2025年菁优高考数学解密之解答题

Page2025年菁优高考数学解密之解答题一．解答题（共25小题）1．（2024•泸州模拟）设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为；正数，，满足，证明：．2．（2024•长安区一模）的内角，，的对边分别为，，，设．（1）求；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．3．（2024•天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．4．（2024•天津）设函数．（1）求图像上点，（1）处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的值；（3）若，，证明．5．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．6．（2024•抚州模拟）已知四棱锥的底面是一个梯形，．，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．7．（2024•盐湖区一模）已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点．（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积．8．（2024•一模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，且是边上的高．．（1）求角；（2）若，，求．9．（2024•梅州模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆上的点到直线的距离的最大值．10．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，．试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；求的取值范围．11．（2024•贵州模拟）已知函数．（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线与曲线在点处的切线能否平行？请说明理由．12．（2024•德城区校级三模）设函数，．曲线在点，处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：方程仅有一个实根；（Ⅲ）对任意，有，求正数的取值范围．13．（2024•天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离．14．（2024•毕节市模拟）某地区工会利用“健步行”开展健步走活动．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为，，，，，，，，，，九组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计样本数据的分位数；（Ⅱ）据统计，在样本数据，，，，，的会员中体检为“健康”的比例分别为，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率．15．（2024•南开区校级模拟）已知的内角、、的对边分别为、、，满足已知．（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若的面积为，，求的周长．16．（2024•开福区校级三模）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点在上．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．17．（2024•保定三模）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，．（1）证明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．18．（2024•东湖区校级一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若对于任意，成立，求实数的取值范围．19．（2024•如皋市模拟）如图，在三棱柱中，，，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．20．（2024•回忆版）已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，3，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，．（1）若，求，；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为△的面积，证明：对任意的正整数，．21．（2024•长安区校级一模）已知数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，，求．22．（2024•江西一模）已知椭圆的左右顶点分别为、，点在上，点，分别为直线、上的点．（1）求的值；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，求证：直线经过定点．23．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．（1）若是首项为，公差为1的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；（2）证明：若的通项公式为，则不是数列；（3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．24．（2024•江西一模）在中，已知内角、、的对边分别为、、，且的面积为，点是线段上靠近点的一个三等分点，．（1）若，求；（2）若，求的值．25．（2024•河南模拟）如图所示，在△中，点在边上，且，为边的中点．是平面外一点，且．（1）证明：；（2）已知，，，直线与平面所成角的正弦值为．求△的面积；求三棱锥的体积．

2025年菁优高考数学解密之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．（2024•泸州模拟）设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为；正数，，满足，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明【专题】数学运算；不等式的解法及应用；推理和证明；对应思想；分析法【分析】（1）分类讨论的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；（2）分类讨论的取值，求出的最小值为，将展开，利用基本不等式证明，即可证明结论．【解答】解：当时，，即，解得，故；当时，，即，，则；当时，，即，解得，故，综上所述，原不等式的解集为；（2）证明：若，则；若，则；若，则，所以函数的最小值，故．又、，为正数，则．当且仅当，时等号成立，所以．【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的换一法，属于中档题．2．（2024•长安区一模）的内角，，的对边分别为，，，设．（1）求；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．【考点】基本不等式及其应用；解三角形【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；转化法；解三角形；不等式【分析】（1）先利用边角互化将转化为关于的方程，求出．（2）因为已知，所以求面积的最小值即为求的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．【解答】解：（1）因为．由正弦定理得．显然，所以．所以，．所以，．（2）依题意，．所以时取等号．又由余弦定理得．．当且仅当时取等号．所以的周长最小值为．【点评】本题主要考查解三角形、基本不等式等知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养，属于中档题．3．（2024•天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．【答案】（1）4；（2）；（3）．