2025年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系

Page2025年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系一．选择题（共10小题）1．（2024•白山一模）设集合，，则A． B．， C．， D．2．（2024•张家口三模）已知正数，满足，则的最大值为A．5 B．6 C．7 D．83．（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．4．（2024•南开区一模）若，则的最小值是A．2 B． C．3 D．5．（2024•浙江模拟）已知实数，满足，且，则的最小值为A． B．8 C． D．6．（2024•高州市模拟）已知，，则下面结论正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则有最小值4 D．若，则7．（2024•崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是A． B． C． D．8．（2024•嘉兴二模）若正数，满足，则的最小值是A． B． C． D．29．（2024•定西模拟）的最小值为A． B． C． D．10．（2024•九龙坡区校级模拟）已知，且，则的最小值为A． B． C．1 D．二．多选题（共5小题）11．（2024•河池二模）若，则下列结论正确的是A． B． C． D．12．（2024•随州模拟）设正实数，满足，则下列结论正确的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值13．（2024•广东模拟）若，，，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．14．（2024•甘肃模拟）已知，，若，则A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为15．（2024•北京模拟）已知正实数，满足，则下列说法正确的是A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是三．填空题（共5小题）16．（2024•运城二模）已知集合，，若，则的子集的个数为．17．（2024•静安区二模）在下列关于实数、的四个不等式中，恒成立的是．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．18．（2024•濮阳模拟）设，，记为三个数中最大的数，则的最小值．19．（2024•拉萨一模）已知正数，满足，则的最小值为．20．（2024•上海）已知，的最小值为．四．解答题（共5小题）21．（2024•雅安模拟）已知．（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值．22．（2023•绵阳模拟）已知函数，，且的解集为，．（1）求的值；（2）若，，，且，证明：．23．（2023•陕西模拟）已知，，为正实数且．（1）求的最小值；（2）当时，求的值．24．（2022•上海模拟）已知函数的定义域为，值域为．若，则称为“型函数”；若，则称为“型函数”．（1）设，，，试判断是“型函数”还是“型函数”；（2）设，，若既是“型函数”又是“型函数”，求实数，的值；（3）设，，，若为“型函数”，求（2）的取值范围．25．（2022•全国四模）已知不等式的解集为，，．（1）若，或，求的最小值；（2）若，且，求的最小值．

2025年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•白山一模）设集合，，则A． B．， C．， D．【答案】【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算；其他不等式的解法【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；集合；数学抽象【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得．【解答】解：在中，由得，即，，又由可得：，解得，即，，故，．故选：．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2．（2024•张家口三模）已知正数，满足，则的最大值为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值．【解答】解：因为，为正数，则，当且仅当时，等号成立，因为，所以，在等式两边同时乘以，可得：，即，解得，当且仅当时，即当时，取得最大值8．故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，是中档题．3．（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于，若，则，选项不成立，故错误；对于，，，由不等式的可加性可知，，故正确．对于、，若，则选项不成立，故、错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．4．（2024•南开区一模）若，则的最小值是A．2 B． C．3 D．【答案】【考点】：基本不等式及其应用【专题】11：计算题【分析】将变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得．【解答】解：因为，所以，所以当且仅当即时取“”故选：．【点评】利用基本不等式求函数的最值，一定注意使用的条件：一正、二定、三相等．5．（2024•浙江模拟）已知实数，满足，且，则的最小值为A． B．8 C． D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】数学运算；转化法；转化思想；不等式的解法及应用【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：，则，故，，故，当且仅当时，等号成立．故选：．【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．6．（2024•高州市模拟）已知，，则下面结论正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则有最小值4 D．若，则【答案】【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质；基本不等式及其应用【专题】综合法；数学运算；整体思想；不等式【分析】由已知结合基本不等式及不等式性质检验各选项即可判断．【解答】解：因为，，若，则，当且仅当时取等号，错误；当时，显然错误；若，则，当且仅当时取等号，正确；因为，所以，，故错误．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式性质的应用，属于基础题．7．（2024•崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是A． B． C． D．【答案】【考点】不等式的基本性质【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：，，，与大小关系不确定，，与的大小关系不确定．则下列不等式成立的是．故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（2024•嘉兴二模）若正数，满足，则的最小值是A． B． C． D．