2025年北师大新版高三数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高三数学上册阶段测试试卷2考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设，，是任意的非零的平面向量且互不共线以下四个命题：

①（）-（）=0

②||+||＞|+|

③（）-（）不与垂直。

④若，则（）与不平行。

其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.42、曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1，-3）处的切线方程是（）A.5x+y+2=0B.5x+y-2=0C.5x-y-8=0D.5x-y+8=03、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=-对称的是（）A.B.C.D.4、在等比数列{an}中，a3•a4•a6•a7=81，则a1•a9的值（）A..9B.3C.±3D.±95、在空间直角坐标系中，空间点A（1，3，1），B（-1，2，0），则|AB|等于（）A.B.C.D.6、抛物线y2=4x上的一点P到直线x=3的距离与点P到点（3，0）的距离之和为4，则P点的横坐标可以为（）A.1B.2C.3D.47、在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|；则该椭圆离心率的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

8、已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A.[)B.[)C.[)D.[)9、已知a>0

且a鈮�1

则logab>0

是(a鈭�1)(b鈭�1)>0

的(

)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、圆周上有2n个等分点（n＞2），任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为____．11、（2013秋•西城区期末）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E、F、G分别是棱B11C1上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G．

给出下列结论：

①对于任意点E，存在点F，使得D1F⊥CE；

②对于任意点F，存在点E，使得CE⊥D1F；

③对于任意点E，存在点G，使得D1G⊥CE；

④对于任意点G，存在点E，使得CE⊥D1G．

其中，所有正确结论的序号是____．12、已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为____．13、如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．14、已知则与夹角的正弦值为_____.评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）18、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．19、空集没有子集．____．20、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、解答题(共2题，共20分)21、经过点A（2，0）且与极轴夹角为的直线l的极坐标方程为____．22、【题文】为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛；队员来源人数如下表：

。学校。

学校甲。

学校乙。

学校丙。

学校丁。

人数。

该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言．

（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；

（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为求随机变量的分布列及数学期望．评卷人得分五、证明题(共3题，共12分)23、（1）用反证法证明：如果，那么x2+2x-1≠0；

（2）用数学归纳法证明：．24、已知函数f（x）=且f（1）=2；

（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．

（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．25、求证：当n≥3，n∈N时，2n≥2（n+1）参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】【分析】利用向量的基本知识进行分析转化是解决本题的关键．根据向量的数乘运算、向量的数量积运算性质，向量减法的几何意义对有关问题进行求解并加以判断．【解析】【解答】解：①；根据向量的数量积运算不满足结合律；①错误；

②；根据向量加法的三角形法则和三角行两边只和大于第三边判断；②正确；

③、由于[（•）-（•）]•=（•）（•）-（•）（•）=0；故③中两向量垂直，故③错误；

④、若，则（）=与平行；故④错误；

故选：A．2、B【分析】【分析】已知曲线y=x3-2x2-4x+2，对其进行求导，求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．【解析】【解答】解：∵曲线y=x3-2x2-4x+2；

∴y′=3x2-4x-4；

当x=1时；y′=-5，即切线斜率为-5；

∴切线方程为y+3=-5（x-1）；即5x+y-2=0．

故选B．3、C【分析】【分析】根据正弦函数、余弦函数的周期性和图象的对称性，对所给的各个选项逐一检验，从而得出结论．【解析】【解答】解：对于函数y=cos（2x-），令x=-；求得y=0，不是函数的最值；

故函数y的图象不关于直线x=-对称；故排除A．

对于函数y=sin（2x-），令x=-，求得y=-；不是函数的最值；

故函数y的图象不关于直线x=-对称；故排除B．

对于函数y=sin（2x+），令x=-；求得y=-1，是函数的最小值；

故函数y的图象关于直线x=-对称，再根据它的周期为=π；故满足条件．

对于函数y=cos（+），由于它的周期为=4π；故不满足条件，故排除D；

故选：C．4、A【分析】【分析】由等比数列的性质易得a1•a9=9或a1•a9=-9，再由a1•a9=a52可得结论．【解析】【解答】解：∵在等比数列{an}中，a3•a4•a6•a7=81；

又∵a3•a7=a4•a6=a1•a9；

∴（a1•a9）2=81，解得a1•a9=9或a1•a9=-9；

又a1•a9=a52，∴a1•a9=9；

故选：A．5、A【分析】【分析】利用空间两点间距离公式的计算即可得出结果．【解析】【解答】解：∵点A（1；3，1），B（-1，2，0）；

则|AB|==．

故选：A．6、B【分析】【分析】设P点（，m），由题意得+|-3|=4，先求出m2；

即可得到故P点的横坐标的值．【解析】【解答】解：设P点（，m），由题意得+|-3|=4；

移向平方化简得8|-3|=16-m2，∴8（-3）=16-m2，或8（-3）=m2-16；

解得m2=或m2=8，故P点的横坐标=或2；

故选B．7、B【分析】

根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得

根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a-c，故即a≤3c

，故即又e＜1；

故该椭圆离心率的取值范围是．

故选B．

【解析】【答案】先根据椭圆的定义求得|PF1|+|PF2|=2a，进而根据|PF1|=2|PF2|求得|PF2|利用椭圆的几何性质可知|PF2|≥a-c；求得a和c的不等式关系，进而求得e的范围，最后根据e＜1，综合可求得椭圆离心率的取值范围．

