第2章：有理数及其运算章末重点题型复习-七年级数学上册同步课堂（北师大版）

PAGE1（北师大版）七年级上册数学第2章：有理数及其运算章末重点题型复习题型一正负数及表示的意义1．（2023秋•博尔塔拉州期末）在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正数的定义解答即可．【解答】解：这五个数中，正数有3个，分别为π，11，3，故选：C．【点评】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键．2．（2024•雁塔区校级四模）在﹣2，0，12A．﹣2 B．0 C．12 【分析】根据负数的定义即可求得答案．【解答】解：﹣2是负数；12故选：A．【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（2023秋•环翠区期末）《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入90元记作+90元，则支出30元记作（）A．+50元 B．﹣50元 C．+30元 D．﹣30元【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入90元记作+90元，则支出30元记作﹣30元．故选：D．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．4．下列是具有相反意义的量的是（）A．向东走5米和向北走5米 B．身高增加2厘米和体重减少2千克 C．胜1局和亏本70元 D．收入50元和支出40元【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．【解答】解：A．“向东”与“向北”，没有具体数量，不符合题意；B．身高和体重不是相反的量，不符合题意；C．胜1局和亏本70元不是相反的量，不符合题意；D．收入50元和支出40元具有相反意义，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了正数和负数，解题关键：相反意义的量的两个关键因素，它们必须是同一属性，意义相反．5．（2024•大石桥市校级一模）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（）分．A．86 B．83 C．87 D．80【分析】由正负数的概念可计算．【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了83﹣3＝80分，故选：D．【点评】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．6．（2023秋•叙州区期末）智轨已成为宜宾人生活中非常重要的交通工具．若智轨向东行驶记为正，则向西行驶5km记作km．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若智轨向东行驶记为正，则向西行驶5km记作﹣5km．故答案为：﹣5．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．7．（2024•临夏州一模）据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验．月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大．面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作℃．【分析】根据正负数的意义求解即可．【解答】解：面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作﹣183℃．故答案为：﹣183．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．题型二运用正负数表示误差范围1．（2024春•株洲期末）已知药品A的保存温度要求为﹣1℃～4℃，则下列温度符合要求的是（）A．﹣1.1℃ B．0℃ C．4.1℃ D．5℃【分析】根据题干中的范围判断各选项是否在这个范围内即可．【解答】解：﹣1.1＜﹣1＜0＜4＜4.1＜5，那么符合要求的温度是0℃，故选：B．【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握相关概念是解题的关键．2．（2023秋•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（）A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可．【解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm～4.7mm，则A，B，C不符合题意；D符合题意；故选：D．【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键．3．（2023秋•莱西市期末）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（）A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克【分析】根据一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，∴合格面粉的质量的取值范围是：（25﹣0.25）千克～（25+0.25）千克，即合格面粉的质量的取值范围是：24.75千克～25.25千克，故选项A不合格，选项C不合格，选项B合格，选项D不合格．故选：B．【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．4．（2023秋•青田县期末）在生产图纸上通常用Φ300−0.5+0.2来表示轴的加工要求，这里Φ300表示直径是300mm，+0.2和﹣0.5是指直径在（300﹣0.5）mm到（300+0.2）mmA．44.6mm B．44.8mm C．45.3mm D．45.5mm【分析】根据正负数的意义求解即可．【解答】解：由题意得：合格范围为：45﹣0.3＝44.7到45+0.2＝45.2，而44.6＜44.7＜44.8＜45.2＜45.3＜45.5，故可得B合格．故选：B．【点评】本题考查了正数和负数，理解并熟记正负数的意义是解题的关键．5．