西安市2025届高考模拟考试试题（一）数学试题

西安市2025届高考模拟考试试题（一）数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取，（，=1,2）个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后

放回，此时盒中黑球的个数X,（i=1,2）,贝“）

A.P（X1=3）＞P（X2=3）,EX.＞EX.B.P（X,=3）＜P（X2=3）,EXi＞EX?

C.P（X,=3）＞P（X2=3）,EX'EX?D.P（X,=3）＜P（X2=3）,EXi＜EX2

22

2.已知椭圆三十乌=13汕＞0）与直线1—^二1交于A,〃两点，焦点F（0,-c）,其中c为半焦距，若△A。尸是直角

crb,ab

三角形，则该椭圆的离心率为（）

A,昱B.皿「6+1nV5+1

2244

3.已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且P（X＜2）=P（XN〃），则。二（）

A.3B.5C.6D.7

4.在AA3C中，内角A氏。所对的边分别为o,4c,若一1T，—1T,—1不依次成等差数列，则（）

tanAtanBtanC

A.4。,C依次成等差数列B.人依次成等差数列

C.//IS依次成等差数列D.//3,/依次成等差数列

x-y＜0,

5.若x,y满足约束条件文+），42•则z=5=的取值范围为（）

y+2

x+l＞（）,

24242

A.[-,-JB.[-,3]C.[-,2]D.[-,2]

53535

6.设S〃为等差数列｛《』的前〃项和，若2（2+/+%）+3（必+42）=66,贝！JS9=

A.56B.66

C.77D.78

7.设集合同={#2+3工+2>0},集合N={x［（与Y4},贝ijM2N=I）

A.1x|x>-2}B.C.|x|x<-21D.R

8.若直线2x+4），+相=0经过抛物线y=2V的焦点，则机=（）

11

A.-B.——C.2D.-2

22

9.已知函数y=log,*+c）（a,。是常数，其中。>0且awl）的大致图象如图所示，下列关于。，。的表述正确

的是（）

A.a>\,c>\B.a>\t0<c<l

C.0<6f<1,c>\D.0<a<l,0<c<I

】。.已知函数“MsimwMwa网为的的零点,广»3=小）图象的对称轴,且小）

*rTT

在区间（2,;）上单调，则。的最大值是（）

A.12B.11C.10D.9

11.函数>=则二D（x«—跖0）或x<0,句）的图象大致是（）

X

71

,iCI式W冗\/X、

sinx-\■——2KTT---,2攵%+一（攵£Z）,

.22，

12.己知函数），=（I2J的图象与直线），=〃?（x+2）（帆>0）恰有四个公共

.乃2\

-sinx+—xe2k7r+—,2k^+—（kGZ）,

I2L22）

点八（工］,凶）,占（七,乃）,。.（巧,先），^（如乂），其中xK%OsVs,贝!］（总+2）1011%4=<）

V2

AB.0C42

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知AABC中，AB=3C,点D是边BC的中点,AABC的面积为2,则线段A力的取值范围是1

14.已知数列｛〃“｝与与-均为等差数列(〃£“)，且4=2,则4。=.

15.如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折

痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三

棱柱的体积为.

16.已知点尸为双曲线E：九2一点.=1(人>0)的右焦点，M,N两点在双曲线上，且M,N关于原点对称，若

MFINF,设4MNF=6,且二,则该双曲线E的焦距的取值范围是_______.

126

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/")=2or+Z?.x-l-21nx(aeR).

(I)当人=0时，讨论函数的单调区间；

(II)若对任意的。引1,3］和x£(0,+8)，/*)N2以-3恒成立，求实数〃的取值范围.

18.(12分)已知抛物线。：产=23(〃>0)的焦点为。点网2,可(〃>0)在抛物线。上，俨月=3,直线/过点

F,且与抛物线。交于A,3两点.

(1)求抛物线。的方程及点尸的坐标；

(2)求P4.PB的最大值・

19.(12分)如图所示，已知ACJ_平面CDE,BDNAC,二ECD为等边三角形,尸为边。上的中点，且

CD=BD=2AC=2.

