高考数学总复习《函数模型及其应用》专项测试卷带答案

第第页高考数学总复习《函数模型及其应用》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，则m的值为()A．7B．8C．9D．102．北京时间2023年2月10日00时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足关系：d(x)＝10lgeq\f(x,10－12).若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为()A．130dB B．140dBC．150dB D．160dB3．(2024·山东泰安一中月考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)，种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋4eq\r(2a1)，Q＝eq\f(1,4)a2＋120.设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)，则f(x)的最大值为()A．282万元 B．228万元C．283万元 D．229万元4．基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在某流行病的初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在某流行病的初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为(ln2≈0.69，ln3≈1.10)()A．1.8天 B．2.9天C．3.6天 D．5.8天5．(2024·浙江杭州学军中学月考)某市家庭天然气的使用量x(m3)和天然气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤A，,4＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2023年前三个月的天然气费如表：月份使用量天然气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的天然气，则其天然气费为()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元6．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝eq\f(r,k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m0－\f(r,k)))eeq\s\up15(－eq\f(k,v)t)(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)()A．1个月 B．3个月C．半年 D．1年7．(2024·湖北荆门模拟)随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年10%的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．6年 B．7年C．8年 D．9年二、多项选择题8．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒9．目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：年份x2018201920202021包装垃圾生产量y(万吨)46913.5有下列函数模型：①y＝a·bx－2018；②y＝sineq\f(πx－2018,2018)＋b.(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)则以下说法正确的是()A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2018，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sineq\f(πx－2018,2018)＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨10．(2024·山东济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是()A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲三、填空题与解答题11．(2024·吉林一中月考)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．12．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：上市时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________元/100kg.13．某公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得年利润L万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x>0)．求当年广告费投入多少万元时，该公司的年利润最大．14．智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0<v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且1≤k≤2)．阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0．8秒t2＝0．2秒t3距离d0＝10米d1d2d3＝eq\f(v2,20k)米(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?高分推荐题15．保障国家粮食安全是一个永恒课题，任何时候这根弦都不能松．一年之计在于春，眼下，全国春耕备耕从南到北陆续展开，各粮食产区把保障粮食和重要农产品稳定安全供给作为头等大事，加快提升粮食综合生产能力．受气候影响，我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律，农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份．为了保证某地A，B两个产粮大镇农作物的用水需求，该地政府决定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库．已知蓄水库原有水量为18万立方米，计划从2月初每月补进q万立方米地下水，连续补水9个月，以满足A，B两镇农作物灌溉需求．若A镇农作物每月的需水量为2万立方米，B镇的农作物前x个月的总需水量为2peq\r(x)万立方米，其中1≤x≤9且x∈N*.已知B镇前4个月的总需水量为24万立方米．(1)试写出第x个月水被抽走后，蓄水库内蓄水量W(单位：万立方米)与x的函数关系式；(2)要使9个月内每月初按计划补进地下水之后，水库的蓄水量不超过蓄水库的容量且总能满足A，B两镇的农作物用水需求，试确定q的取值范围．解析版一、单项选择题1．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，则m的值为()A．7B．8C．9D．10解析：令eq\f(1,8)a＝aent，则eq\f(1,8)＝ent，由已知得eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，∴t＝15，m＝15－5＝10.故选D.答案：D2．北京时间2023年2月10日00时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足关系：d(x)＝10lgeq\f(x,10－12).若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为()A．130dB B．140dBC．150dB D．160dB解析：设人交谈时的声强为x1，则火箭发射时的声强为109x1，且50＝10lgeq\f(x1,10－12)，得x1＝10－7W/m2，则火箭发射时的声强约为109×10－7＝102(W/m2)，将其代入d(x)＝10lgeq\f(x,10－12)中，得d(102)＝10lgeq\f(102,10－12)＝140(dB)，故火箭发射时的声强级约为140dB.故选B.答案：B3．(2024·山东泰安一中月考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)，种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋4eq\r(2a1)，Q＝eq\f(1,4)a2＋120.设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)，则f(x)的最大值为()A．282万元 B．228万元C．283万元 D．229万元解析：当甲大棚的投入资金为x(单位：万元)时，乙大棚的投入资金为200－x(单位：万元)，所以f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥40，,200－x≥40))可得40≤x≤160，令t＝eq\r(x)，则t∈[2eq\r(10)，4eq\r(10)]，g(t)＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋250＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋282，因为8eq\r(2)∈[2eq\r(10)，4eq\r(10)]，所以当t＝8eq\r(2)，即x＝128时，总收入最大，为282万元．故选A.答案：A4．