如图3，设∠B＝x°，∠D＝y°，∠BAM=1n∠BAD，∠BCM15．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP16．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是；（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝；（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4）如图4，如果∠MCD=13∠BCD，∠NDE17．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝（用含有α和β的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=1拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．

参考答案与试题解析1．如图所示，∠α的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．2．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故选：B．3．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．4．如图，线段AB、CD相交于点O，AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，当∠B＝50°，∠D＝40°时，∠E的度数是45°．【解答】解：∵AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，∴∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE，∴由三角形内角和定理得：∠DAE+∠D＝∠DCE+∠E，∠BAE+∠E＝∠BCE+∠B，∴∠D﹣∠E＝∠E﹣∠B，∴∠E=1∵∠B＝50°，∠D＝40°，∴∠E＝45°，故答案为：45°．5．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°．【解答】解：连接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案为：360°．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【解答】解：连接CF，∵∠D+∠E+∠DOE＝∠OCF+∠OFC+∠COF＝180°，∠DOE＝∠COF，∴∠D+∠E＝∠OCF+∠OFC，∵∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．7．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DF平分∠ADE，BF平分∠ABC．设∠A＝n°，求∠F的度数（用含n的式子表示）．【解答】解：∵DF平分∠ADE，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝2∠ADF，∠ABC＝2∠ABF，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠ADE，∴∠BCD＝∠ADE＝2∠ADF，∵∠ABF+∠A＝∠F+∠ADE，∴∠ABF＝∠F+∠ADE﹣n°，∠BCD＝∠A+∠ABC，∴2∠ADF＝n°+2∠ABF，∴2∠ADF＝n°+2（∠F+∠ADE﹣n°）＝n°+2∠F+2∠ADE﹣2n°，∴∠F=18．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝110°．（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．【解答】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°，∴∠C+∠D＝110°，故答案为：110；（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°，∴2∠1+2∠3＝120°，∴∠1+∠3＝60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，∴∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE﹣∠BED＝6°②，联立①②得∠ADE+∠BED=60°∠ADE−∠BED=6°解得∠ADE=33°∠BED=27°∴∠BED＝27°．答：∠BED的度数为27°．9．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．（1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）请利用（1）的结论探索下列问题：①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP=14∠BAD，∠BCP【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1），得∠1+∠D＝∠3+∠P，①，∠4+∠B＝∠2+∠P．②，①+②，得∠1+∠4+∠B+∠D＝∠2+∠3+2∠P，即2∠P＝∠B+∠D，∴∠P=1（3）设∠6＝x，∠8＝y．∵∠BAP=14∠BAD∴∠5＝3x，∠7＝3y，由（1），得∠5+∠D＝∠7+∠P，∠6+∠P＝∠8+∠B，即3x+β＝3y+γ，x+γ＝y+α，∴3（x﹣y）＝γ﹣β，x﹣y＝α﹣γ，∴3（α﹣γ）＝γ﹣β，即4γ＝3α+β．∴α，β，γ之间的数量关系是4γ＝3α+β．10．（1）如图1，求证∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度数；（3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点O，请探究∠O与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论．【解答】（1）证明：记AD与BC的交点为E，则∠AEC为△ABE与△CDE的外角，∴∠AEC＝∠A+∠B，∠AEC＝∠D+∠C，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：记AD与BC的交点为E，AD与BP的交点为F，记PD与BC的交点为G，∵AD与BP交于点F，PD与BC交于点G，∴∠A+∠ABP＝∠P+∠ADP，∠P+∠PBC＝∠C+∠PDC，∴2∠P+∠ADP+∠PBC＝∠A+∠ABP+∠C+∠PDC，∵BP、DP分别平分∠ABC和∠ADC，∴∠ABP＝∠PBC，∠ADP＝∠PDC，∴2∠P＝∠A+∠C，∵∠A+∠C＝50°，∴2∠P＝50°，∴∠P＝25°．（3）解：∠O＝180°−1∵AO平分∠BAD的外角，CO平分∠BCD的外角，∴∠OAE=12（180°﹣∠BAD），∠OCE∴∠OAE+∠OCE=12（180°﹣∠BAD）+1由（1）得，∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD＝∠AEC，∴2∠AEC＝∠B+∠D+∠BAD+∠AEC，∴∠AEC=1∴∠O＝360°﹣∠OAE﹣∠OCE﹣∠AEC＝360°﹣[180°−12（∠BAD+∠BCD）]−111．