【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数；余弦定理【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法【分析】（1）设，则，，利用余弦定理能求出；（2）由同角三角函数关系式，先求出．再由正弦定理求出．（3）利用二倍角公式求出，再由同角三角函数关系式求出，利用两角差三角函数能求出．【解答】解：（1）在中，，，设，则，，，解得，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得．（3），，是锐角，且，，，．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．（2024•天津）设函数．（1）求图像上点，（1）处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的值；（3）若，，证明．【答案】（1）；（2）2；（3）详见解答过程．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】逻辑推理；导数的综合应用；数学运算；整体思想【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可切线斜率，进而可求切线方程；（2）设，命题等价于对任意，都有，利用特殊值赋值法，即可求解；（3）结合重要不等式可先证明对，有，然后结合，的各种情况进行证明即可．【解答】解：（1）由于，故，所以（1），（1），所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为；（2）设，则，从而当时，当时，所以在，上递减，在，上递增，这就说明（1），即，且等号成立当且仅当，设，则．当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有．一方面，若对任意，都有，则对，有，取，得，故．再取，得，所以．另一方面，若，则对任意都有，满足条件．综合以上两个方面知．证明：（3）先证明一个结论：对，有．证明：前面已经证明不等式，故，且，所以，即．由，可知当时，，当时．所以在上单调递减，在上单调递增．不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论．情况一：当时，有，结论成立；情况二：当时，有对任意的，设，则由于单调递增，且有，且当时，由可知，．所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时故在，上递减，在，上递增．①当时，有（c）；②当时，由于，故我们可以取．从而当时，由，可得，再根据在，上递减，即知对都有；综合①②可知对任意，都有，即．根据和的任意性，取，，就得到所以情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，，而根据的单调性，知或．故一定有成立．综上，结论成立．【点评】本题主要考查了导数几何意义在切削方程求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，及不等式的证明，属于难题．5．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】证明过程请见解答；（Ⅱ）．【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；逻辑推理；向量法；空间角；转化思想；数学运算【分析】连接，设，连接，由中位线的性质知，再由线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）先证，，两两相互垂直，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】证明：连接，设，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因为，，且，所以平面，又平面，所以，又，所以，，两两相互垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，1，，，2，，所以，设平面的法向量为，则即令，所以，1，，因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，由题意知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定、性质定理，以及利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．（2024•抚州模拟）已知四棱锥的底面是一个梯形，．，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法【专题】空间角；向量法；转化思想；数学运算【分析】（1）分别取，的中点，，连接，，，结合等腰三角形的性质与勾股定理，可证，，从而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，在直角梯形中，，，因为，所以，且，又，是的中点，所以，所以，即，又，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，4，，，0，，，0，，，2，，所以，，，，4，，，4，，设平面的法向量为，，，则，取，则，，所以，2，，设平面的法向量为，，，则，取，则，，所以，1，，所以，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．（2024•盐湖区一模）已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点．（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【考点】双曲线与平面向量【专题】数形结合；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；方程思想；综合法【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；（2）设直线的方程为，设点，、，，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积．【解答】解：（1）在双曲线中，，，则，该双曲线的左焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，设直线的方程为，设点，、，，联立可得，因为直线与双曲线左、右两支分别相交于、两点，所以，，解得，因此，直线的斜率的取值范围是．（2）因为，，由可得，则，当直线与轴重合时，则点、，，，此时，，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，由（1）可得，则或，由韦达定理可得，则，，即，解得，则，所以，．【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．8．（2024•一模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，且是边上的高．．（1）求角；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）6．【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形【专题】解三角形；综合法；数学运算；计算题；转化思想【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合，即可求解的值；（2）由题意利用三角函数恒等变换可求，设，，，可得，，由题意可得，又，解得：，，利用三角函数恒等变换的应用即可求解．【解答】解：（1）因为，利用正弦定理可得，可得，利用余弦定理，由于，所以；（2）因为，可得①，又，可得②，由①②得：，，所以，可得，即③，在中，，设，，，则，，所以由③可得，整理得：，由于：，解得：，，由于：，所以：，可得，整理可得，解得：或（舍去），即．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．9．（2024•梅州模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆上的点到直线的距离的最大值．【答案】（1）；（2）．【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；设而不求法；数学运算；转化思想【分析】（1）由椭圆的离心率，可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程；（2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，可得，设椭圆的方程为：，，又因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为：；（2）设与直线平行的直线的方程为，联立，整理可得：，△，可得，则，所以直线到直线的距离．