基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在某流行病的初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在某流行病的初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为(ln2≈0.69，ln3≈1.10)()A．1.8天 B．2.9天C．3.6天 D．5.8天解析：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1＋rT，可得r＝0.38，所以I(t)＝e0.38t.当t＝0时，I(0)＝1，则令e0.38t＝3，两边取对数得0.38t＝ln3，解得t＝eq\f(ln3,0.38)≈eq\f(1.10,0.38)≈2.9(天)．故选B.答案：B5．(2024·浙江杭州学军中学月考)某市家庭天然气的使用量x(m3)和天然气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤A，,4＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2023年前三个月的天然气费如表：月份使用量天然气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的天然气，则其天然气费为()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元解析：根据题意可知f(25)＝4＋B(25－A)＝14，f(35)＝4＋B(35－A)＝19，联立两式解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x>5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)×(20－5)＝11.5(元)．答案：A6．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝eq\f(r,k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m0－\f(r,k)))eeq\s\up15(－eq\f(k,v)t)(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)()A．1个月 B．3个月C．半年 D．1年解析：由题可知，m(t)＝m0eeq\s\up15(－eq\f(1,80)t)＝0.1m0，∴eeq\s\up15(－eq\f(1,80)t)＝0.1，∴－eq\f(1,80)t＝ln0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年．故选C.答案：C7．(2024·湖北荆门模拟)随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年10%的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．6年 B．7年C．8年 D．9年解析：由题设原来的患病率为a，经过x年患病率降为原来的一半，则有a(1－10%)x＝eq\f(1,2)a，即0.9x＝0.5，所以x＝log0.90.5＝eq\f(lg0.5,lg0.9)＝eq\f(lg\f(1,2),lg\f(9,10))＝eq\f(－lg2,lg9－lg10)＝eq\f(－lg2,lg32－1)＝eq\f(－lg2,2lg3－1)≈eq\f(－0.3010,2×0.4771－1)≈6.572，故至少需要7年时间．故选B.答案：B二、多项选择题8．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒解析：从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．答案：ABC9．目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：年份x2018201920202021包装垃圾生产量y(万吨)46913.5有下列函数模型：①y＝a·bx－2018；②y＝sineq\f(πx－2018,2018)＋b.(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)则以下说法正确的是()A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2018，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sineq\f(πx－2018,2018)＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨解析：若选y＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2018，计算可得对应数据近似值为4,6,9,13.5，若选y＝sineq\f(πx－2018,2018)＋4，计算可得对应数据近似值不会大于5，显然A正确，B错误；按照选择函数模型y＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2018，令y>40，即4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2018>40，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2018>10，即x－2018>logeq\f(3,2)10，∴x－2018>eq\f(lg10,lg\f(3,2))＝eq\f(1,lg3－lg2)≈5.6786，∴x>2023.6786，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．答案：AD10．(2024·山东济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是()A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数(a＞1)的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．故选CD.答案：CD三、填空题与解答题11．(2024·吉林一中月考)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x年后花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元，依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.0634>0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．答案：412．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：上市时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________元/100kg.解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.答案：(1)120(2)8013．某公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得年利润L万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x>0)．求当年广告费投入多少万元时，该公司的年利润最大．解：L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq\f(51,2)－2eq\r(\f(x,2)·\f(8,x))＝eq\f(43,2)，当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(8,x)，即x＝4时，L取得最大值eq\f(43,2).故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．14．智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0<v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且1≤k≤2)．阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0．8秒t2＝0．2秒t3距离d0＝10米d1d2d3＝eq\f(v2,20k)米(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?解：(1)由题意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋eq\f(v2,20k)，即d(v)＝10＋v＋eq\f(v2,20k)，当k＝2时，d(v)＝10＋v＋eq\f(v2,40)，t(v)＝eq\f(dv,v)＝eq\f(10,v)＋eq\f(v,40)＋1≥2×eq\f(1,2)＋1＝2，当且仅当v＝20时等号成立，满足0<v≤33.3，符合题意．即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒．(2)当k＝1时，d(v)<50，即10＋v＋eq\f(v2,20)<50，即v2＋20v－800<0，解得－40<v<20，又0<v≤33.3，故0<v<20，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下．高分推荐题15．保障国家粮食安全是一个永恒课题，任何时候这根弦都不能松．一年之计在于春，眼下，全国春耕备耕从南到北陆续展开，各粮食产区把保障粮食和重要农产品稳定安全供给作为头等大事，加快提升粮食综合生产能力．受气候影响，我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律，农