2【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】综合法；数学运算；不等式；转化思想【分析】根据条件得出，从而得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：正数，满足，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为．故选：．【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，是基础题．9．（2024•定西模拟）的最小值为A． B． C． D．【答案】【考点】基本不等式及其应用；函数的最值【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】根据基本不等式可得结果．【解答】解：由题意得，则，当且仅当时等号成立，所以最小值为．故选：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．10．（2024•九龙坡区校级模拟）已知，且，则的最小值为A． B． C．1 D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】不等式；数学运算；综合法；转化思想；计算题【分析】根据题意，以与为基本量，化简得，然后根据基本不等式，结合“1的代换”算出所求最小值．【解答】解：根据题意，可得，因为，所以，由，且与都是正数，可得．当且仅当时，即时，等号成立．因此，的最小值为．故选：．【点评】本题主要考查了不等式的性质，利用基本不等式求最值等知识，考查计算能力，属于中档题．二．多选题（共5小题）11．（2024•河池二模）若，则下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式【专题】转化思想；数学运算；转化法；不等式的解法及应用【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：，，，，即，故正确；不妨取，，，，，显然，故错误；，，，，即，故正确；，，，，，，正确．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．12．（2024•随州模拟）设正实数，满足，则下列结论正确的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由，根据，逐一判断各选项即可．【解答】解：正实数，满足，对于，即有，可得，即有，即有时，取得最小值4，故正确；对于，由，可得有最大值，故错误；对于，由，可得时，取得最大值，故正确；对于，由可得，则，当时，取得最小值，故正确．综上可得，，均正确．故选：．【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查了转化思想，属于基础题．13．（2024•广东模拟）若，，，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；转化法【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，依次求解．【解答】解：，对于，，当且仅当时，等号成立，故正确；对于，，当且仅当时，等号成立，故，故错误；对于，，当且仅当时，等号成立，故正确；对于，，，，则，当且仅当，即，时，等号成立，故正确．故选：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查转化能力，属于中档题．14．（2024•甘肃模拟）已知，，若，则A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；转化法；逻辑推理【分析】对于，选项，直接由基本不等式即可求出最值；对于选项，化为，即可求出最小值；对于选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可．【解答】解：对于选项，由，即，当且仅当，且，即时，取等号，所以正确；对于选项，因为，当且仅当时，取到最小值，所以错误；对于选项，因为，，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以正确；对于选项，当且仅当，且，即时，取等号，所以正确．故选：．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．15．（2024•北京模拟）已知正实数，满足，则下列说法正确的是A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；综合法；数学运算；不等式的解法及应用【分析】根据正实数，满足，结合基本不等式分别判断各选项即可．【解答】解：，当且仅当等号成立，所以的最小值为4，故正确；，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故错误；由基本不等式，可得，当且仅当等号成立，所以的最大值为，故正确；由基本不等式，可得，当且仅当等号成立，所以的最大值为，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•运城二模）已知集合，，若，则的子集的个数为8．【答案】8．【考点】并集及其运算；指、对数不等式的解法；交集及其运算【专题】数学运算；综合法；整体思想；集合【分析】先求出集合，然后结合集合的交集运算及元素与集合关系先求出，进而可求，结合集合的并集及集合子集的个数规律即可求解．【解答】解：因为，，，若，则，所以，即，，，，1，，子集个数为．故答案为：8．【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合子集个数的判断，属于基础题．17．（2024•静安区二模）在下列关于实数、的四个不等式中，恒成立的是②③④．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．【答案】②③④．【考点】基本不等式及其应用【专题】综合法；数学运算；转化思想；不等式【分析】根据基本不等式可判断①不成立；作差比较法可判断②④是否成立；根据绝对值不等式的性质可判断③成立．【解答】解：，时，不成立，①不成立；，，②成立；，③成立；，，④成立．故答案为：②③④．【点评】本题考查了基本不等式的条件，绝对值不等式的性质，作差比较法的运用，是基础题．18．（2024•濮阳模拟）设，，记为三个数中最大的数，则的最小值2．【答案】2．【考点】不等式比较大小【专题】转化思想；转化法；数学运算；不等式的解法及应用【分析】分类讨论的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论．【解答】解：由，，①当时，，而，可得至少有一个不小于2，则的最小值为2；②当时，，而，可得至少有一个不小于2，的最小值不小于2．综上，的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．19．（2024•拉萨一模）已知正数，满足，则的最小值为2．【答案】2．【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；不等式的解法及应用；转化法；数学运算【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：正数，满足，则，当且仅当时取等号，故的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．20．（2024•上海）已知，的最小值为12．