(I)求证：CFP面ABE;

(II)求证：平面ABE_L平面BOE;

(ID)求该几何体E-ABDC的体积.

20.(12分)已知函数f(x)J'"：""),其中

(1)当”=0时，求/("在(1,7(1))的切线方程；

(2)求证：“X)的极大值恒大于0・

21.(12分)已知函数一Q-mx,三。6[0,y),使得对任意两个不等的正实数卬占，都有

区02<。恒成立.

不一々

(1)求f*)的解析式；

(2)若方程」-=/(X)+,〃有两个实根玉.，且司<乐，求证：AI-X>>1.

2x

22.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若c=2a,bsinB-asinA=-asinC.

2

(I)求sinB的值；

(II)求sin(2fi+y)的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.

【题目详解】

X=3表示取出的为一个白球，所以「(X1=3)=*=：.X]=2表示取出一个黑球，。(屈=2)=3=；,所以

21Q

E(X.)=3x-+2x-=-

'"333

8

X?=3表示取出两个球，其中一黑一白，P(X2=3)=-^=—,X2=2表示取出两个球为黑球,

P(X2)=-§-=77，X?=4表示取出两个球为白球，尸(*2=4)=,=4，所以

E(X2)=3X*+2X，+4X9=W，所以P(X=3)〉P"2=3),EX.<EX2.

1515153

故选：C

【题目点拨】

本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算.属千中档题.

2、A

【解题分析】

联立直线与椭圆方程求出交点A,4两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.

【题目详解】

-)0

■=1

a-x=Ox=-b

联立方程,解方程可得或，

y__1y-ay=0

ar

不妨设4(0,a)tB(血0),由题意可知，BA'BF=0，

因为物二(〃,.)，BF=(b,—c),

由平面向量垂直的坐标表示可得，bb-ac=0f

因为Z/“2一/,所以a2_c2-aCf

两边同时除以/可得，/+©一1=0,

解得e=蚓或e=土更

(舍去),

22

所以该椭圆的离心率为《亘

2

故选：A

【题目点拨】

本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平

面向量垂直的坐标表示得到关于，。的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

3、C

【解题分析】

根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.

【题目详解】

•.'//=4,cr=3,

:,P(X<2)=P(X<4-2)=P(X>4+2)=P(X>6)=P(X>a)f：,a=6.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布'(Mb),则

p(x<z)=p(x>"+6).

4、C

【解题分析】

由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2cos8=」^-,由正弦定理可得

sinAsinC

2acosB=h\再由余弦定理可得/一/=26，从而可得结果.

【题目详解】

•••—依次成等差数列，

tanAtanBtanC

11_2cosAsinC-sinAcosCsin(A+C)_sinB_2cosB

tanAtanCtanBsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

__sin2BT向士加短cn,2

2cos3=---正弦定理得2。cos3=Zr,

sinAsinC

由余弦定理得〃2+,2-。2=〃，/+不=2尸，即/，/,0?依次成等差数列，故选C.

【题目点拨】

本题主要考查等差数列的定义、正弦定埋、余弦定埋，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定埋，有时也可用余弦

定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的

式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

5、D

【解题分析】

x+3

由题意作出可行域，转化目标函数z=1用为连接点力（-3,-2）和可行域内的点（X,），）的直线斜率的倒数，数形结合

即可得解.

【题目详解】

由题意作出可行域，如图,

x+3

目标函数2=可表示连接点£＞（-3,-2）和可行域内的点（乂），）的直线斜率的倒数,

），+2

由图可知，直线D4的斜率最小，直线08的斜率最大,

x-y=0x+y=2/、

由《二。可得A（TT），由"二。可得WT3），

▼it,—1+21.3+25,2

所以=m=彳，"以=一不二;，所以£WZW2・

—1+3Z—1+3ZJ

本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.

6、C

【解题分析】

根据等差数列的性质可得2(%+%+%)+3(%+«|2)=6a§+6%=66,即%+%=11,

所以S|4=1^^2=735+4O)=77,故选C.