（2024秋•鼓楼区校级月考）超市某品牌清毒液，瓶上印有这样一段字样“净含量550±5ml“，那么一瓶合格的清毒液至少有ml．【分析】根据瓶体上净含量的说明，可判断出瓶内消毒液的质量范围，从而可求出这瓶消毒液的最少含量．【解答】解：根据“净含量（550±5）ml”，可得，消毒液的质量在555ml至545ml之间，故这瓶消毒液至少还有545ml．故答案为：545．【点评】本题考查了正数和负数，能够根据正、负数的性质，正确的判断出消毒液的质量范围是解答此题的关键．题型三有理数的概念及分类1．（2023秋•徐闻县期末）在3.14，227，0，πA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有理数的概念进行求解即可．【解答】解：在3.14，227，0，π3，0.1010010001中有理数的有3.14，故选：D．【点评】本题主要考查有理数：有限小数与无限循环小数是有理数；掌握有理数的概念是解题的关键．2．（2023秋•广阳区期末）下列说法正确的是（）A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0，故A不符合题意；B、整数和分数统称有理数，故B符合题意；C、0是绝对值最小的有理数，故C不符合题意；D、零既不是正整数，也不是负整数，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．3．（2024秋•东港区校级月考）有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②有理数都可以写成分数形式；③零是最小的有理数；④正分数一定是有理数；⑤-a一定是负数，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据有理数的定义和分类，逐个判断即可．【解答】解：整数和分数统称为有理数，①一个有理数不是正数就是负数或者0，原说法错误，不符合题意；②有理数都可以写成分数形式，原说法正确，符合题意；③零不是最小的有理数，原说法错误，不符合题意；④正分数一定是有理数，原说法正确，符合题意；⑤﹣a不一定是负数，例如当a=0时，﹣a=0不是负数，原说法错误，不符合题意，∴说法正确的有1个，故选：B．【点评】此题主要考查了有理数，正数和负数，关键是掌握0既不是正数也不是负数．【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．4．（2023秋•衡山县期末）在数0.73，0，﹣39，1，112，−361，2.43，A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据有理数的分类即可解决问题．【解答】解：在数0.73，0，﹣39，1，112，−361，2.43，−65，23%，98，π3故选：C．【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．5．（2023秋•东莞市月考）在数+8，+34，0.275，2，0，﹣1.04，227，﹣8，﹣100，−13中，负数有，负分数有【分析】根据负数，负分数，非负整数的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：在数+8，+34，0.275，2，0，﹣1.04，227负数有﹣1.04，﹣8，﹣100，−1负分数有﹣1.04，−1非负整数有+8，2，0；故答案为：﹣1.04，﹣8，﹣100，−13；﹣1.04，【点评】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握这是数学概念是解题的关键．6．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．1，0.0708，﹣700，﹣3.88，0，3.14，−723，0.正有理数集合：{…}，负整数集合：{…}，正分数集合：{…}，非负整数集合：{…}．【分析】根据有理数的分类填写即可．【解答】解：正有理数集合：{1，0.0708，3.14，0.2⋅负整数集合：{﹣700，…}，正分数集合：{0.0708，3.14，0.2⋅非负整数集合：{1，0，…}．故答案为：1，0.0708，3.14，0.2⋅3⋅【点评】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．题型四数轴及其画法1．（2024•二道区校级模拟）如图，数轴上点M表示的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】观察数轴可得点M表示的数．【解答】解：如图所示，点M表示的数是﹣2，故选：A．【点评】本题考查了数轴，关键是会观察数轴．2．下列图形中，数轴画正确的是（）A． B． C． D．【分析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，根据数轴的定义逐个判断即可．【解答】解：A、左边的数比右边的数大，故本选项不符合题意；B、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意；C、没有原点，不是数轴，故本选项不符合题意；D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．3．（2024秋•雄县校级月考）下列说法中，错误的是（）A．数轴上的每一个点都表示一个有理数 B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示 C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取 D．在数轴上，与原点的距离是10的点有两个【分析】根据数轴上点的特点逐项进行判断即可．【解答】解：A．有的点表示有理数，有的点表示无理数，故A错误，符合题意；B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，故B正确，不符合题意；C．确定单位长度时可根据需要恰当选取，正确，不符合题意；D．与原点的距离是10的点有两个，分别为10、﹣10，正确，不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上每一个点不一定能用有理数表示是关键．4．在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？【分析】根据数轴即可得到各点表示的数．【解答】解：A、B、C、D、E各点分别表示﹣3，﹣1.5，0，0.5，3．