2023-2024学年湖北省十堰市高二上学期期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知点在椭圆上，所以由椭圆的定义可得．故D正确.故选：D.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得．故选：B3.直线与圆的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.不确定【答案】C【解析】因为直线可化为，所以直线过定点，而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点.故选：C.4.数列满足，且，则（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由题意知，所以，所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确.故选：A.5.过点作圆的两条切线，两条切线的夹角的余弦值为，则（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】将的方程转化为，可知的半径为．设两切点分别为，，连接，如图，由两切线夹角的余弦值为，则夹角，且，所以在中，即．故A正确.故选：A.6.已知，点在平面内，则的坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点在平面内，所以，得，对于选项A，由，得无解，故选项A错误，对于选项B，由，得无解，故选项B错误，对于选项C，由，得无解，故选项C错误，对于选项D,，得，故选项D正确，故选：D.7.已知是抛物线的焦点，的准线与轴的交点为，点在上，且，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，过点B作准线垂线，垂足为，则，设，则，则．设点到直线的距离为，则，又，则．故选：B.8.若是函数两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】由题可知，，则，这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则，这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，若是等差中项，则，又，解得，则，故，若是等差中项，则，又，解得，则．故．故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知等差数列的公差为，且，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由题知数列为等差数列，所以可知得，解得，所以，故A、D正确.故选：AD.10.点到直线的距离相等，则的值可能为（）A.－2 B.2 C.9 D.11【答案】BD【解析】①若点在的同侧，则直线，即，解得，②若在的两侧，则经过线段的中点，即，故选：BD.11.在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（）A.若为的中点，则 B.若为的中点，则到的距离为C.若，则平面 D.的周长的最小值为【答案】BCD【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，可得平面的一个法向量为．若为的中点，则，，，则到的距离，A不正确，B正确．若，则，则，因为平面，所以平面，C正确．将平面沿着翻折至与平面共面，当三点共线时，周长最小，此时，翻折前，故的周长的最小值为，D正确．故选：BCD12.某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（）A. B.C.数列为等差数列 D.【答案】ACD【解析】两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为，往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确．由题可知，，则，故数列为常数列，也是等差数列，C正确．又，得，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，则，D正确．故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.向量在向量方向上的投影向量的模为______．【答案】【解析】向量在向量方向上的投影向量的模为,故答案为：.14.用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为______．【答案】【解析】构成三位数的试验的样本空间，有6个样本点，比215大的事件，共3个样本点，所以所求的概率．故答案为：15.已知正项等比数列的前项和为，且，则______．【答案】160【解析】因为为正项等比数列，所以也成等比数列，则，解得或（舍去），则，解得．故答案为：16016.是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为______．【答案】【解析】过作的垂线，垂足为，如图，因为与的夹角为，所以，设的右焦点为，则，到的距离，所以，当且仅当三点共线时，等号成立．故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线，圆．（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；（2）若圆与关于直线对称，求的标准方程．解：（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．因为，所以可设的一般式方程为，将代入，解得，故的一般式方程为．（2）设的圆心为，由与关于直线对称，可得，解得所以的标准方程为．18.甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中．（1）若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；（2）当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．解：（1）因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率．（2）这三人都没答对该试题的概率，当且仅当时，等号成立，此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率．19.在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若是上两点，且线段的中点为，求．解：（1）设，则．由，可得，整理得的方程为．（2）设，因为线段的中点为，所以，则，则．所以，则直线的方程为，显然直线经过点．由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以．20.在等差数列中，，若数列对任意，都有，成立，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和分别为，若，求的最小值．解：（1）设数列的公差为，由，得，则，解得，所以，即，由，两式相减得，又，得，所以，得到，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，故.（2）由，得，所以，所以，得，因为，所以当时，，当时，，故的最小值为64．21.在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．（1）若，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求的值．解：（1）因为，所以为的中点．