7、D

【解题分析】

试题分析：由题M=卜/+3x+2)0]={x|x(-2或¥)-1},

7V=«x|(1)r<4.=<x|(1)r<^=N={x|x2-2},.・.MUN=R,选D

考点：集合的运算

8、B

【解题分析】

(1、

计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.

【题目详解】

I(1A1

y=2/可化为f=7>，焦点坐标为0,-,故机二一彳.

2ko72

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

9、D

【解题分析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.

【题目详解】

从题设中提供的图像可以看出0vav1,log”c>0,log”(l+c)>0,

故得0vcv1,0va<1,

故选：D.

【题目点拨】

本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.

10、B

【解题分析】

由题意可得他(一。+/=觊，且m£+@=&，乃+£,故有0=2伏一)+1①，再根据:竺三/,求得©12②,

4422。34

由①②可得公的最大值，检验。的这个值满足条件.

【题目详解】

解：函数/(x)=sin(3x+e)(3>0,\(p\„y),

x=-f为/(x)的零点，x=f为V=/(x)图象的对称轴，

44

f

/.6y(--)+(p=k?rt且。•工+0=〃万+巳，k、keZt/./w=2(^-A:)+1,即。为奇数①.

442

:/(幻在(£,1)单调，.三一£,.,⑷,12②.

432◎34

由①②可得口的最大值为1.

当0=11时，由x=生为）=/0）图象的对称轴，可得11xf+o=Qr+g,k・Z,

442

故有°=一］,◎（-f）+8=Qr,满足工=一£为/"）的零点，

444

同时也濮足满足fW在（£,上单调，

\43J

故。=11为①的最大值，

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

11、A

【解题分析】

确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求“二〃时的函数值，再排除一个，得正确选项.

【题目详解】

分析知，函数），=11;I（不£［一名0）或工£（0,"］）为偶函数，所以图象关于）,轴对称，排除B,C,

X

sinx

当工=乃时，=0,排除D,

x

故选：A.

【题目点拨】

本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函

数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论.

12>A

【解题分析】

先将函数解析式化简为y=|cosx|,结合题意可求得切点Z及其范围根据导数几何意义，即可求得

(为+2)tan/的值.

【题目详解】

・In7T—.TC«.7C..、

sinx+—2k兀-----,2女乃+—(kGzl

I2)[22)

函数)，=〈

不

-sinA+—2k7r+—,2k7r+—(kGZ),

I2jL22；

即y=|cosx|

直线y=m(x+2)(m>0)与函数y=\cos戈|图象恰有四个公共点，结合图象知直线y=m(.r+2)(/n>0)与函数

y=-cosx相切于超，

因为y'=sinx,

故k=sinx4=

sinx

所以(％))4

+2tan%=(S+2x(x4+2)x

cos元4(Z+2)

故选；A.

【题目点拨】

本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、［后+8)

【解题分析】

设A8=8C=f,AD=,〃，利用正弦定理，根据5恤、=-t2sinZ?=2,得到产sinZ?=4①，再利用余弦定理

5(5Y

得产cos夕二r—/2②，①©平方相加得：/=-t2-m2+16,转化为

4(4)

9/一43//产+16M+256=0有解问题求解.

【题目详解】

设A6=6C=，,AD=m,

所以S.a=g尸sinB=2，即/sin夕=4①

/、2

由余弦定理得m2=t2+--2-f--cosB,

⑵2

即t2cos13--t2-符②,

4

<5Y

①②平方相加得：?=-t2-m2+16,

14J

即9N-401产+16勿4+256=0，

令严=x>0,设g（x）=9*2-40加2>+16勿，+256,在（0,+8）上有解，

所以g=9（-40/X+161+256<0,

、9JI9J9

解得//29，即/n>V3，

故答案为：［6,+8）

【题目点拨】

本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.

14、20

【解题分析】

r2'

设等差数列｛q｝的公差为由数列一，•为等差数列，且4=2,根据等差中项的性质可得，

2■——■—F-.，解方程求出公差d,代入等差数列｛an｝的通项公式即可求解.

