2024-2025学年福建省泉州一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年福建省泉州一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一.选择题（共10小题）1．若，则的值为（）A． B． C． D．2．从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（）A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C．成语“守株待兔”是随机事件 D．成语“水中捞月”是随机事件3．已知⊙O的半径为4，点P到点O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定4．下列关于抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的结论，正确的是（）A．开口方向向上 B．对称轴为直线x＝2 C．当x＝﹣2时，函数有最小值为﹣6 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小5．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，正确的是（）A． B． C． D．6．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．在同圆或等圆中，相等的弧所对弦相等 D．长度相等弧是等弧7．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3（）A．△BCO∽△B′C′O B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3 C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9 D．OB′：BB′＝3：28．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°9．如图，四边形ABCD内接于半径为5的⊙O，AB＝BC＝BE，则AD的长为（）A．5 B． C． D．1010．如图，矩形ABCD，AD＝6，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（）A．﹣1 B．+1 C．3.2 D．3二.填空题（共6小题）11．已知⊙O中最长的弦为14厘米，则此圆半径为厘米．12．已知两个相似三角形的相似比是4：9，那么它们对应的角平分线之比是．13．若α为锐角，且tan（α+15°）＝1．14．如图，在△ABC中，∠A＝60°，△ABC的周长为32．若⊙O与BC，AC，F，D，则DF的长为．15．已知实数m，n满足10m2+12m+1＝0，n2+12n+10＝0，则＝．16．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OAx+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE＝．三.解答题（共9小题）17．计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．18．解方程：（1）4x2+3x﹣2＝0；（用公式法）（2）4（x+3）2＝（x﹣1）2．（用因式分解法）19．如图，在△ABC中，D是AC上一点．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．20．如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，B：瓶装矿泉水，C：碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个不完整的统计图，根据统计图提供的信息（1）这个班级有名同学；并补全条形统计图；（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料平均价格（元/瓶）0234（2）在饮用白开水的同学中有4名班委干部，为了养成良好的生活习惯，班主任决定在这4名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余两位记为C，D），请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到2名班长的概率．21．《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，王老师布置一题：已知，如图所示，⊙O及⊙O外一点P．（1）按要求完成作图步骤并准确标注字母．尺规作图：作出线段OP的垂直平分线交OP于点A；以点A为圆心，AP为半径作⊙A（点B位于直线OP上侧），连接PB．（2）请问（1）中作图得到的PB是⊙O的切线吗？若是，请说明理由．（3）设（1）中所作垂直平分线交BP于点C，若⊙O半径为3，求OP的长．22．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅减小传送带与地面的夹角，已知原传送带AB长为．（1）新传送带AC＝m；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断与B点距离为的货物MNQP是否需要挪走23．根据背景素材，探索解决问题．测算石拱桥拱圈的半径素材1某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．素材2通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．素材3如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．问题解决任务1获取数据通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．任务2分析计算通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．注：测量、计算时，都以“肘”为单位．24．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点B，二次函数的图象经过B，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，求S的最大值及此时点D坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在；若不存在，请说明理由：（4）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，直接写出点D的横坐标；若不存在25．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，求证：CE＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H时，求CD的长．