由题可知，，所以．又，平面，所以平面．取，如图，则．由平面，可得，则．（2）连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面．以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如上图所示的空间直角坐标系．由，得，从而，则，则，，．设平面的一个法向量为，则由得令，得．由图可知，平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，所以，解得．故的值为.22.已知是椭圆上一点．（1）求的离心率；（2）过点作两条互相垂直且斜率均存在的直线与交于两点，与交于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：（1）由题可知，则，解得，则，故的离心率．（2）为定值，且该定值是．求解过程如下：设方程为，联立方程组整理得，则，则同理可得因为三点共线，所以，则，则，即为定值，且该定值是．湖北省十堰市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知点在椭圆上，所以由椭圆的定义可得．故D正确.故选：D.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得．故选：B3.直线与圆的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.不确定【答案】C【解析】因为直线可化为，所以直线过定点，而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点.故选：C.4.数列满足，且，则（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由题意知，所以，所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确.故选：A.5.过点作圆的两条切线，两条切线的夹角的余弦值为，则（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】将的方程转化为，可知的半径为．设两切点分别为，，连接，如图，由两切线夹角的余弦值为，则夹角，且，所以在中，即．故A正确.故选：A.6.已知，点在平面内，则的坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点在平面内，所以，得，对于选项A，由，得无解，故选项A错误，对于选项B，由，得无解，故选项B错误，对于选项C，由，得无解，故选项C错误，对于选项D,，得，故选项D正确，故选：D.7.已知是抛物线的焦点，的准线与轴的交点为，点在上，且，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，过点B作准线垂线，垂足为，则，设，则，则．设点到直线的距离为，则，又，则．故选：B.8.若是函数两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】由题可知，，则，这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则，这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，若是等差中项，则，又，解得，则，故，若是等差中项，则，又，解得，则．故．故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知等差数列的公差为，且，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由题知数列为等差数列，所以可知得，解得，所以，故A、D正确.故选：AD.10.点到直线的距离相等，则的值可能为（）A.－2 B.2 C.9 D.11【答案】BD【解析】①若点在的同侧，则直线，即，解得，②若在的两侧，则经过线段的中点，即，故选：BD.11.在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（）A.若为的中点，则 B.若为的中点，则到的距离为C.若，则平面 D.的周长的最小值为【答案】BCD【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，可得平面的一个法向量为．若为的中点，则，，，则到的距离，A不正确，B正确．若，则，则，因为平面，所以平面，C正确．将平面沿着翻折至与平面共面，当三点共线时，周长最小，此时，翻折前，故的周长的最小值为，D正确．故选：BCD12.某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（）A. B.C.数列为等差数列 D.【答案】ACD【解析】两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为，往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确．由题可知，，则，故数列为常数列，也是等差数列，C正确．又，得，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，则，D正确．故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.向量在向量方向上的投影向量的模为______．【答案】【解析】向量在向量方向上的投影向量的模为,故答案为：.14.用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为______．【答案】【解析】构成三位数的试验的样本空间，有6个样本点，比215大的事件，共3个样本点，所以所求的概率．故答案为：15.已知正项等比数列的前项和为，且，则______．【答案】160【解析】因为为正项等比数列，所以也成等比数列，则，解得或（舍去），则，解得．故答案为：16016.是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为______．【答案】【解析】过作的垂线，垂足为，如图，因为与的夹角为，所以，设的右焦点为，则，到的距离，所以，当且仅当三点共线时，等号成立．故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线，圆．（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；（2）若圆与关于直线对称，求的标准方程．解：（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．因为，所以可设的一般式方程为，将代入，解得，故的一般式方程为．（2）设的圆心为，由与关于直线对称，可得，解得所以的标准方程为．18.甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中．（1）若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；（2）当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．解：（1）因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率．（2）这三人都没答对该试题的概率，当且仅当时，等号成立，此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率．19.在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若是上两点，且线段的中点为，求．解：（1）设，则．由，可得，整理得的方程为．（2）设，因为线段的中点为，所以，则，则