高考数学总复习《椭圆》专项测试卷及参考答案

第第页高考数学总复习《椭圆》专项测试卷及参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．42．(2023·湖南长沙模拟)椭圆eq\r(x－32＋y－42)＋eq\r(x＋32＋y＋42)＝26的短轴长为()A．10 B．12C．24 D．263．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)4．(2024·四川资阳模拟)如图所示，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H，若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为()A．20 B．10C．2eq\r(5) D．4eq\r(5)5．(2024·山东聊城模拟)研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根．设椭圆C的焦点为F1，F2，P为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆的半径，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为eq\f(1,5)R2，则椭圆C的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(,2),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(,3),3)6．(2024·广东东莞模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝17．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(,3),2)，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()A．1 B．2C．4 D．88．(2024·广西柳州、梧州大联考)已知F是椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P为椭圆C上一点，A(1，2eq\r(,2))，则|PA|＋|PF|的最大值为()A．4eq\r(,2) B．4eq\r(,3)C．4＋2eq\r(,2) D．4＋2eq\r(,3)9．已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2的内切圆半径为()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(4,3)二、多项选择题10．2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米，远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2eq\r(,m＋rn＋r)D．a2c1<a1c211．数学家称eq\f(\r(5)－1,2)为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有()A．ω2＋ω＝1B．黄金椭圆的离心率e＝ωC．设直线OQ的倾斜角为θ，则sinθ＝ωD．交点Q的坐标为(b，ωb)三、填空题与解答题12．(2024·山东济宁第一中学质量检测)如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF＝AB，则椭圆的离心率为________．13．(2024·河北平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．14．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，点A到直线EF2的距离为eq\f(\r(,6),2)b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq\r(,3)，求椭圆C的标准方程．高分推荐题15．(多选)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，则下列结论正确的是()A．△MF1F2的周长为6B．△MF1F2的面积为eq\f(\r(,15),2)C．△MF1F2的内切圆的半径为eq\f(\r(,15),9)D．△MF1F2的外接圆的直径为eq\f(32,11)解析版一、单项选择题1．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4解析：将原方程变形为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.由题意知a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，∴a＝eq\r(,\f(1,m))，b＝1.∴eq\r(,\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).答案：A2．(2023·湖南长沙模拟)椭圆eq\r(x－32＋y－42)＋eq\r(x＋32＋y＋42)＝26的短轴长为()A．10 B．12C．24 D．26解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝26，,2c＝\r(－3－32＋－4－42)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝13，,c＝5，))则b＝12,2b＝24.故选C．答案：C3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为eq\f(2,sin60°)＝eq\f(4\r(3),3)，即长半轴长为eq\f(2\r(3),3)，所以半焦距为eq\f(\r(3),3)，故离心率为eq\f(1,2).答案：B4．(2024·四川资阳模拟)如图所示，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H，若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为()A．20 B．10C．2eq\r(5) D．4eq\r(5)解析：∵F1H＝HN，OF1＝OF2，∴OH∥F2N，∵Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(4,a)))，∴可得Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a))).∵F1为MH的中点，∴易得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(2,a)))，将点M代入椭圆方程，即eq\f(4c2,a2)＋eq\f(1,a2)＝1，即4c2＋1＝a2，∴b2＝a2－c2＝3c2＋1＝4，∴c2＝1，∴a＝eq\r(5)，∴△F2MN的周长为4a＝4eq\r(5).答案：D5．(2024·山东聊城模拟)研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根．设椭圆C的焦点为F1，F2，P为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆的半径，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为eq\f(1,5)R2，则椭圆C的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(,2),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(,3),3)解析：设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得R2＝a2＋b2.设P(x，y)，F1(c,0)，F2(－c,0)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2＋y2－c2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2－\f(b2x2,a2)))－c2＝eq\f(c2x2,a2)＋a2－2c2.∴当x＝0时，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))有最小值a2－2c2.(当椭圆焦点在y轴上时，同理可证)∴a2－2c2＝eq\f(1,5)(a2＋b2)＝eq\f(1,5)(2a2－c2)，即e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，解得e＝eq\f(\r(,3),3)或e＝－eq\f(\r(,3),3)(舍去)．故选D．答案：D6．(2024·广东东莞模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1解析：如图所示，∵△ABF2是边长为4的等边三角形，∴|AF2|＝4，|AF1|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，∴a＝3.又∵|F1F2|＝2c＝eq\r(\a\vs4\al(|AF2|2－|AF1|2))＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3)，则b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.故选B．答案：B7．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(,3),2)，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(,3),2)，∴3a2＝4c2.