专题10 因式分解的应用

2022-2023学年苏科版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题10因式分解的应用姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•江阴市期中）若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．20192．（2分）（2022春•济南期末）已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a+b+c）（b+c+d），N＝（a+b+c+d）（b+c），那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定3．（2分）（2021秋•江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．（2分）（2021秋•綦江区期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，a2+b2≠c2，是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2分）（2021春•渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．（2分）（2020秋•黔江区期末）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和677．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣188．（2分）（2022秋•丰泽区校级期末）当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（）A．5 B．6 C．7 D．89．（2分）（2022春•宁远县月考）对于任何整数a，多项式（2a+5）2﹣5都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被a整除10．（2分）（2022春•安乡县期中）现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．小涵的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．若对于多项式（x4﹣y4），因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若x＝10，y＝6，则（x﹣y）＝4，（x+y）＝16，（x2+y2）＝136，于是可将“416136”作为密码．对于多项式9x3﹣xy2，小涵用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是（）A．123933 B．339321 C．333912 D．391233评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•兴化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．12．（2分）（2022春•柯桥区期中）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如，52﹣32＝16，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有．13．（2分）（2022春•温江区校级期中）如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．（1）87的“黄金搭档数”是；（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，则s的值．14．（2分）（2022春•包河区期中）若实数a，b，c，d满足8a2+7c2＝16ab，9b2+4d2＝8cd，则a+b+c+d＝．15．（2分）（2021秋•仁寿县期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于．16．（2分）（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为．17．（2分）（2022春•东乡区期中）计算：12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝．18．（2分）（2021春•井研县期末）定义：对于四位自然数m，若其千位数字与个位数字之和为7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数m为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为3+4＝7，2+5＝7，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为1+6＝7，4+5≠7，所以1456不是“七巧数”．（1）若一个“七巧数”的千位数字为a，则其个位数字可以表示为；（用含a的代数式表示）（2）若“七巧数”m的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请写出一个满足条件的“七巧数”．19．（2分）（2022秋•万全区期末）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．20．（2分）（2021秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•莱阳市期中）如图，将一块边长为acm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为bcm（b＜）的小正方形．试用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并用分解因式法求当a＝9.7cm，b＝0.15cm时，剩余部分的面积．22．（8分）（2022春•吴江区期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为．23．（9分）（2022春•北海期末）一般地，我们把如a2﹣2ab+b2及a2﹣2ab+b2的多项式叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．再如：求代数式x2+4x﹣5的最小值．因为x2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9且（x+2）2≥0所以，当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．根据以上材料，回答下列问题：（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝；（2）代数式x2+2x+3的最小值是；（3）试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．24．（9分）（2022春•禅城区期末）[阅读材料]“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．[方法应用]根据以上材料提供的方法，完成下列问题：（1）由图2可得等式：；由图3可得等式：；（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝；（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+y+z＝；（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为．[方法拓展]已知正数a，b，c和m，m，l满足a+m＝b+n＝a+l＝k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．25．（8分）（2022春•北碚区校级期末）对任意一个三位数n，其各个数位上的数字互不相同且都不为0，如果十位数字与个位数字之和能被百位数字整除，则称n为“乐数”．例如：417是“乐数”，因为1+7＝8，8能被4整除；536不是“乐数”，因为3+6＝9，9不能被5整除．（1）判断351和317是否是“乐数”？请说明理由；（2）求出十位数字比个位数字大5的所有“乐数”．26．（10分）（2022春•吴江区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．27．（10分）（2022春•淮安区期末）拼图是一种数学