微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-11.试利用本节定义5后面的注（3）证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a.证：由，知，，当时，有取，有，，设时（此时）有由数列极限的定义得.2.试利用不等式说明：若xn=a,则∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.证：而于是，即由数列极限的定义得考察数列，知不存在，而，，所以前面所证结论反之不成立。3.利用夹逼定理证明：(1)=0；(2)=0.证：（1）因为而且，，所以由夹逼定理，得.（2）因为，而且，所以，由夹逼定理得4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1)xn=，n=1,2,…；(2)x1=,xn+1＝,n=1,2,….证：（1）略。（2）因为，不妨设，则故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，又，而,，所以即，即数列是单调递增数列。综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。习题2-21※.证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.证：先证充分性：即证若，则.由及知：,当时，有，当时，有。取，则当或时，有，而或就是，于是，当时，有，所以.再证必要性：即若，则,由知，，当时，有，由就是或，于是，当或时，有.所以综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.2.(1)利用极限的几何意义确定(x2+a),和；(2)设f(x)=，问常数a为何值时，f(x)存在.解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.（2）若存在，则，由（1）知，所以，当时，存在。3.利用极限的几何意义说明sinx不存在.解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。习题2-31.举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。2.判断下列命题是否正确：(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4)有限个无穷小量之和为无穷小量；(5)有限个无穷大量之和为无穷大量；(6)y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但xsinx≠∞；(7)无穷大量的倒数都是无穷小量；(8)无穷小量的倒数都是无穷大量.解：（1）错误，如第1题例1；（2）正确，见教材§定理3；（3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；（4）正确，见教材§定理2；（5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；（6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；（7）正确，见教材§定理5；（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；(3)f(x)=,x→0+，x→0-；(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=，x→∞.解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；当时，是无穷小量。（3）从的图可以看出，，所以，当时，是无穷大量；当时，是无穷小量。（4），当时，是无穷小量。 （5）当时，是无穷小量，是有界函数，是无穷小量。（6）当时，是无穷小量，是有界变量，是无穷小量。习题2-41.若f(x)存在，g(x)不存在，问［f(x)±g(x)］,［f(x)·g(x)］是否存在，为什么?解：若f(x)存在，g(x)不存在，则（1）［f(x)±g(x)］不存在。因为若［f(x)±g(x)］存在，则由或以及极限的运算法则可得g(x)，与题设矛盾。（2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，则，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。又如：，，则，不存在，而［f(x)·g(x)］不存在。2.若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明f(x)≥g(x).证：设f(x)=A，g(x)=B，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有令，则当时，有从而，由的任意性推出即.3.利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，am为m个正常数，则=A,其中A=max{a1,a2,…，am}.证：因为，即而，，由夹逼定理得.4※.利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝,x2=,…，xn+1=（n=1,2,…），则xn存在，并求该极限.证：因为有今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增。又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.5.求下列极限：(1)；(2)；(3);(4)；(5).解：（1）原式=；（2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：；（3）而，；（4）；（5）.6.求下列极限：(1)；(2)；(3);(4);(5);(6);(7);(8)；(9)；(10)；(11).解：（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）；（9）；（10）（11）当时，是无穷小量，是有界函数，它们之积是无穷小量，即。习题2-5求下列极限(其中a＞0,a≠1为常数）：1.;2.;3.xcotx;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;.解：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.8.令，则，当时，，.9.（利用了第8题结论）；10.；11.；12.；13.令，则，当，，；14.令，则，当，，.习题2-61.证明：若当x→x0时，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，则当x→x０时，(x)～β(x)的充要条件是＝０.证：先证充分性.若＝０，则＝0,即，即.也即，所以当时，.再证必要性：若当时，，则，所以＝＝.综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是＝０.2.若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.证：即.3.证明：若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.证:∵当x→0时,f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)∴于是:∴当x→0时,,∵而当x→0时,,由前面所证的结论知,,所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.4.利用等价无穷小量求下列极限：(1)(b≠0)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(a≠b)；(7)；(8)设＝100,求f(x).解(8)由,及知必有,即,所以.习题2-7１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：(1)f(x)=(2)f(x)＝解:(1)∴f(x)在x=0处右连续,又∴f(x)在x=1处连续.又∴f(x)在x=2处连续.又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述,f(x)在[0,2]上连续.图形如下:图2-1(2)∴f(x)在x=1处连续.又故∴f(x)在x=-1处间断,x=-1是跳跃间断点.又f(x)在显然连续.综上所述函数f(x)在x=-1处间断,在上连续.图形如下:图2-22.说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?略.3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：(1)f(x)=；(2)f(x)＝；(3)f(x)=；(4)f(x)=；(5)f(x)=.解:(1)由得x=-1,x=-2∴x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.(2)由sinx=0得,k为整数.∴x=0是跳跃间断点.(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.∴x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.(5)在x=0无定义故x=0是f(x)的可去间断点.5.适当选择a值，使函数f(x)=在点x=0处连续.解:∵f(0)=a,要f(x)在x=0处连续,必须.即a=1.6※.设f(x)=，讨论f(x)的连续性.解:所以,f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.7.求下列极限：(1)；(2)；(3)ln(x-1);(4)arcsin；(5)(lnx)x.解:习题2-81.证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.证:令,则在[1,2]上连续,且,由零点存在定理知至少存在一点使得.即,即方程至少有一个介于1和2之间的根.2.证明方程ln（１＋ex）-2x=0至少有一个小于1的正根.证:令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,且由零点存在定理知至少存在一点使得.即方程至少有一个小于1的正根.3※.设f(x)∈C（-∞，+∞），且f(x)=A,f(x)=B,A·B＜0，试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点