【点评】本题考查了数轴，体现了数形结合的数学思想，掌握数轴上的点所表示的数是解题的关键．5．（2023秋•平桥区月考）给出下面五个数−21【分析】根据已知数据画出合适的数轴，将所给数据表示出来即可．【解答】解：如图：【点评】本题考查数轴的应用——表示有理数，属于基础题．6．（2023秋•天河区校级期中）画出数轴，并回答下列问题：①用数轴上的点表示下列各数：﹣4，+3.5，−21②在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A平移8个单位长度后得到的数．【分析】根据数轴的特点进行解题即可．【解答】解：①点表示在数轴上为：；②点A表示的数是﹣1，在数轴上表示为：，则点A平移8个单位长度后的数为：﹣1+8＝7或﹣1﹣8＝﹣9．则得到的数为7或﹣9．【点评】本题考查数轴，掌握数轴的特征是解题的关键．题型五数轴上两点间的距离1．A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．3或﹣3【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．【解答】解：设点B表示的数为x，则|x﹣1|＝3，所以x＝4或﹣2；故选：C．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．2．（2024秋•衡阳县月考）一只蚂蚁从数轴的点A出发，沿数轴先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，恰好到达原点，则点A对应的数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】根据题目中点A的平移规律，列出代数式解答即可．【解答】解：点A对应的数是：0﹣6+2＝﹣4，故选：D．【点评】此题考查数轴，关键是根据题目中点A的平移规律解答．3．A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣10【分析】根据数轴上的点原点右边为正数左边为负数，结合两点间距离即可得到答案．【解答】解：由数轴可得，b为正数，a为负数，∵AB＝10，∴﹣10＜a＜0，0＜b＜10，故选：A．【点评】本题考查了数轴上点的关系及两点间距离，解题的关键是掌握数轴知识．4．如图，在数轴上有A、B、C这三个点．回答：（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？A：；B：；C：．（2）A、B两点间的距离是，A、C两点间的距离是．（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？【分析】（1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数；（2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答；（3）由于AC＝10，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可．【解答】解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是﹣6、1、4，故答案为﹣6、1、4；（2）根据图示知AB的距离是7；AC的距离是10，故答案为：7；10；（3）∵A、C的距离是10，∴点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可．【点评】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键．5．（2023秋•郾城区校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置；（2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b；（2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数；（3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数．【解答】解：（1）如图，；（2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10，所以b表示的数是﹣10；（3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，所以a表示的点到原点的距离为5，所以a表示的数是5．【点评】本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．也考查了数轴．6．（2023秋•礼泉县期末）如图，点A、C在数轴上，所对应的数分别为﹣3、3，已知数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中A、B两点间的距离是2个单位长度，C、D两点间的距离是1个单位长度．（1）在图中标出点B，D的位置，并写出点B对应的数；（2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是3个单位长度，求点E所对应的数．【分析】（1）按要求表示出点B、D即可，再写出点B；（2）分别求出点E在点B左右两边时的值即可解答．【解答】解：（1）如图，点B坐标为﹣1；（2）∵﹣1+3＝2，﹣1﹣3＝﹣4，∴点E坐标为2或﹣4．【点评】本题考查了数轴，两点之间的距离的求法是解题关键．题型六利用数轴解决实际问题1．（2024•绿园区校级三模）2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行．如图，将5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（）A．纽约时间7月26日14时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．北京时间7月27日3时30分 D．汉城时间7月26日3时30分【分析】由题给数轴上时间之间的关系和一天为24小时进行分析．【解答】解：A．由题给时间数轴可知，纽约比巴黎晚6小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的纽约时间7月26日13时30分，故A错误；B．