【题目详解】

设等差数列｛q｝的公差为4,

为等差数列知,2•%-=工+”，

n213

因为4=2,所以2.010=2.十（2+24,

213

解得"=2,所以数列｛4｝的通项公式为

an=q+(〃—l)d=2+(〃-l)x2=2〃,

所以。io=20.

故答案为：20

【题目点拨】

本题考直等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础

题.

15、1

【解题分析】

由题意得正三棱柱底面边长6,高为由此能求出所得正三棱柱的体积.

【题目详解】

如图，作AO_L8C,交BC于0,AO=y/122-62=6x/3，

由题意得正三棱柱底面边长耳'=6,高为力二6，

■­•所得正三棱柱的体积为：

V=S^EF•/?=gx6x6xsin60°xG=27.

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求

解能力，求解时注意翻折前后的不变量.

16、[2>/2,2x/3+2]

【解题分析】

设双曲线的左焦点为广，连接MF；NF',由于.所以四边形F'NFM为矩形，故|MN|=|"]=2c,由双

曲线定义|NE|-|Mj=|NF|-|九M|=2a可得八瓦巾再求丁=岳中+制的值域即可.

【题目详解】

如图，

设双曲线的左焦点为户，连接MF：NF',由于M/JLN/.所以四边形/NF用为矩形,

^\MN\=\FF'\=2c.

在RtANFM中IMV|=2ccos0,\FM|=2csin。,

由双曲线的定义可得

2=2。=|N/|-1NF'|=|NF\-\FM\=2ccos。-2csin8=2忘ccos(6+

1

c=------彳-----r

6cos0+—

I4j

1263412

.-，V2<c<V3+1,272<2c<2V3+2.

故答案为：[2忘,2百+2]

【题目点拨】

本题考杳双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)见解析2一色

【解题分析】

(I)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；(II)将原问题进行等价转化为

I〃

4->-

X11UX-2VXG(O,-HX),Vaw[l,3恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数人的取值范围即可.

【题目详解】

/'3=2〃二=幺竺辿">0),

解：(I)当〃=0时,

XX

当CY0时，/。)<0在(0,+8)上恒成立，函数在(0,+8)上单调递减；

当4>0时，由r(x)vO得：OvxvL由r(《)>0得:x>—.

，当4(0时，函数/(X)的单调递减区间是(0,”)，无单调递增区间：

(n(\\

当。>0时，函数的单调递减区间是0,一,函数的单调递增区间是一,+8.

Ia)I。7

(II)对任意的aE[1,3]和xe(0,+oo),/(x)>22?x-3恒成立等价于：

2CLX+bx-\-21n%>2bx-3,Vxe(0,+oo),Vow[1,3]恒成立.

即aH-------2—,Vxw(0,+oo),Vac[1,3]恒成立.

xx2

令：^(x)=tz+---,«e[l,3],XG(0,+oo),

XX

r,〃、11-lavlar-2八一，

则g(x)=一-7———=-=0得x=e'

XXX

由此可得：g(x)在区间(0,/]上单调递减，在区间上2,+8)上单调递增，

2

・.・当x>0时，g(x\nin=g(e)=a-t即2〃-十

匕乙匕

XV6/G[1,3],

.・.实数b的取值范围是：(-8,2-标.

【题目点拨】

本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于

中等题.

18、(1)y2=4x,P(2,2V2)；(2)1.

【解题分析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

(2)设直线1的方程为：x+my-1=0,代入)2=4x,得，y2+4my-4=0,设4(xi,ji),B(xi,/)，贝！J)"+%=-

2

4/??,jij2=-4,xi+x2=2+4m,x\xi=\,PA=(%-2,y\-272),PB=Cxi-2,y2-2>/2),由此能求出PA-PB

的最大值.

