(16)无穷小的“阶”及应用

微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果商的极限为1，则分子分母为等价无穷小。极限为0

，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。利用

Δy

～

dy

（数学一，二用T公式）生成等价无穷小

——当f

′（x0）≠0时

，Δy

～

dy

，在原点计算Δy和dy

，得到常用的4个等价无穷小sin

x

～

x

；

ln（1+x）～

xexp（x）－1

～

x

；√（1+x）－1～

x∕2最好再记住

1－cos

x

～

x²∕2

（exp（x）记以e为底的指数函数）等价无穷小的复合拓展

——x→0时，α(x)是无穷小，则

sinα(x)

～α(x)

；

ln（1+α(x)）～α(x)，……

标准阶无穷小与无穷小的阶

——高等微积分中，把x→0（或0+）时，幂函数

y=

（x的µ次方）

称为µ阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是µ阶无穷小。于是，常用的1阶无穷小有，

x

，sin

x

，tgx

，arcsinx

，arctgx

，exp（x）－1常用的2阶无穷小有

1－cos

x等价无穷小的差为高阶无穷小

——值得记一记的有（常见的三阶无穷小）

x−sinx

~

x³/6

x−lnx（1+x）~

x²/2

，

exp（x）－（1

+

x）

～

x²/2！

，……不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。比如

y=ln（1+x）+1－cos

x

是1阶无穷小再复杂一点，5x−sinx－cosx

+1=4x+

（1－cosx）

+（x−sinx），是1

阶无穷小由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。

无穷小的积是高阶无穷小。无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。比如，x→0时，x2+3x

与x

同为１阶。实际上，x2+3x=x（x+3），后因子极限非0但xsin（1/x）的阶数不能确定。在阶的意识下对0/0型未定式作结构分析与调整

——例1

x→∞，

求

limxsin（2x/（x²+1））分析

x→∞

时，2x/（x²+1）是无穷小，sin（2x/（x²+1））～（2x/（x²+1），可替换。例2

x→0时，

求

lim(5x−sinx－cosx

+1)/(3x-lnx)分析

原极限

=

lim(4x+

1－cosx

+x−sinx)/(2x+x

-lnx)分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化0项法”，

分子分母同除以（商式中的）最低阶的无穷小。

原极限

=2例3

x→0时，

求

lim（1/x²）ln（sin

x/

x）分析（数三学过幂级数）

sin

x=x

－x³/6+

……ln（sin

x/

x）=ln（1—x²

/

6+

……）～

—x²

/

6

，可替换。无穷小怪例

——不能确定阶数的无穷小怪例1

α=xsin（1/x）和β=x

都是无穷小，但是它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。更有意思的是，若γ=

x的k次方，则无论

k=0.9,还是k=0.99,k=0.999,……，α总是比γ高阶的无穷小。怪例2

x

→

+∞时，

lim

（x的n次方）∕exp（x）=0即

lim

（x的n次方）exp（－x）=0这表明：“x趋于

+∞时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”或说，x

→

+∞时，

exp（－x）是“任意大阶的”无穷小。它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。

怪例3

x

→

+∞时，

lim

lnx∕（x的δ次方）=0

其中，δ是任意取定的一个很小的正数。这表明：x

→

+∞时，“对数函数lnx总是比x的δ次方都还要低阶的无穷大。”或说，1/lnx是“阶数任意小”

的无穷小。

无穷小的阶与级数，广义积分收敛性

——判断级数，广义积分收敛性，首先判断绝对收敛性。如果用“无穷小量”的语言来说，则，“级数收敛的必要条件是，n

→

+∞时，级数的通项是无穷小量。”这个条件不是充分条件。如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p

，

则p

>1时级数收敛，p≤1时级数发散。“已经判定”是重要前提。请看（并记住）怪例尽管1/nlnn是较1/n高阶的无穷小，但是，通项为

1/nlnn的级数也发散．然而，通项为

1/n(lnn)²的级数收敛．你却不能确定其无穷小阶．＊若n

→

+∞时，两个正项级数和的通项是同阶无穷小，则这两个级数或者都收敛，或者都发散。（这是极限形式的比较法的实质。）例

∑Un为正项级数，下列结论中正确的是______（A）若n

→

+∞时，limnUn=0

，则∑Un收敛。

（B）若∑Un收敛，则n

→

+∞时，lim

n²Un=0（C）若存在非零常数λ，使得n

→

+∞时，limnUn=λ，则级数

∑Un发散。（D）若级数∑Un发散，则存在非零常数λ，使得limnUn=λ分析

（A）错，条件虽然说明n

→

+∞时，Un是比1/n高阶的无穷小，但我们不能确定其阶数。答案为（C），它说明n

→

+∞时，Un是与1/n同阶的无穷小。对于广义积分．有判断定理——

若ｘ→

+∞时，ｆ（ｘ）