2024-2025学年福建省泉州一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案ACADDCDDBB一.选择题（共10小题）1．若，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴．故选：A．2．从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（）A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C．成语“守株待兔”是随机事件 D．成语“水中捞月”是随机事件【解答】解：A、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件；B、诗句“离离原上草，故B不符合题意；C、成语“守株待兔”是随机事件；D、成语“水中捞月”是不可能事件；故选：C．3．已知⊙O的半径为4，点P到点O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定【解答】解：由题意，得d＝3，r＝4．由d＜r，得点在圆内，故选：A．4．下列关于抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的结论，正确的是（）A．开口方向向上 B．对称轴为直线x＝2 C．当x＝﹣2时，函数有最小值为﹣6 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小【解答】解：抛物线y＝﹣5（x+2）3﹣6中，A．开口方向向下，不符合题意；B．对称轴为直线x＝﹣2，不符合题意；C．当x＝﹣6时，故选项C错误；D．当x＞﹣2时，选项D正确．故选：D．5．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：如图，∵DF∥BC，∴△EFD∽△EBC，∴，∵DF＝0.4，BC＝6，CD＝x，∴，故选：D．6．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．在同圆或等圆中，相等的弧所对弦相等 D．长度相等弧是等弧【解答】解：A、错误；B、错误，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C、正确．D、错误，等弧的长度相等；故选：C．7．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3（）A．△BCO∽△B′C′O B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3 C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9 D．OB′：BB′＝3：2【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，∴S△A′B′C′：S△ABC＝2：9，△BCO∽△B′C′O′，∴OB′：OB＝2：5，∴OB′：BB′＝2：1．故选项A、B、C说法正确，即选项A、B、C不符合题意．故选：D．8．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝7有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣）2﹣7×1×sinα＝0，即7﹣4sinα＝0，解得：sinα＝，∴锐角α等于30°，则锐角α的余角等于60°，故选：D．9．如图，四边形ABCD内接于半径为5的⊙O，AB＝BC＝BE，则AD的长为（）A．5 B． C． D．10【解答】解：连接BD、OA，∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDA＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于半径为5的⊙O，∴∠BAD+∠C＝180°，∵BC＝BE，∴∠BEC＝∠C，∵∠BEC+∠BED＝180°，∴∠BAD＝∠BED，在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（AAS），∴∠ABD＝∠EBD，∵AB⊥BE，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，OA＝OD＝5，∴AD＝2．故选：B．10．如图，矩形ABCD，AD＝6，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（）A．﹣1 B．+1 C．3.2 D．3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，∴AC＝＝＝10，设△AD的内切圆O的半径为r，则×10r+×6r＝，解得：r＝2，连接BQ，∵P是BC边上的中点，点M是CQ的中点，∴PM是△BCQ的中位线，∴PM＝BQ，当BQ经过圆心O时，BQ最长，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣5＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣4＝4，∴BO＝＝＝2，∴BQ＝BO+OQ＝6+2，∴PM＝BQ＝；故选：B．二.填空题（共6小题）11．已知⊙O中最长的弦为14厘米，则此圆半径为7厘米．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为14厘米，∴⊙O的直径是14厘米．∴⊙O的半径是7厘米．故答案为：7．12．已知两个相似三角形的相似比是4：9，那么它们对应的角平分线之比是4：9．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，∴它们对应的角平分线之比是7：9．故答案为：4：4．13．若α为锐角，且tan（α+15°）＝1．【解答】解：∵α为锐角，tan（α+15°）＝1，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，∴tanα＝．故答案为：．14．如图，在△ABC中，∠A＝60°，△ABC的周长为32．若⊙O与BC，AC，F，D，则DF的长为4．【解答】解：∵⊙O与BC，AC，F，D，∴BD＝BE，CF＝CE，∵BC＝12，∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝12，∵△ABC的周长为32，∴AB+AC+BC＝32，∴AD+AF＝32﹣12﹣12＝8，∴AD＝AF＝4，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴DF＝AD＝6，故答案为：4．15．已知实数m，n满足10m2+12m+1＝0，n2+12n+10＝0，则＝．【解答】解：由题知，因为n满足n2+12n+10＝0，则n≠8，所以．又因为m满足10m2+12m+6＝0，所以m和可看成方程10x4+12x+1＝0的两个根，所以m+，所以＝．故答案为：．16．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OAx+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE＝45°．【解答】解：由题意得：OC＝3则：以下各点的坐标分别为：A（﹣1，6），0），﹣3），直线y＝﹣x+1与y轴交于点D，4），易证△ACO≌△DBO（SAS），∴∠DBO＝∠ACO，而∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBC＝∠ACB，则二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣5，则顶点E的坐标为（1，由点B、E坐标可知BE＝2，过点C作CF∥BE，则∠FCB＝∠CBE，∴∠DBC﹣∠CBE＝∠ACF，则直线CF所在的方程的k＝kBE＝7，方程为y＝2x﹣3，∴点F的坐标为（，0），在△ACF中，由A、C则AC＝，CF＝，过点A作AH⊥CF，设：CH＝x，则根据AH2＝AC5﹣CH2＝AF2﹣FH3，解得：x＝，则cos∠ACH＝＝，∴∠ACH＝45°，∴∠DBC﹣∠CBE＝∠ACH＝45°，故答案为45°．三.解答题（共9小题）17．计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．