【题目详解】

(1)•・•点尸是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，P(2,jo)是抛物线上一点，|PF|=3,

・・2H----=3,

2

解得：p=2,

二抛物线。的方程为炉=4x,

•・,点产(2,〃)(//>0)在抛物线。上，

；・“2=4x2=8,

由〃>0,得〃=2近，：.P(2,2五).

(2)VF(1,0),J设直线，的方程为：x+叫-1=0,

代入y2=4x,整理得，y2+4my-4=0

设A(xi,ji),B(X2,J2)»

则yi,J2是卢4叼-4=0的两个不同实根，

•*»Ji+j2=-4m,jij2=-4,

xi+X2=(1-+(1-/wj2)=2-/w(J1+J2)=2+4m2,

XiXz=(1-my\)(1-/nj2)=1-m(ji+jz)+/?i2jij2=l+4/w2-4/n2=l,

PA=(玉一2,y-2及)，PB=Cxi-2,y2-2\/2)>

PAPB=(xi-2)(X2-2)+(^-2>/2)(y2-2\[l)

=xix2-2(xi+xz)+4+)1%一2夜()']+丁2)+8

=1-4-8〃产+4-4+872帆+8

=-8/H2+8y/2/n+5

=-8Cm-^-)2+l.

2

，当胆=Y2时，PA.Q8取最大值L

2

【题目点拨】

本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考

查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

19、（I）见解析；（II）见解析；（in）6

【解题分析】

（D取BE的中点G,连接AG,bG,通过证明四边形AGR?为平行四边形，证得CF//AG,由此证得CE〃平面

（II）利用CFtBD,证得C/，平面BOE,从而得到AG_L平面由此证得平面

平面BDE.（III）作EH上CD交CD于点H,易得EH上面ABDC,利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.

【题目详解】

（I）取的的中点G,连接AG,R7,则FG||」3O,AC|-BD,

=2=2

故四边形AGFC为平行四边形.

故Cb|AG.

又ba面ABE,AGu平面A6E,所以CT7面ABE

（II）©EC。为等边三角形，F为DE中点,所以b_L理）.又b_L3O,

所以。/_1_面3。匹

又。下|AG,故AG_L面4。石，所以面ABE_L平面

（ID）几何体ABECO是四棱锥E—A8Z）C,作EHLCD交CD于点H,即£以，面48。。，

=U（1+2）26=G・

J乙

【题目点拨】

本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.

20、（1）y=-x（2）证明见解析

e

【解题分析】

（1）求导，代入。=0,求出在x=l处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；

（2）分类讨论得出极大值即可判断.

【题目详解】

⑴.⑺二一/（々2卜-24.十+硕x-2）

exex

当〃=（）时，/,（1）=",/（1）=-,

贝Ij/（x）在（1,7（1））的切线方程为），二，“；

e

（2）证明：令尸a）=o,解得工=2或%=-，，

①当。=一2时，/（工）工0恒成立，此时函数/（同在R上单调递减，

・・・函数“X）无极值；

②当〃＞一2时，令/。）＞0,解得一々＜工＜2,令/'（X）＜0,解得X＜-〃或X＞2,

，函数/（X）在2）上单调递增，在（-8,-4）,（2,中功上单调递减，

Z7+4

”（叽人广八2）=丁＞°；

③当〃＜一2时，令/'（x）＞0,解得2cx＜-々，令/'（戈）＜0,解得x＜2或x＞-〃，

，函数/（X）在（2,-。）上单调递增，在（F,2）,内）上单调递减，

“⑴极大值=〃-〃）=?＞。，

综上，函数/（、）的极大值恒大于0.

【题目点拨】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

21、（1）/（x）=-Inx；（2）证明见解析.

【解题分析】

（D根据题意，/（外在（0,+8）上单调递减，求导得f'⑴=2'/一，=1"＞0）,分类讨论/（幻的单调性，

XX

结合题意，得出/（幻的解析式；

1,1.1

（2）由入为方程—=f（x）+m的两个实根，得出In玉+丁二机，In/+丁=，〃，两式相减，分别算出王和当，

LX2玉LX?

利用换元法令和构造函数〃Q）=r—l—