数学-湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考试题和答案

第1页/共5页2024年高二上学期数学月考试卷.2.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=()A.B.C.D.3.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为() nA.4B.5C.6D.75.如图所示，点F1,F2是双曲线的左、右焦点，双曲线C的右支上存在一点B,BF1与双曲线C的左支的交点A平分线段BF1，则双曲线C的渐近线斜率为()6.设椭圆的左、右顶点为A1，A2，B2.关于该椭圆，有下列四个命题：FF2的周长为8；丙：离心率为；丁：四边形A1B1F2B2的面积为3·.如果只有一个假命题，则该命题是()第2页/共5页则λ1a+λ2b+λ3c最大值为( A.3B.23C.21D.58.已知A,B是抛物线C:y2=4x上异于原点的两点，且以AB为直径的圆过原点，过点M(0,4)向直线AB作垂线，垂足为H，则OH的最大值为()A.4B.4-2C.4·3D.8A.C的焦点在y轴上B.C的短半轴长为2C.C的右焦点坐标为(,0)D.C的离心率为10.如图所示，已知O(0,0)，A(2,0)，B1(1,1)，作以B1为直角的中点C1，继续作以C1为直角顶点的等腰直角△B1B2C1,……，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以B1,C1,B2,C2,……为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是()A.所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列B.第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为C.点C4的纵坐标为第3页/共5页D.若记第n个等腰直角三角形的面积为Sn，则11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点P(4,4)，焦点为F，准线为l，过点F的直线l,交C于A，B两点，AO，BO分别交l于M，N两点，则()A.p=1B.AB最小值为4C.准线l的方程为x=1下列说法正确的是()A.当x=1时，则y=1B.当x=y=时，点M,N分别是线段CD,BC的中点14.从1，2，...，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为.215.从双曲线的左焦点F引圆x2+y2=1的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MOMT的值是.2=12，则直线AP与SC所成角的余弦值的取值范围为.第4页/共5页2∥l2，（1）求a的值；直线l过点P与l1,l2交于A、B，求直线l的方程.18.已知双曲线的标准方程为其中点F为右焦点，过点F作垂直于x轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点A，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为M，若AF=6，MF=2.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点M作AF的平行线l，在直线l上任取一点P，连接PA与双曲线相交于点B，求证点P到直线BF的距离是定值.19.如图，在四棱锥PABCD中，PC丄平面ABCD,△ABC是边长为2·的等边三角形，AD=2，（1）证明：平面PCD丄平面PBC；（2）若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为21，求PC的长.2220.已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，准线为l，双曲线的左焦点为T.第5页/共5页（1）求l的方程和双曲线Γ2的渐近线方程；（2）设Q为抛物线Γ1和双曲线Γ2的一个公共点，求证：直线QT与抛物线Γ1相切；（3）设P为l上的动点，且直线PT与双曲线Γ2的左、右两支分别交于A,B两点，直线PF与抛物线Γ1交于不同的两点C,D，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21.已知椭圆的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）求椭圆C的方程；（2）当k=1时，求△AMN的面积.22.已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线的距离的比为常数．其中m>0,n>0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点B(-m,0)，若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AMⅡBN，且AN与BM相交于点Q.①当m=22,n=4时，求证：的值及△ABQ的周长均为定值；②当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ,使得S=λr恒成立？若存在，求λ（用m,n表示若不存在，请说明理由.第1页/共26页2024年高二上学期数学月考试卷【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质，求出集合A，利用一元二次不等式的解法，求出集合B，再利用集合的运算，即可求解.故选：C.2.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=()【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.故选：A.23.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为() 【答案】B【解析】【分析】求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离.第2页/共26页解：由x2-得故选：B.nA.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出an，利用构造法求出bn，再列式求解即得.【详解】在数列{an}中，由a1=2,an+1=2bn-2n，即因此数列是以为首项，为公差的等差数列.故选：B5.如图所示，点F1,F2是双曲线的左、右焦点，双曲线C的右支上存在一点B,BF1与双曲线C的左支的交点A平分线段BF1，则双曲线C的渐近线斜率为()【答案】B第3页/共26页【解析】·【分析】设AB=AF1=x，则BF1=2x，由双曲线的定义得BF2=2x-2a，AF2=x+2a，进而求得双曲线C的渐近线.2+BF22，即(x+2a)2=x2+(2x-2a)2，解得x=3a，所以在直角△BF1F2中，由勾股定理得F1F22=BF12+BF22，即(2c)2=(6a)2+(4a)2，整理得c2=13a2，则b2=故选：B.6.