由题给时间数轴可知，伦敦比巴黎晚1小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的伦敦时间7月26日18时30分，故B正确；C．由题给时间数轴可知，北京比巴黎早7小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的北京时间7月27日2时30分，故C错误；D．由题给时间数轴可知，汉城比巴黎早8小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的汉城时间7月27日3时30分，故D错误；故选：B．【点评】本题主要考查了数轴和时间之间的关系，题目难度不大，掌握数轴上点之间的关系和一天为24小时是解答该题的关键．2．（2024秋•高碑店市月考）如图，把周长为5个单位长度的圆放到数轴上，圆上一点A与表示﹣1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是（）A．9 B．﹣11 C．4或﹣6 D．9或﹣11【分析】根据数轴上点的移动，有理数的加法，减法运算的含义，利用往右移动用加法，往左移动用减法可得答案．【解答】解：向右转动2周，﹣1+5+5＝﹣1+10＝9；向左转动2周，﹣1﹣5﹣5＝﹣（1+5+5）＝﹣11，所以点A表示的数为9或﹣11．故选：D．【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是：数轴上，往右移动用加法，往左移动用减法．3．（2024秋•雄县校级月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处依次标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数字2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动的滚动，数轴上的数字1所对应的点与圆周上的数字2所对应的点重合，则数轴上的数字﹣2024所对应的点与圆周上重合的点所对应的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意，依次得出与圆上与数轴上的1，2，3，4，…，重合的数字是多少，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，因为圆的周长为4个单位长度，且依次标上了数字1，2，3，4，则根据圆的滚动方式可知，数轴上的数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣4依次与圆上的数字4，1，2，3重合，且每滚动4个单位长度，圆上的数字在数轴上重复出现．又因为2024÷4＝506，所以数轴上的数字﹣2024与圆上的数字3重合．故选：C．【点评】本题主要考查了数轴，能根据圆的滚动方式发现数轴上的数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣4依次与圆上的数字4，1，2，3重合，且每滚动4个单位长度，圆上的数字在数轴上重复出现是解题的关键．4．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司．（1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置．（2）C小区离A小区有多远？（3）求快递员一共骑行的路程．【分析】（1）根据数轴表示数的意义和距离可在用数轴表示出来，（2）A小区所表示的数为﹣3，C小区所表示的数为4，即可求出AC的距离，（3）所有行驶路程的和即可求出路程．【解答】解：（1）在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示：（2）根据题意可知：4＋3＝7，答：C小区离A小区7千米；（3）3+1+8+4＝16（千米），答：快递员一共骑行了16千米．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键．5．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合；（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得；（2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则：①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合；②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解．【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，∴对称中心是原点，∴﹣2表示的点与2表示的点重合，（2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合，∴对称中心是1表示的点，∴5表示的点与数﹣3表示的点重合；②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5，∵对称点是表示1的点，∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5，故答案为：2；﹣3．【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键．题型七绝对值1．（2024•西双版纳一模）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a＞0)2．（2023秋•白云区期末）若|m|＝6，则m的值是（）A．﹣6 B．6 C．16 【分析】根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．【解答】解：根据题意可知，m＝±6．故选：D．【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键．3．（2023秋•凉山州期末）已知a＝﹣5，|a|＝|b|，则b＝（）A．+5 B．﹣5 C．0 D．+5或﹣5【分析】由a的值可求|b|＝5，再由绝对值的性质可求b的值．【解答】解：∵a＝﹣5，|a|＝|b|，∴|b|＝5，∴b＝±5，故选：D．【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．4．（2023秋•莒南县期末）下列结论正确的是（）A．