【答案】12．【考点】基本不等式及其应用【专题】综合法；数学运算；不等式；整体思想【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：由，，当且仅当，即或时取最小值12，所以的最小值为12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．四．解答题（共5小题）21．（2024•雅安模拟）已知．（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值．【答案】（1）．（2）8．【考点】运用基本不等式求最值【专题】综合法；计算题；数学运算；不等式的解法及应用；整体思想【分析】（1）由得，则，可得结果．（2）利用基本不等式先求出的最值，再求出的最值，可得结果．【解答】解：（1）因为，所以且，所以，则，解得，又，所以的取值范围为．（2），当且仅当，即，时，等号成立，，即，当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．22．（2023•绵阳模拟）已知函数，，且的解集为，．（1）求的值；（2）若，，，且，证明：．【考点】：基本不等式及其应用【专题】34：方程思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用【分析】（1）运用绝对值的解法，即可得到所求值；（2）运用乘1法和基本不等式，即可得到证明．【解答】解：（1）函数，，且的解集为，，可得的解集为，，即有，，，可得；（2）证明：，，，且，则，当且仅当，取得等号．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．23．（2023•陕西模拟）已知，，为正实数且．（1）求的最小值；（2）当时，求的值．【答案】（1）的最小值为；（2）．【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；整体思想；对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；（2）由基本不等式可得，结合条件得，从而求、、的值，即可得的值．【解答】解：（1）由柯西不等式得，，故；当且仅当，即，，时，等号成立；故的最小值为；（2）由基本不等式可得，，，，故，故，当且仅当，且，即，，时，等号成立，又，，即，，，．【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．24．（2022•上海模拟）已知函数的定义域为，值域为．若，则称为“型函数”；若，则称为“型函数”．（1）设，，，试判断是“型函数”还是“型函数”；（2）设，，若既是“型函数”又是“型函数”，求实数，的值；（3）设，，，若为“型函数”，求（2）的取值范围．【答案】（1）是“型函数”；（2），；（3），．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；基本不等式及其应用【专题】数学运算；整体思想；不等式的解法及应用；数形结合；函数的性质及应用；综合法【分析】（1）利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；（2）分，和，结合函数的单调性分类讨论求解；（3）分不同的取值结合“型函数”的定义即可求范围．【解答】解：（1）当，时，，当且仅当时取等号，由于（1），（4），所以函数的值域为，因为，所以，所以是“型函数”；（2），定义域为，，由题意得函数的值域也为，，显然，否则值域不可能由负到正，当，时，在，上单调递增，则，得，；当，时，在，上单调递减，则得，；（3），，，由题意得函数的值域，，当时，的最小值（1），当时，的最小值（a），当时，的最小值（3），当时，的最大值（3），当时，的最大值（1），因为（2），由点所在的可行域，当，时，（2）取最大值，最大值为2，当（2）与相切，即，时，（2）取最小值，最小值为1，因此（2）的取值范围是，．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．25．（2022•全国四模）已知不等式的解集为，，．（1）若，或，求的最小值；（2）若，且，求的最小值．【答案】（1）的最小值为3；（2）的最小值等于．【考点】一元二次不等式及其应用；基本不等式及其应用；不等式的基本性质【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）不等式的解可转化为方程的两个根为1，2，由根与系数的关系求，，再利用绝对值的性质求解的最小值即可；（2）由，且，可得，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）由于不等式的解集为，或，所以，可得，，即．（当且仅当时，等号成立），（2）当时，不等式为，，因为，，所以可得，所以，（当且仅当时，等号成立），所以的最小值等于．【点评】本题考查了二次不等式及二次方程的性质应用，基本不等式的应用，属于中档题．

考点卡片1．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．3．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．4．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔．证明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，则∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．5．不等式比较大小【知识点的认识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【命题方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a+b的大小关系为（）A．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q＝﹣a﹣b＝＝（b2﹣a2）＝，∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．6．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．7．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+的最小值，可以利用均值不等式从而得出最小值为2，并且在x＝1时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则的最大值是_____．解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则＝，当且仅当a＝b＝时取等号．故答案为：．8．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：9．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有，解得2＜x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x＜2．综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．10．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是