所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．10．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，．试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；求的取值范围．【答案】（1）；（2）；，，．【考点】直线与圆锥曲线的综合【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法【分析】（1）由题意可设双曲线，利用，可求；（2）设，，，，直线的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．设直线，代入双曲线方程可得，进而可得，，，，，进而由可得，，，进而求得的取值范围．【解答】解：（1）由题意可设双曲线，则，解得，双曲线的方程为；（2）设，，，，直线的方程为，由，消去得，则，△，且，，；设直线，代入双曲线方程并整理得，由于点为双曲线的左顶点，此方程有一根为，，解得，点在双曲线的右支上，，解得，，即，，同理可得，，，由，，，，，，，，．【点评】本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．11．（2024•贵州模拟）已知函数．（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线与曲线在点处的切线能否平行？请说明理由．【答案】（1）；（2）不能，详见解答过程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值【专题】整体思想；数学运算；综合法；导数的综合应用【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在条件即可求解；（2）由已知结合直线的斜率公式及等比数列的性质可得关于的方程，结合等式特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可求解．【解答】解：（1）令，由题设知方程有两个实数根，因为，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，函数取得极小值，当及时，，且，当时，（1）且时．所以当时，与有两个不同的交点，即有两个不同的零点．（2）因为且，，成等比数列，设公比为，则，，（8分）直线的斜率，函数在点处的切线斜率，假设直线与函数在点处的切线平行，则，整理成，令，，则，所以在单调递增，所以（1），所以在时无实数解，所以直线与函数在点处的切线不能平行．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质在零点存在问题中的应用，还考查了等比数列性质的应用，属于中档题．12．（2024•德城区校级三模）设函数，．曲线在点，处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：方程仅有一个实根；（Ⅲ）对任意，有，求正数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见详解；（3），．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合法；数学运算；逻辑推理；函数思想；导数的综合应用；分类讨论【分析】（Ⅰ）根据切点在曲线和切线上可得；（Ⅱ）分，，，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（Ⅲ）令，分，两种情况，利用导数讨论最值即可得解．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，又点，在切线上，所以，所以，即．（Ⅱ）证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，令，则，令，则，讨论：（1）当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，，即此时无零点；（2）当时，，即此时有一个零点；（3）当时，，所以当时，，即此时无零点，综上所述，仅有一个零点，得证．（Ⅲ）当时，，即恒成立，令，则，由（Ⅱ）可知，时，所以，讨论：（1）当时，因为，所以，即，所以．即当时，，所以在时单调递增，所以恒成立，即满足条件，（2）当时，由可知，，又，所以存在，使得，所以，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以，即不能保证恒成立，综上可知，正数的取值范围是，．【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了分类讨论思想，属于难题．13．（2024•天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行；点、线、面间的距离计算【专题】数学运算；转化思想；综合法；逻辑推理；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）取中点，连接，，易证四边形是平行四边形，所以，由线面平行的判定定理证明即可；（2）以为原点建系，利用向量法分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，求平面与平面的夹角的余弦值；（3）由（2）得及平面的法向量，利用向量法即可求点到平面的距离．【解答】（1）证明：取中点，连接，，由是的中点，得，且，由是的中点，得，且，则，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，则，，，，，设平面的法向量为，，则，3，，设平面的法向量为，，则，1，，所以，，故平面与平面的夹角的余弦值为．（3）解：因为，平面的法向量为，所以点到平面的距离为．【点评】本题考查直线与平面平行、点到平面的距离、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，属于中档题．14．（2024•毕节市模拟）某地区工会利用“健步行”开展健步走活动．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为，，，，，，，，，，九组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计样本数据的分位数；（Ⅱ）据统计，在样本数据，，，，，的会员中体检为“健康”的比例分别为，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率．【答案】（Ⅰ）估计样本数据的分位数为14.5；（Ⅱ）在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率为0.38．【考点】频率分布直方图的应用【专题】数学运算；综合法；计算题；概率与统计；转化思想【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图结合结合百分位数的定义运算求解即可；（Ⅱ）先列举出所有的基本事件，再从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式运算求解．【解答】解：（Ⅰ）由于在，的样本数据比例为：，样本数据的分位数在，内，估计样本数据的分位数为：；（Ⅱ）设任取的会员数据在，，，，，中分别设为事件，，，，，，设事件在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”，，即在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率为0.38．【点评】本题考查了频率分布直方图和百分位数的求法问题，也考查列举法求概率，是基础题．15．（2024•南开区校级模拟）已知的内角、、的对边分别为、、，满足已知．（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若的面积为，，求的周长．【答案】（1）；（2）（3）的周长为8．【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合，可求，结合范围，可求的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式即可求解．