|m|一定是正数 B．|m|一定是负数 C．﹣|﹣m|一定是负数 D．﹣|m|一定是非正数【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义进行解题即可．【解答】解：A、|m|有可能是0也可能是正数，故该项不正确，不符合题意；B、|m|一定不是负数，故该项不正确，不符合题意；C、﹣|﹣m|有可能是0也可能是负数，故该项不正确，不符合题意；D、﹣|m|一定是非负数，故该项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查绝对值和相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．5．（2023秋•黄石期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且M=2|a|a+3b|b|．当aA．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【分析】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可．【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0，当a＞0、b＞0时，且M=2|a|当a＞0、b＜0时，且M=2|a|当a＜0、b＞0时，且M=2|a|当a＜0、b＜0时，且M=2|a|故选：D．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握有理数混合运算的方法是正确解答的前提．6．在数轴上，表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度（1）这个数的绝对值是多少？（2）写出这个数的相反数；（3）求这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离．【分析】（1）根据绝对值的定义进行解答即可；（2）表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，据此即可得解；（3）根据数轴上的点的特点进行解得即可．【解答】解：（1）∵点A距离原点4个单位长度，∴这个数的绝对值是4；（2）表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，∴其相反数是4；（3）∵表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度，表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，∴这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离为8个单位长度．【点评】本题主要考查了数轴的特点，每一个有理数在数轴上都有一个点与之对应，一般选取向右为正方向，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，并关于原点对称，还考查了绝对值的定义，注意总结．题型八相反数和多重符号的化简1．（2024春•上思县月考）﹣2024的相反数是（）A．12024 B．−12024 【分析】根据相反数的定义即可求得答案．【解答】解：﹣2024的相反数为2024，故选：C．【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（2024•睢宁县校级模拟）下列各对数中，互为相反数的是（）A．2和12 B．﹣0.5和12 C．﹣3和13 【分析】根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数两个数相加得0，﹣0.5+1故选：B．【点评】题目考查了相反数的定义，解决题目的关键是掌握相反数的定义，并且了解互为相反数的两个数相加得0．3．（2024•盐城二模）如果a与1互为相反数，那么a＝（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：因为a与1互为相反数，﹣1与1互为相反数，所以a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．4．（2023秋•科左中旗期中）下面说法：①π的相反数是﹣π；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据相反数的定义可对5个选项进行一一分析进而得出答案即可．【解答】解：①根据π的相反数是﹣π；故此选项正确；②只有符号不同的两个数是互为相反数，故此选项错误；③﹣（﹣3.8）＝3.8，3.8的相反数是﹣3.8；故此选项正确；④一个数和它的相反数可能相等，如0的相反数等于0，故此选项正确；⑤正数与负数不一定是互为相反数，如+3和﹣1，故此选项错误；故正确的有3个．故选：D．【点评】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数是关键．5．（2024秋•兰山区校级月考）下列说法中，错误的是（）A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数 B．−115C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．13【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：A、在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数，正确，故此选项不符合题意；B、−11C、如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，正确，故此选项不符合题意；D、13的相反数是−13故选：D．【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．6．（2023秋•德化县校级月考）化简下列各数：①﹣（﹣8）＝；②﹣（+0.75）＝；③−[−(−35)]=④﹣[+（﹣3.8）]＝．【分析】利用化简多重符号的方法即可求解．【解答】解：①﹣（﹣8）＝8；②﹣（+0.75）＝﹣0.75；③−[−(−3④﹣[+（﹣3.8）]＝3.8．故答案为：①8；②﹣0.75；③−35；【点评】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键．