设椭圆的左、右顶点为A1，A2，左、右焦点为F1，F2，上、下顶点为B1，B2.关于该椭圆，有下列四个命题：FF2的周长为8；丙：离心率为；丁：四边形A1B1F2B2的面积为3·.如果只有一个假命题，则该命题是()【答案】B【解析】【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于a,b,c的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解.【详解】依题意，作出椭圆C的图象，如图，第4页/共26页若丙为真命题，则离心率为若丁为真命题，则四边形A1B1F2B2的面积为(a+c)b=3；所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真；若甲、丙和丁为真，则解得若乙、丙和丁为真，则解得，此时a2≠b2+c2，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立；综上，乙命题为假命题.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于a,b,c的等式，进而分析得解.第5页/共26页则λ1a+λ2b+λ3c A.B.23C.D.5【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义求出.，.，.，再根据数量积的运算律表示出λ1+λ2+λ3，最后对λ1、λ2、λ3分8种情况讨论，分别计算可得.【详解】因为不共线的平面向量、、两两的夹角相等，所以它们的夹角都为120o,+(λ+9λ32-2λ1λ2-3λ1λ3-6λ2λ3第6页/共26页λ1+λ2+λlλ3=-1lλ3=1故选：C.8.已知A,B是抛物线C:y2=4x上异于原点的两点，且以AB为直径的圆过原点，过点M(0,4)向直线AB作垂线，垂足为H，则OH的最大值为()A.4B.4-2C.43D.8【答案】B【解析】【分析】根据以AB为直径的圆过原点可求得直线AB恒过定点P(4,0)，由O,P,H,M四点共圆可知OH的最大值为该圆直径PM，进而求得结果.以iABi为直径的圆过原点+y1y2=0，解得：y1y2=-16，第7页/共26页易知直线AB的斜率不为0，不妨设直线AB的方程为：x=ty+m，·由化简整理得：y2-4ty-4m=0，:y1y2=-4m=-16，解得：m=4，:直线AB恒过定点P(4,0)，，:O,P,H,M四点共圆， :OH的最大值为该圆的直径，即4·2.故选：B. A.C的焦点在y轴上B.C的短半轴长为2C.C的右焦点坐标为(,0)D.C的离心率为【答案】BCD【解析】【分析】曲线经过变形后可得椭圆标准方程，计算a,b,c的值即可确定选项.【详解】设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.由题意可得椭圆C的标准方程为所以椭圆C的焦点在x轴上，故选项A错误.-b2故其短半轴长为2，右焦点坐标为故选项B，C正确.第8页/共26页椭圆C的离心率故选项D正确.故选：BCD.10.如图所示，已知O(0,0)，A(2,0)，B1(1,1)，作以B1为直角的中点C1，继续作以C1为直角顶点的等腰直角△B1B2C1,……，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以B1,C1,B2,C2,……为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是()A.所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列B.第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为C.点C4的纵坐标为D.若记第n个等腰直角三角形的面积为Sn，则【答案】ABD【解析】【分析】由题意分析逐项判断即可.【详解】由图易知，所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列，故选项A正确；选项C，点C1的纵坐标为点C2的纵坐标为，点C3的纵坐标为，点C4的纵坐标为，点C5的纵坐标为故选项C错误；第9页/共26页选项D正确.故选：ABD.11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点P(4,4)，焦点为F，准线为l，过点F的直线l,交C于A，B两点，AO，BO分别交l于M，N两点，则()A.p=1B.AB最小值为4C.准线l的方程为x=-1【答案】BCD【解析】【分析】对于A，将点P(4,4)代入抛物线方程中可求出p的值；对于B，当AB为通径时，其取最小值；由题意可求出从而可得以MN为直径的圆的方程整理后可得其过定点【详解】把点P(4,4)代入曲线C可得42=2p×4，∴p=2，故A错误；抛物线的方程为y2=4x，把x=1代入可得y2=4，∴y=±2，可知AB最小值为4，故B正确；准线l的方程为x=-1，故C正确；可得ky2-4y-4k=0，y1+y2=，y1y2=-4，直线AO的方程为同理直线BO的方程为x，令x=-1，可得，则以MN为直径的圆的方程为=0，整理可得2+y2-y-4=0，令y=0，可得x=1或第10页/共26页-3,0)．当直线AB的斜率不存在时，将直线AB的方程x=1代入抛物线方程可得A(1,2)，B(1,-2)，可得N(-1,2)，M(-1,-2)，以点MN为直径的圆方程(x+1)2+y2=4，显故选：BCD.下列说法正确的是()A.当x=1时，则y=1B.当x=y=时，点M,N分别是线段CD,BC的中点【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出M,N的坐标，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项作答.【详解】以点A为坐标原点，AB,AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，对于B，当x=y=时，得a=b=1，此时点M,N分别是线段CD,BC的中点，B正确；第11页/共26页C正确；于是当且仅当x=y时取等号，整理得7(x+y)2-16(x+y)+8≥0，令AC交MN于E，显然E与C不重合，-=λ-=λx-MD正确.故选：BCD【答案】【解析】【分析】根据给定条件，探讨数列{an}的周期，进而求出所求值.因此数列{an}是以2为周期的周期数列，a2n-1=4,a2n=故答案为：第12页/共26页14.从1，2，...，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为.【答案】【解析】 33【分析】根据组合数求所有的可能性，再求符合条件的可能，结合古典概型运算求解.【详解】从1，2，...，11中任取三个不同的数，则不同的组合有共有C1=165种，能构成等差数列不同的组合的有9+7+5+3+1=25种，所以这三个数可以构成等差数列的概率为故答案为：.15.