（3）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得解的周长．【解答】解：（1），由正弦定理得，从而有，，，，；（2）由已知得，，，，，（3），，由余弦定理得，，即，解得，的周长为．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．（2024•开福区校级三模）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点在上．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角【专题】逻辑推理；直观想象；空间位置关系与距离；方程思想；空间向量及应用；空间角；数学运算；计算题；综合法；立体几何【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明；（2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可．【解答】（1）证明：因为底面，、底面，所以，，所以，，所以矩形是正方形，所以，因为，所以平面．（2）解：由（1）知、、两两垂直，建系如图，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，设平面的法向量为，则，，即，，所以可取，0，，所以直线与平面所成的角的正弦值为．【点评】本题主要考查线面垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．17．（2024•保定三模）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，．（1）证明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解答；（2）．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直【专题】数学运算；转化思想；转化法；立体几何【分析】（1）通过线面、面面的位置关系证平行四边形为菱形即可；（2）先证平面，根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解．【解答】解：（1）证明：设为的中点，连接，，，，因为，所以，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，又平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，所以四边形为菱形，即．（2）因为平面平面，且平面平面，，所以平面，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，，，，，，1，，可得，，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，设平面的法向量为，，，则，令，则，，可得，，故二面角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直与空间向量的应用，属于中档题．18．（2024•东湖区校级一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若对于任意，成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2），．【考点】数列递推式【专题】综合法；数学运算；等差数列与等比数列；方程思想【分析】（1）数列的通项与前项和的关系，以及等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）由等差数列的求和公式和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围．【解答】解：（1）由，可得，即，可得，当时，由，可得，两式相减可得，化为，即数列的奇数项和偶数项均为公差为4的等差数列，即有时，；时，；所以，；（2），对于任意，成立，即为恒成立．设，则，当，2时，；当时，，即有，可得时，取得最大值，则，即的取值范围是，．【点评】本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等差数列和数列的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．（2024•如皋市模拟）如图，在三棱柱中，，，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解答．（2）．【考点】平面与平面垂直；直线与平面所成的角【专题】数学运算；空间角；数形结合；向量法；逻辑推理；空间位置关系与距离【分析】（1）推导出，从而平面，进而，推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．（2）在平面中过点作的垂线，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．【解答】解：（1）证明：因为，所以因为，所以．在中，，即，所以，即．（2分）又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以，在△中，，，，所以，即，所以．而，平面，平面，，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面中过点作的垂线，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，0，，所以，，，，，，所以，，，平面的一个法向量为，1，，（10分）设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成角的正弦值为：，．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20．（2024•回忆版）已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，3，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，．（1）若，求，；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为△的面积，证明：对任意的正整数，．【考点】数列的应用【专题】数学运算；转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据已知条件，先求出直线方程，再与曲线方程联立，即可求解；（2）根据已知条件，推得，再结合，都在双曲线上，以及等比数列的定义，即可求证；（3）要证：，只需先尝试，即先证，再结合换元法，以及直线的斜率公式，即可求解．【解答】解：（1）在上，，解得，过且斜率为的直线方程为，即，联立，解得或，故，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，所以，；（2）证明：，关于轴的对称点是，，，，，都在同一条斜率为的直线上，；则，，都在双曲线上，，两式相减可得，，而①，②，则②①可得，，则，，故数列是公比为的等比数列；（3）证明：要证：，只需先尝试，即先证，记，，则，，而，，，，，，，．【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．21．（2024•长安区校级一模）已知数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，，求．【考点】裂项相消法【专题】逻辑推理；数学运算；方程思想；定义法；应用题；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）由，得，两式相减并整理即可得到的通项公式；（2）由（1）可知，则，从而利用裂项相消求和法即可求出．【解答】解：（1）由，得，两式相减得，则；（2）由（1）可知，则，所以．【点评】本题考查数列的递推公式与裂项相消求和法，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．22．（2024•江西一模）已知椭圆的左右顶点分别为、，点在上，点，分别为直线、上的点．（1）求的值；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，求证：直线经过定点．【答案】（1）．（2）证明见解析．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；转化法；方程思想【分析】（1）解法一：设，，根据斜率公式得，然后根据点在椭圆上化简即可求解．