7．（2023秋•景县校级期末）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a的相反数的位置．（2）若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？【分析】（1）在数轴上表示出来即可；（2）根据题意得出方程，求出方程的解即可；（3）分为两种情况，列出算式，求出即可．【解答】解：（1）如图：．（2）﹣a﹣a＝20，a＝﹣10．即a表示的数是﹣10．（3）﹣a＝10，当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15，当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5，即b表示的数是5或15．【点评】本题考查了数轴，相反数，两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程．题型九有理数的大小比较1．（2023秋•城厢区校级期末）在0，﹣5，|﹣2|，﹣1.5这四个数中，最小的数是（）A．0 B．﹣5 C．|﹣2| D．﹣1.5【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：∵|﹣2|＝2，∴﹣5＜﹣1.5＜0＜2，∴﹣5＜﹣1.5＜0＜|﹣2|，∴最小的数是：﹣5．故选：B．【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．2．（2023秋•黄冈期末）下列四个数中，绝对值最大的是（）A．2 B．−13 C．0【分析】分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项．【解答】解：A、|2|＝2；B、|−13|=13；∵0＜1∴四个数中绝对值最大的是﹣3．故选：D．【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．（2024•南明区校级二模）如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可．【解答】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数，所以原点的位置在线段BD的中点处，∵离原点越近的点表示的数绝对值越小，∴表示绝对值最小的数的点是C点．故选：C．【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．4．（2023秋•赤坎区校级期末）2021年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是﹣4℃、5℃、20℃、﹣18℃，当时这四个城市中，气温最低的是（）A．北京 B．上海 C．深圳 D．长春【分析】把这些数据比较大小即可判断．【解答】解：∵20＞5＞﹣4＞﹣18，∴﹣18最小，故选：D．【点评】本题考查了有理数的大小比较，学生必须熟练掌握．5．（2023秋•凉山州期末）根据有理数a、﹣b、﹣c，在数轴上的位置，比较a、b、c的大小，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【分析】先根据数轴的特点判断出a，﹣b，﹣c的大小及符号，再根据不等式的基本性质便可确定a，b，c的大小．【解答】解：由数轴上a，﹣b，﹣c的位置可知：a＜0，﹣c＜0，﹣b＞0，|a|＞|c|＞|b|，∴c＞0，a＜c，∵﹣b＞0，∴b＜0，∴a＜b＜c．故选：C．【点评】本题考查的是有理数的大小比较、数轴上数的特点及不等式的基本性质，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．6．比较下列各对数的大小：（1）3和﹣7．（2）﹣5.3和﹣（+5.4）．（3）−45和（4）﹣（﹣7）和|﹣1|．【分析】（1）正数大于负数；（2）根据相反数的定义化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可；（3）根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可；（4）根据相反数和绝对值的性质化简后，再比较大小即可．【解答】解：（1）3＞﹣7；（2）﹣（+5.4）＝﹣5.4，∵|﹣5.3|＝5.3，|﹣5.4|＝5.4，5.3＜5.4，∴﹣5.3＞﹣（+5.4）；（3）∵|−45|=45，|−2∴−4（4）﹣（﹣7）＝7，|﹣1|＝1，∴﹣（﹣7）＞|﹣1|．【点评】本题考查了有理数大小比较、相反数以及绝对值，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键．6．（2023秋•邢台期末）已知有五个有理数，分别是：2.5，﹣2，|﹣4|，﹣（﹣1），0．（1）请把这五个有理数在数轴上表示出来；（2）按照从小到大的顺序用“＜”把它们连接起来．【分析】（1）先把含有绝对值符号和括号的数化简，然后把这5个有理数用数轴上的点表示出来即可；（2）根据（1）中所画的数轴，把这5个有理数按照从左到右的顺序用“＜”连接起来即可．【解答】解：（1）|﹣4|＝4，﹣（﹣1）＝1，这五个有理数在数轴上表示为：（2）观察数轴，这5个有理数按照从小到大的顺序排列为：﹣2＜0＜﹣（﹣1）＜2.5＜|﹣4|．【点评】本题主要考查了实数的大小比较和数轴，解题关键是熟练掌握把有理数用数轴上的点表示出来．题型十利用绝对值解决实际问题1．（2023秋•攸县期末）一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：g），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）A． B． C． D．【分析】利用正负数表示相反意义的数来判断即可．【解答】解：根据题意可知绝对值越小的那个越接近标准质量的原件，∴D的绝对值为0.8最小，∴D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正负数，做题关键是掌握正负数表示相反意义的数．2．（2023秋•斗门区期末）质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（）A． B． C． D．【分析】求出各个数的绝对值，根据绝对值的大小进行判断即可．【解答】解：∵|﹣3|＞|2|＞|0.75|＞|﹣0.6|，∴﹣0.6的足球最接近标准质量，故选：B．