【解答】解：原式＝﹣2+﹣（3﹣＝﹣6+﹣2+＝﹣3．18．解方程：（1）4x2+3x﹣2＝0；（用公式法）（2）4（x+3）2＝（x﹣1）2．（用因式分解法）【解答】解：（1）a＝4，b＝3，Δ＝b6﹣4ac＝36﹣4×4×（﹣2）＝41＞0，∴，∴，；（2）4（x+3）3﹣（x﹣1）2＝5，[2（x+3）+（x﹣8）][2（x+3）﹣（x﹣4）]＝0，（3x+4）（x+7）＝0，5x+5＝0或x+8＝0，x1＝﹣8，．19．如图，在△ABC中，D是AC上一点．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．【解答】（1）证明：∵＝，∠DAB＝∠BAC，∴△ABD∽△ACB，∴∠ABD＝∠C；（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，由（1）知，∠ABD＝∠C＝40°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝80°．20．如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，B：瓶装矿泉水，C：碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个不完整的统计图，根据统计图提供的信息（1）这个班级有50名同学；并补全条形统计图；（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料平均价格（元/瓶）0234（2）在饮用白开水的同学中有4名班委干部，为了养成良好的生活习惯，班主任决定在这4名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余两位记为C，D），请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到2名班长的概率．【解答】解：（1）这个班级的学生人数为15÷30%＝50（人），故答案为：50；选择C饮品的人数为50﹣（10+15+5）＝20（人），补全条形统计图如下：（2）＝2.2（元），答：该班同学每天用于饮品的人均花费是4.2元；（3）画树状图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有7种结果，所以恰好抽到2名班长的概率为＝．21．《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，王老师布置一题：已知，如图所示，⊙O及⊙O外一点P．（1）按要求完成作图步骤并准确标注字母．尺规作图：作出线段OP的垂直平分线交OP于点A；以点A为圆心，AP为半径作⊙A（点B位于直线OP上侧），连接PB．（2）请问（1）中作图得到的PB是⊙O的切线吗？若是，请说明理由．（3）设（1）中所作垂直平分线交BP于点C，若⊙O半径为3，求OP的长．【解答】解：（1）如图，PB即为所求，（2）PB是⊙O的切线，理由如下：如（1）图，连接OB，∵OP是⊙A的直径，∴∠OBP＝90°，即PB⊥OB于点B，∴PB是⊙O的切线．（3）如（1）图，连接OC，∵AC为OP的垂直平分线，∴OC＝CP＝5，在Rt△BOC中，，∴BP＝2+5＝9，在Rt△BOP中，．22．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅减小传送带与地面的夹角，已知原传送带AB长为．（1）新传送带AC＝12m；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断与B点距离为的货物MNQP是否需要挪走【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝2（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12（m），答：新传送带AC的长度为12m；故答案为：12；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC•cos∠ACD＝6（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝6（m），∴BC＝CD﹣BD＝（6﹣6）m，∴PC＝BP﹣BC＝6﹣（6，∵6＞5，∴货物MNQP不需要挪走．23．根据背景素材，探索解决问题．测算石拱桥拱圈的半径素材1某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．素材2通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．素材3如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．问题解决任务1获取数据通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．任务2分析计算通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．注：测量、计算时，都以“肘”为单位．【解答】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为4肘，根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离有8块花岗岩的长，B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，答：B，C两点之间的铅垂距离（高度差）为4肘；任务4：如图，作过点C的水平线，垂足为E，记圆心为O、BO，观察图形，CE＝6.5×5＝13（肘），DE＝4（肘），∴设OE＝a，则DO＝DE+OE＝4+a，∵OB3＝DB2+OD2，OC2＝OE2+EC2，OB＝OC，∴（5+a）2+112＝a8+132，解得：a＝4，∴OC＝＝＝，∴石拱桥拱圈的半径为肘．答：石拱桥拱圈的半径肘．24．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点B，二次函数的图象经过B，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，求S的最大值及此时点D坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在；若不存在，请说明理由：（4）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，直接写出点D的横坐标；若不存在【解答】解：（1）∵一次函数的图象与x轴交于点B，∴点B（4，0），﹣6），∵二次函数的图象经过B，∴，解得：，∴抛物线的解析式；（2）如图4所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D，则F，∴FD＝，∴，∵﹣1＜5，∴a＝2时，S最大．此时，点D坐标为（2；（3）存在，理由如下：∵，∴抛物线的对称轴为直线：，设，以BC为对角线时，∴PC＝PB，∴，解得：e＝0，即，当BP为对角线时，∴PC＝CB，∴，解得：，，点P坐标为或；当CP为对角线时，∴PB＝CB，∴，解得：，，点P坐标为或；综上：P的坐标为：或或或或．（4）如图2所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G，∵A（﹣1，0），3），﹣2），∴，，AB＝5，∴AC4+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．取AB的中点E，连接CE，∴∠OEC＝8∠ABC．∴．当∠MCD＝4∠ABC时，则．设，则DR＝x，．∴，解得：x＝7（舍去）或x＝2．∴点D的横坐标为2．当∠CDM＝7∠ABC时，设M