在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．12．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数；③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①以M为交点的有1个，为△AMD和△CMP，以O为交点的有4个，为△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，以N为交点的有1个，为△ANP和△BNC，故答案为6个；②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P，∴∠P=50°+40°③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：由（1）中结论得：∠2+∠P＝∠4+∠B，3∠2+∠D＝3∠4+∠B，整理得：2∠B+∠D＝3∠P．13．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为260°．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P=12（∠B+∠C）②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP=14∠CAB，∠CDP∴∠BAP=34∠CAB，∠BDP以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP=1∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP=3∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．14．探究与发现：平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O．（1）如图1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数；（2）如图2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM=13∠BAD，∠BCM（3）如图3，设∠B＝x°，∠D＝y°，∠BAM=1n∠BAD，∠BCM【解答】解：（1）如图1，设∠COD＝x°，则∠AOB＝∠COD＝x°，△COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣42°﹣x＝138°﹣x，∵CM平分∠BCD得到：∠BCM=12∠BCD＝69°同理：∠BAM＝∠MAD＝78°−1在△ABP中利用三角形内角和定理得到∠APB＝180°﹣24°﹣（78°−12x）＝78°则∠CPM＝∠APB＝180°﹣24°﹣（78°−12x）＝78°在△CPM中三内角的和是180°，即：（69°−12x）+（78°则∠AMC＝33°；（2）如图2：设∠COD＝x°，则∠AOB＝∠COD＝x°，△COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣32°﹣x＝148°﹣x，∵CM平分∠BCD得到：∠BCM=13∠BCD同理：∠BAM＝∠MAD=130°在△ABP中利用三角形内角和定理得到∠APB＝180°﹣50°﹣（130°3−1则∠CPM＝∠APB＝180°﹣50°﹣（130°3−1在△CPM中三内角的和是180°，即：（148°3−1136°+∠AMC＝180°所以∠M＝44°．（3）∠M＝∠B+1n（∠BAD﹣∠BCD）＝∠B+1n（∠D﹣∠B）＝x+115．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP【解答】解：（1）设AD与BC的交点为点O，则∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）①由（1）得：∠P+∠PBC＝∠CDP+∠C，∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，两式相加得：2∠P+∠PBC+∠ADP＝∠A+∠C+∠CDP+∠ABP，∵BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠PBC＝∠ABP，∠ADP＝∠CDP，∴∠C+∠A＝2∠P，∴∠P=1②由①可得：∠C+∠A＝2∠P；（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，∴14∠A+14∠ABC=∴14∠A+∠CBQ设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，两式相减可得：∠BOD−14∠A∴∠BOD−14∠A∴45°−14∠A∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，∴45°−14∠A即∠A+3∠C+4∠P＝180°．16．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝90°−12（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4）如图4，如果∠MCD=13∠BCD，∠NDE【解答】解：（1）如图1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，设∠PCD＝x，∠ADP＝y，∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE，∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y，∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，∴∠COD＝2∠P，∵∠COD+∠A+∠B＝180°，∴2∠P+∠A+∠B＝180°，∴∠P＝90°−1故答案为：90°−1（3）如图3，延长CM、DN交于点P，由（2）知：∠P＝90°−1∵∠A+∠B＝80°，∴∠P＝50°，∴∠PMN+∠PNM＝130°，∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣130°＝230°；（4）如图4，延长CM、DN交于点P，设∠PCD＝x，∠ADP＝2y，同理得：∠P＝y﹣x，∠COD＝3y﹣3x，∴∠COD＝3∠P，∴3∠P+∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠B＝n°，∴∠P=180°−n°∴∠PMN+∠PNM＝180°−180°−n°3=∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（120°+13n°）＝240°17．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为25°；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为∠P=∠B+∠D2【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代数式表示），∠P＝α+β−180°2应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