【点评】考查绝对值的意义，理解绝对值的意义是正确判断的前提．3．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（）A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的．【解答】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1，∵1＜2＜3＜4，∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．4．（2023秋•沈丘县校级月考）太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（）A．B． C． D．【分析】求出各数绝对值，比较大小即可．【解答】解：|+2.1|＝2.1，|﹣3.4|＝3.4，|+0.8|＝0.8，|﹣0.7|＝0.7，∴|﹣0.7|＜|+0.8|＜|+2.1|＜|﹣3.4|，则实际质量最接近标准质量的是﹣0.7g，故选：D．【点评】此题考查了正数与负数，正确理解正负数的意义是解题关键．5．（2023秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．（1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？（2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？【分析】（1）根据绝对值的定义求出总路程，再计算耗油量；（3）油费＝汽油单价×耗油量．【解答】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km），共耗油87÷100×10＝8.7（升）．故这天上午汽车共耗油8.7升；（2）7×8.7＝60.9（元）．故出租车司机今天上午的油费是60.9元．【点评】本题考查了正数和负数的意义；解题关键是理解“正”和“负”的相对性；在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．题型十一有理数的加减法1．把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）写成省略括号的形式，结果正确的是（）A．﹣5﹣4+7﹣2 B．5+4﹣7﹣2 C．﹣5+4﹣7+2 D．﹣5+4+7﹣2【分析】先将原式统一成加法，然后写成省略加号的形式即可．【解答】解：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）＝﹣5+4﹣7+2，故选：C．【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握省略加号的方法是解题的关键．2．（2024•伊通县一模）长春市2月18日至2月21日天气预报的最高气温与最低气温如表：日期2月18日2月19日2月20日2月21日最高气温/℃8﹣4﹣10﹣7最低气温/℃﹣6﹣16﹣16﹣15其中温差最大的日期是（）A．2月18日 B．2月19日 C．2月20日 D．2月21日【分析】温差为最高气温减去最低气温，然后比较即可得出答案．【解答】解：2月18日的温差为：8﹣（﹣6）＝8+6＝14（°C）；2月19日的温差为：﹣4﹣（﹣16）＝﹣4+16＝12（°C）；2月20日的温差为：﹣10﹣（﹣16）＝﹣10+16＝6（°C）；2月21日的温差为：﹣7﹣（﹣15）＝﹣7+15＝8（°C）；∵14＞12＞8＞6，∴温差最大的是2月18日，故选：A．【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．3．（2024秋•顺德区校级月考）已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹣y＞0，则x+y的值为（）A．﹣5 B．﹣5或﹣1 C．﹣1 D．以上都不对【分析】根据绝对值的性质得到x＝±2，y＝±3，然后结合x﹣y＞0得到x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3，然后分情况代入x+y求解即可．【解答】解：根据题意可知，|x|＝2，|y|＝3，∴x＝±2，y＝±3，∵x﹣y＞0，故x＞y，∴x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3，当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1；x＝﹣2，y＝﹣3时，x+y＝﹣2+（﹣3）＝﹣2﹣3＝﹣5．综上可得x+y的值为﹣1或﹣5．故选：B．【点评】此题考查了有理数的加法和减法、绝对值，掌握有理数的加减法运算法则是关键．4．已知|a|＝1，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为．【分析】根据绝对值的意义求出a，b的值，再根据|a+b|＝a+b进一步确定a、b的值，然后代入a﹣b计算即可．【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝6，∴a＝±1，b＝±6，∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0，∴a＝1，b＝6或a＝﹣1，b＝6，当a＝1，b＝6时，a﹣b＝1﹣6＝﹣5；当a＝﹣1，b＝6时，a﹣b＝﹣1﹣6＝﹣7；综上，a﹣b的值为﹣5或﹣7，故答案为：﹣5或﹣7．【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减法，熟知：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系．5．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，e分别表示其中的一个数，则a+b+c﹣d﹣e的值为．ab0﹣23cde1【分析】先根据题意列方程组，求得a，b，c，d，e的值，然后代入式子计算即可．【解答】解：由题意解答：a+3+1＝a﹣2+d，即d＝6；∴a+3+1＝d+3＝9，即：a+3+1＝9，解得：a＝5；a+b+0＝9，即5+b+0＝9，解得：b＝4；1+c+0＝9，解得：c＝8；d+e+1＝9，即6+e+1＝9，解得：e＝2；所以a+b+c﹣d﹣e＝5+4+8﹣6﹣2＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键．