解法二：设，，利用三点共线的向量形式求得，，结合点在椭圆上化简即可求解．（2）解法一：联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得，同理得点的坐标为，分类讨论求得直线的方程，即可求得直线经过的定点．解法二：设直线的方程为：，，，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理利用求得或3（舍去），从而求得直线经过的定点．【解答】解：（1）解法一：设，，由题可知，，又，，，在椭圆上，则，，．解法二：设，，则，、、三点共线，，同理，，又，在曲线上，，代入上式得：．（2）证明：解法一：由题可知，直线的方程为：，联立方程，可得：，，，，又，，，同理可得点的坐标为，当直线垂直于轴时，，即，，，此时直线的方程为．当直线不垂直于轴时，，故直线的方程为，令，则，整理得，此时直线经过定点，综上所述，直线经过定点．解法二：由，，得，又，，由题可得直线显然不与轴平行，设直线的方程为：，，，，，由，得，所以△，所以，又，由且，解得，直线方程为，直线经过定点．【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．23．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．（1）若是首项为，公差为1的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；（2）证明：若的通项公式为，则不是数列；（3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．【答案】（1）是数列，理由见解析（2）证明见解析（3）或．【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）由题知，，0，1，2，3，，再根据数列的定义，即可作出判断；（2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果；（3）根据题设得到，令，从而得到，再利用函数性质，建立不等关系，得到；令，由，即可求解．【解答】解：（1）是数列，理由：由题知，即，，0，1，2，3，，所以，，当时，，所以是数列．（2）证明：假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，，所以对任意正整数，存在正整数满足：，显然时，存在，满足，取，得，所以，可以验证：当，2，3，4时，都不成立，故不是数列．（3）已知是等比数列，其首项，公比，所以，所以，由题意知对任意正整数，总存在正整数，使得，即对任意正整数，总存在正整数，使得，即对任意正整数，总存在正整数，使得，①令，得，且，因为，，所以当时，取到最小值，所以，所以，又，所以，所以，即；②令，得，且，所以，1综上，或．【点评】本题考查数列的新定义，等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．24．（2024•江西一模）在中，已知内角、、的对边分别为、、，且的面积为，点是线段上靠近点的一个三等分点，．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【考点】正弦定理；解三角形；余弦定理【专题】数学运算；综合法；解三角形；整体思想【分析】（1）由得，再结合余弦定理从而可求解．（2）由利用向量可得，并结合得，再由，从而可求解．【解答】解：（1）由题可得：，故，又，即，，即，在中，根据余弦定理得，即，，即；（2），，，即，又，①，又②，由①②得：，．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．25．（2024•河南模拟）如图所示，在△中，点在边上，且，为边的中点．是平面外一点，且．（1）证明：；（2）已知，，，直线与平面所成角的正弦值为．求△的面积；求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解答；（2）；．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解【分析】（1）利用，得出，再根据，得出，进而得出平面，即可得证；（2）在△中，，，，由余弦定理得出，进而求出，利用三角形面积公式即可求解；利用等体积转换法求三棱锥体积即可．【解答】解：（1）证明：因为为边的中点，所以，又，故，即，如图，设线段的中点为，连接，又，所以，，因为，所以，即，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）在△中，，，，由余弦定理得，所以，故△的面积为；设直线与平面所成角为，由题意可知，则，故，又因为平面，所以直线与平面所成的角为，于是，所以，如图，连接，则三棱锥的体积为，设△，△的面积分别为，，点到平面的距离为，因为为边的中点，，所以由平面几何知识易得，则三棱锥的体积为．【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，考查等体积法求三棱锥体积，属于中档题．

考点卡片1．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．3．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．4．裂项相消法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：（1）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．【解题方法点拨】裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．【命题方向】常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：+++…+．解：因为＝，所以原式＝．故答案为：1﹣．5．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．6．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．7．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．8．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．9．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．10．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．11．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝12．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．13．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．14．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．15．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．16．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝．17．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．18．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】19．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a＞b＞0）中心在原点，焦点在x轴上（a＞b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2离心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）准线x＝±y＝±20．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．21．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝＝（k为直线斜率）注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判