由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.由F1P⊥F2P得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，又△PF1F2的面积为4，则eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝4，即|PF1|·|PF2|＝8，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，即4a2－16＝3a2，则a2＝16，解得a＝4.故选C．答案：C8．(2024·广西柳州、梧州大联考)已知F是椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P为椭圆C上一点，A(1，2eq\r(,2))，则|PA|＋|PF|的最大值为()A．4eq\r(,2) B．4eq\r(,3)C．4＋2eq\r(,2) D．4＋2eq\r(,3)解析：由题意可得，a＝2，b＝eq\r(,3)，c＝eq\r(,a2－b2)＝1，则椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F(1,0)．∵eq\f(1,4)＋eq\f(2\r(,2)2,3)＝eq\f(35,12)>1，∴点A(1,2eq\r(,2))在椭圆外．设椭圆C的左焦点为F′(－1,0)，连接PF′(图略)，则|PF′|＋|PF|＝4，即|PF|＝4－|PF′|，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋4－|PF′|.∵|PA|－|PF′|≤|AF′|＝2eq\r(,3)，当点P为AF′的延长线与椭圆的交点时取等号，∴|PA|＋|PF|≤4＋2eq\r(,3).故|PA|＋|PF|的最大值为4＋2eq\r(,3).故选D．答案：D9．已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2的内切圆半径为()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(4,3)解析：因为椭圆为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，所以a＝5，b＝3，c＝eq\r(,a2－b2)＝4.当△MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2的内切圆半径为r，则|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，S△MF1F2＝eq\f(1,2)(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r＝eq\f(1,2)|F1F2|·|OM|，所以r＝eq\f(4,3).故选D．答案：D二、多项选择题10．2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米，远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2eq\r(,m＋rn＋r)D．a2c1<a1c2解析：由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误；|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正确；轨道Ⅱ的短轴长为2b2＝2eq\r(,a\o\al(2,2)－c\o\al(2,2))＝2eq\r(,a2－c2a2＋c2)＝2eq\r(,m＋rn＋r)，故C正确；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，两边平方，得aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由于b1>b2>0，故beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，∴a1c2<a2c1，故D错误．故选BC．答案：BC11．数学家称eq\f(\r(5)－1,2)为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有()A．ω2＋ω＝1B．黄金椭圆的离心率e＝ωC．设直线OQ的倾斜角为θ，则sinθ＝ωD．交点Q的坐标为(b，ωb)解析：方程ω2＋ω－1＝0的根为ω＝eq\f(－1±\r(5),2)，故A正确；由题意可知，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)＝ω，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－ω2)＝eq\r(ω)≠ω，故B错误；易知QF1⊥QF2，且∠QF1F2＝eq\f(θ,2)，则|QF2|＝2c·sineq\f(θ,2)，|QF1|＝2c·coseq\f(θ,2)，所以|QF1|＋|QF2|＝2c·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))＝2a，即sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,\r(ω))，两边平方，可得sinθ＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(ω))))2＝eq\f(2,\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，即sinθ＝eq\f(\r(5)＋1,2)－1＝eq\f(\r(5)－1,2)＝ω，故C正确；由C知sinθ＝ω，所以tanθ≠ω，故D错误，故选AC．答案：AC三、填空题与解答题12．(2024·山东济宁第一中学质量检测)如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF＝AB，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，则四边形FAF′C为矩形，所以AF′＝CF＝AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′＝AB＝x(x>0)，则x＋x＋eq\r(2)x＝4a，解得x＝(4－2eq\r(2))a，则AF＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AFF′中，由勾股定理得(AF′)2＋(AF)2＝(2c)2，所以[(4－2eq\r(,2))a]2＋[(2eq\r(,2)－2)a]2＝(2c)2，得e2＝9－6eq\r(2)，所以e＝eq\r(6)－eq\r(3).答案：eq\r(6)－eq\r(3)13．(2024·河北平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．解析：因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1.因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2.因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.将M(3,3)代入椭圆方程，得eq\f(32,4)＋eq\f(32,3)＝eq\f(63,12)>1，所以点M在椭圆外．如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′(0，－1)，则|PF|＋|PF′|＝4，所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，且最小值为|MF′|＝eq\r(,3－02＋3＋12)＝5，所以|PM|－|PF|的最小值为1.答案：eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1114．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，点A到直线EF2的距离为eq\f(\r(,6),2)b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq\r(,3)，求椭圆C的标准方程．解：(1)由题意，得A(－a,0)，直线EF2的方程为x＋y＝c.因为点A到直线EF2的距离为eq\f(\r(,6),2)b，即eq\f(|－a－c|,\r(,12＋12))＝eq\f(\r(,6),2)b，所以a＋c＝eq\r(,3)b，即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0，因为离心率e＝eq\f(c,a)，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝－1(舍去)，所以椭圆C的离心率为eq\f(1,2).(2)由(1)知离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c①.因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq\r(,3)，所以eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\r(,3)，所以|PF1||PF2|＝4.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,\a\vs4\al(|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°,＝2c2，)))所以a2－c2＝3②，联立①②，得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.高分推荐题15．(多