8、A【分析】【解答】由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c；

∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=x1x2=

∴=﹣4x1•x2=

又a+b+c=0；

∴c=﹣a﹣b代入上式；

∴===•+（）+①；

又∵f（0）•f（1）＞0；

∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0；

∵a≠0，两边同除以a2得：

+3+2＜0；

∴﹣2＜＜﹣1，代入①得∈[）

∴|x1﹣x2|∈[）．

故选A．

【分析】由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，x1，x2是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x1+x2=x1x2=于是求

=又a+b+c=0，从而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得﹣2＜＜﹣1，代入①即可求得的范围，从而得到选项。9、A【分析】解：a>0

且a鈮�1

则logab>0?{b>1a>1

或{0<b<10<a<1

．

(a鈭�1)(b鈭�1)>0?{b>1a>1

或{b<1a<1

．

故选：A

．

a>0

且a鈮�1

则logab>0?{b>1a>1

或{0<b<10<a<1.(a鈭�1)(b鈭�1)>0?{b>1a>1

或{b<1a<1.

即可判断出结论．

本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】A

二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】【分析】只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，在圆周上有2n个等分点共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做2n-2个直角三角形，根据分步计数原理得到n条直径共组成的三角形数．【解析】【解答】解：由题意知；只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形；

∵圆周上有2n个等分点。

∴共有n条直径；

每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形；

∴可做2n-2个直角三角形；

根据分步计数原理知共有n（2n-2）=2n（n-1）个．

故答案为：2n（n-1）．11、略

【分析】【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，得出相关向量的坐标，利用两向量垂直的等价条件对应坐标乘积之和为0．【解析】【解答】解：以D为坐标原点，以DC所在直线为x轴，以DA为直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．

设正方体的边长为1，则C（1，0，0），D1（0；0，1）；

设E（1；1，m），F（n，1，0），G（1，k，1）；

则向量，；

所以⇔0×n+1×1+m×（-1）=0⇔m=1；⇔0×1+1×k+m×0=0⇔k=0；所以②③正确．

故答案为：②③．12、略

【分析】【分析】先把转化成=（）•（x+2y）展开后利用均值不等式即可求得答案，注意等号成立的条件．【解析】【解答】解：∵x+2y=1；

∴=（）•（x+2y）=4+≥4+2=8；

当且仅当即x=2y=4时等号成立；

∴的最小值为8．

故答案为：8．13、略

【分析】当相同的数字不是1时，有个；当相同的数字是1时，共有个，由分类加法计数原理知共有“好数”＋＝12个．【解析】【答案】1214、略

【分析】试题分析：设与夹角为则又所以考点：向量的夹角、数量积.【解析】【答案】三、判断题(共6题，共12分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×18、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×19、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．20、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、解答题(共2题，共20分)21、略

【分析】

经过点A（2，0）且与极轴夹角为的直线l的方程为x=2；故极坐标方程为ρcosθ=2；

故答案为ρcosθ=2．

【解析】【答案】由题意得；直线l垂直于x轴，且过点A，故直线l的方程为x=2，化为极坐标方程为ρcosθ=2．

22、略

【分析】【解析】

试题分析：（I）由古典概型概率公式即得；（II）首先确定的所有可能取值.因为总共只取2人，甲校共有4人，故的所有可能取值为将队员分为甲校学生和非甲校学生；显然这是一个超几何分布，由超几何分布概率公式即可得其分布列，从而得其期望.

试题解析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件

则．6分。

（II）的所有可能取值为7分。

则

∴的分布列为：

。

10分。

∴13分。

考点：古典概型、离散型随机变量的分布列及数学期望..【解析】【答案】（I）．

（II）的分布列为：

。

五、证明题(共3题，共12分)23、略

【分析】【分析】（1）假设x2+2x-1=0，则x=-1±，可得-1+＜，-1-＜，都与已知x＞相矛盾，故假设错误，故x2-6x-4≠0成立．

（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=1时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥1）时成立，证明n=k+1时，不等式也成立．【解析】【解答】（1）证明：假设x2+2x-1=0，则x=-1±；

要证：-1+＜，只需证：＜，只需证：2＜

上式显然成立，故有-1+＜．而-1-＜；

综上，-1+＜，-1-＜，都与已知x＞相矛盾；