从双曲线的左焦点F引圆x2+y2=1的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO-MT的值是.【解析】【分析】设出双曲线右焦点F1，连接PF1,OT,OM，利用双曲线的定义和中位线进行解题.【详解】不妨将点P置于第一象限.设F1是双曲线的右焦点，连接PF1,OT,OM.M,O分别为FP,FF1的中点，故-OT|2故MO-MT=PF1-MF+FT=PF1-PF)+FT=b-a=·i3-1.第13页/共26页 故答案为：3-12222=12，则直线AP与SC所成角的余弦值的取值范围为.【答案】|,|【解析】【分析】应用空间向量法，先求点的坐标，再分别表示PA,PB，2222=12，得出两条直线所成角的余弦值，再根据值域可得余弦范围.【详解】设正方形ABCD的中心为O，过点O作AB,BC的垂线，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，(-1-x,-1-y,0),P--B=(1-x,-1-y,0)，2222222222222222222， 第14页/共26页故答案为.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元应用二次函数值域，进而得出余弦值的范围.2（1）求a的值；直线l过点P与l1,l2交于A、B，求直线l的方程.【解析】【分析】（1）根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；（2）根据两平行线间距离可判断垂直，利用斜率关系即可求解直线l的斜率，进而可求解方程.【小问1详解】2:-x-2y+2=0，符合题意，【小问2详解】所以两直线之间的距离为而AB=，第15页/共26页所以直线l与l1,l2均垂直，故直线l方程为y=2x+118.已知双曲线的标准方程为其中点F为右焦点，过点F作垂直于x轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点A，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为M，若AF=6，MF=2·3.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点M作AF的平行线l，在直线l上任取一点P，连接PA与双曲线相交于点B，求证点P到直线BF的距离是定值.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点F(c,0)到渐近线的距离为2，列出方程求得b，再即可求得双曲线的方程；（2）设点B(x0,y0)，得到直线BF的方程y0x-(x0-4)y-4y0=0，设直线l的方程为x=m，点M得结合点到直线的距离公式，即可求解.【小问1详解】解：由双曲线可得焦点F(c,0)，其中一条渐近线方程为y=x，第16页/共26页故双曲线的标准方程为【小问2详解】设点B(x0,y0)，则直线BF的方程为，即y0x-y-4y0=0，由题意，设直线l的方程为x=m，由点M在直线l上，可设点M(m,m)，设，由点P,B,A共线，可得kAP=kAB，即，得t=-则点P到直线BF的距离为即点P到直线BF的距离为定值.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC丄平面ABCD,△ABC是边长为2·的等边三角形，AD=2，第17页/共26页（1）证明：平面PCD丄平面PBC；（2）若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为21，求PC的长.【答案】（1）证明见解析【解析】DC【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到DC=2，从而得到DC丄CB，利用线面垂直的性质得到PC丄CB，进而得到BC丄面PCD，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果；PC（2）建立空间直角坐标系，设PC=a，求出平面PAD与平面PBC的法向量，利用面面角的向量法，得【小问1详解】由余弦定理AC2=DA2+DC2-2DA.DCcos上ADC，得到DC2+2DC-8=0，又PC丄平面ABCD，CB面ABCD，所以PC丄CB，又PC∩DC=C，PC,DC面PCD，所以BC丄面PCD，又BC面PBC，【小问2详解】以CD,CB,CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第18页/共26页设平面PAD的一个法向量为=(x,y,z)，易知平面PBC的一个法向量为=(1,0,0)，设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,所以PC=2.【点睛】2220.已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，准线为l，双曲线的左焦点为T.（1）求l的方程和双曲线Γ2的渐近线方程；第19页/共26页（2）设Q为抛物线Γ1和双曲线Γ2的一个公共点，求证：直线QT与抛物线Γ1相切；（3）设P为l上的动点，且直线PT与双曲线Γ2的左、右两支分别交于A,B两点，直线PF与抛物线Γ1交于不同的两点C,D，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.（2）证明见解析【解析】336【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解；利用韦达定理表示CDi和i【小问1详解】【小问2详解】联立方程组， 消去y得x2-2x-3=0，解得x=3（舍负由对称性，不妨取Q(3,23)， 又由T(-3,0)，求得直线QT的方程为x-·3y+3=0， 2为Δ= 2为Δ=43-48=0，所以直线QT与抛物线Γ1相切.【小问3详解】因为T(-3,0),F(1,0)，得准线l为线段TF的中垂线，则直线PT与直线PF的倾斜角互补，即kPT=-kPF，第20页/共26页联立方程组，消去y得k2x2-x+k2=0，联立方程组，消去y得x2-2k2x-k2-6=0，33 1ABCD 1ABCD【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2，y1y2或x1+x2，y1+y2最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）求椭圆C的方程；（2）当k=1时，求△AMN的面积.22 【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出a，b即可得到椭圆方程.（2）利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，求解三角形的面积第21页/共26页即可.【小问1详解】所以椭圆C的方程为.【小问2详解】设点M，N的坐标分别为，则x1+x2=，x1x2=-又因为点A(2,0)到直线y=x-1的距离所以△AMN的面积为22.已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线的距离的比为常数．其中m>0,n>