2024-2025学年江苏省南京市高一上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高一上学期12月月考数学检测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合，，若，则a等于A．或3 B．0或 C．3 D．2．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是A．2 B．3 C．4 D．53．已知函数，则的值为A．4 B． C． D．已知函数（其中a，b为常数，且b<a），若的图象如右图所示，则函数的图象是B．C． D．5．计算：A．＋1 B．1 C．－1 D．－+16．已知，则A． B． C． D．7．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（

）A． B． C． D．8．已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．9．若角的终边上有一点，则的值可以是A． B． C． D．10．下列说法不正确的是A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数是减函数C．函数的图象关于点成中心对称D．幂函数在上为减函数，则的值为1或211．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是A．B．是奇函数C．若，则D．若当时，，则在单调递减三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．计算：=eq\o(▲,________)．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是eq\o(▲,________)．14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如.已知函数，则函数的值域是eq\o(▲,________)．四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．设全集，，．(1)当a＝1时，求A∩B，(CUA)∪B；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．已知角满足.(1)若，求的值；(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.17.如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内；(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？18．已知函数是偶函数，其中为实数.(1)求的值；(2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.19．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.（）2024-2025学年江苏省南京市高一上学期12月月考数学检测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合，，若，则a等于A．或3 B．0或 C．3 D．【正确答案】C【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可.【详解】因为，且，即，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故舍去，当时，，符合题意.故选：C2．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正确答案】A【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可.【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即，又，故.故选：A3．已知函数，则的值为（

）A．4 B． C． D．【正确答案】C【分析】根据分段函数的解析式，即可根据自变量的范围代入求值.【详解】，,故，故选：C.已知函数（其中，为常数，且），若的图象如右图所示，则函数的图象是（

）B．C． D．【正确答案】A【分析】由图可得，计算出并结合指数函数性质即可得解.【详解】由图可得，则有，且该函数为单调递减函数，故B、C、D错误，A正确.故选：A.5．计算（）A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1【正确答案】A【分析】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.【详解】原式.故答案为.6．已知，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解.【详解】因为，所以.故选：A.7．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果．【详解】依题意有，即，两边取对数得，所以，得到，当容器中只有开始时的时，则有，所以，两边取对数得，所以，故选：C．8．已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，所以.设，因为，即所以在单调递增，最小值为，因为，，，即，所以，令，易得，所以，即，显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为.故选：B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．9．若角的终边上有一点，则的值可以是（

）A． B． C． D．【正确答案】AD【分析】根据三角函数的定义计算，注意分类讨论．【详解】若的终边上有一点，则，，所以.故选：AD.10．下列说法不正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数是减函数C．函数的图象关于点成中心对称D．幂函数在上为减函数，则的值为1或2【正确答案】ABD【分析】对于A：根据抽象函数的定义域分析求解；对于B：根据反比例函数的单调性；对于C：根据反比例函数的对称性结合函数平移分析判断；对于D：根据幂函数的定义和性质列式求解.【详解】对于A，函数的定义域为，由得，则函数的定义域为，A错误；对于B，函数在和上是减函数，在整个定义域内不为减函数，B错误；对于C，函数的图象的对称中心为，将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，所以函数的对称中心为，C正确；对于D，因为函数为幂函数且在上为减函数，所以，解得，D错误．故选：ABD．11．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（

）A．B．是奇函数C．若，则D．若当时，，则在单调递减【正确答案】ABD【分析】对于A选项，令即可；对于B选项，令，令即可；对于C选项，令，即可；对于D选项，由得，根据函数单调性定义即可.【详解】因为，所以令，得，故A正确；令，得，所以，令，得，所以，令，得，又，所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故正确；令，得，又，所以，故C错误；当时，由，可得，又，，在上任取，不妨设，，，故，在单调递减，故D正确.故选：ABD.关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．计算：=eq\o(▲,________)．【正确答案】【分析】根据指数幂运算性质以及对数运算性质求解出结果.【详解】原式，故答案为.13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是eq\o(▲,________)．【正确答案】【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.【详解】由题设，令，而为增函数，∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，，可得，∴的取值范围是.故14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如.已知函数，则函数的值域是eq\o(▲,________)．【正确答案】【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为，定义域为，因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减，当时，；当时，，即；当时，；所以，当时，则，于是；当时，则，于是；当时，.综上所述，的值域为.故答案为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．设全集，，．(1)当a＝1时，求A∩B，(CUA)∪B；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【正确答案】(1)；或x≥0(2)【分析】（1）解不等式可得集合，将代入解出集合，根据集合基本运算即可求得结果；（2）根据题意可得集合是集合的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数a的取值范围．【详解】（1）令可得，解得，…………2分所以，或当时，，所以，…………4分或x≥0.…………6分（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，…………8分又，所以，…………11分解得，故实数a的取值范围为．…………13分16．已知角满足.(1)若，求的值；(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）确定，根据，结合角度范围解得答案.（2）确定，，，变换，计算得到答案.【详解】（1），即，又，故，，-----------------3分又，故，------------------5分.------------------------7分（2）角的终边与角的终边关于轴对称，则，----------9分，-----------11分，---------13分故.-----------------15分17．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内；(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？【正确答案】(1)(2)米时，用料最省．【分析】（1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解；（2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，则，则，…2分花坛AMPN面积等于，…………3分由题意，…………4分可得，即，解得或，所以AN的长应在范围内.…………7分（2）解：根据题意，可得扩建部分面积，…………10分令，可得，…………14分当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省．…………15分

18．已知函数是偶函数，其中为实数.(1)求的值；(2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)；(2)存在.【分析】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可；（2）由题设有，应用换元法，令且，结合二次函数性质，讨论对称轴与区间的位置研究最小值，即可得参数值.【详解】（1）因函数（）是偶函数，故，-----------2分因x∈R且不恒为0，故，得.-------------5分（2）由（1），得，-----------7分则，--------9分设，因，则，，其对称轴为，---------10分当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去；---------------12分当时，在区间上先减后增，故，解得，故；----------------------14分当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去.------------------------------16分故存在，使得0.-----------------0.-----------------17分19．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.【正确答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据题意，为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；（2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；（3）根据“k阶局部奇函数”的定义，转化对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，为对任意的实数恒成立问题，讨论二次项系数是否为零，不为零时讨论Δ≥0恒成立，再令，求解，即可.【详解】（1）为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上