6．计算下列各题：（1）5.6﹣（﹣3.2）；（2）（﹣1.24）﹣（+4.76）；（3）(+1（4）1−(+11（5）（﹣1.2）﹣[（﹣1）﹣（+0.3）]．【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算；（2）根据有理数的减法运算法则进行计算；（3）先算小括号里面的，然后再算括号外面的；（4）将减法统一成加法，然后使用加法交换律和加法结合律进行简便计算；（5）先算小括号里面的，然后再算括号外面的．【解答】解：（1）原式＝5.6+3.2＝8.8；（2）原式＝（﹣1.24）+（﹣4.76）＝﹣6；（3）原式=12−=12−=1＝2；（4）原式＝1+（﹣112）+12＝[1+（﹣112）+12＝0+（−1=−1（5）原式＝﹣1.2﹣[（﹣1）+（﹣0.3）]＝﹣1.2﹣（﹣1.3）＝﹣1.2+1.3＝0.1．【点评】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数．减去一个数，等于加上这个数的相反数）是解题关键．题型十二有理数的乘除法1．下列互为倒数的是（）A．﹣3和−13 B．﹣2和2 C．3和−1【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．【解答】解：A．因为(−3)×(−13)=1B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；C．因为3×(−13)=−1D．因为−2×12=−1故选：A．【点评】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”．2．下列运算，结果正确的是（）A．﹣7÷7＝1 B．7÷(−1C．﹣36÷（﹣9）＝4 D．(−【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断．【解答】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误；B、7÷(−1C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确；D、(−3故选：C．【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．3．（2023秋•望城区期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（）A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D．a【分析】先根据数轴分析出b＜﹣1＜0＜a＜1，再根据选项进行逐项判断即可．【解答】解：由数轴可知，b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，故C项正确；又可知a+b＜0，ab＜0，故A与a是正数，b是负数，则a﹣2b＞0，故选项B错误．故选：B．【点评】本题考查有理数的除法、数轴、绝对值和有理数的加法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．4．（2024秋•南关区校级期中）计算：（1）(−4)÷(−12)×（2）(−3【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可；（2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可．【解答】解：（1）原式==1（2）原式=(−=5【点评】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．5．（2024秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？答：我列的算式是，乘积的最大值为．（2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？答：我列的算式是，乘积的最小值为．（3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？答：我列的算式是，商的最小值为．【分析】（1）根据绝对值最大的两个有理数的乘积为最大即可得出答案；（2）根据有理数的乘法运算的法则即可得出答案；（3）根据有理数除法的运算法则即可得出答案．【解答】解：∵﹣8＜﹣5＜0＜+3＜+4，|﹣8|＞|﹣5|＞|+4|＞|+3|＞0，（1）当抽取﹣8，﹣5两张卡片时，这两张卡片上数字的乘积最大，最大值是40，所列的算式是：（﹣8）×（﹣5），乘积的最大值为40，故答案为：（﹣8）×（﹣5）；40；（2）当抽取﹣8，+4，+3三张卡片时，这三张卡片上数字的乘积最小，最大值是﹣96，所列的算式是：（﹣8）×（+4）×（+3），乘积的最小值为﹣96，故答案为：（﹣8）×（+4）×（+3）；﹣96；（3）当抽取﹣8，+4两张卡片时，商最小，最小值是−8所列的算式是：（﹣8）÷（+3），乘积的最小值为−8故答案为：（﹣8）÷（+3）；−8【点评】此题主要考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解决问题的关键．题型十三有理数的简便计算1．在简便运算时，把24×(−9947A．24×（﹣100+148） B．24×（﹣100−C．24×（﹣99−4748） D．24×（﹣99【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案．【解答】解：∵﹣100+148=−（﹣100−∴根据有理数的乘法分配律，把24×(−994748)﹣24×100+24×1故选：A．【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键．2．若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（）A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1【分析】根据乘法分配律将（﹣2022）×63进行变形，从而分析求解．【解答】解：（﹣2022）×63＝（﹣2022）×（62+1）＝（﹣2022）×62+（﹣2022）×1＝（﹣2022）×62﹣2022，又∵（﹣2022）×63＝p，∴（﹣2022）×62﹣2022＝p，∴（﹣2022）×62＝p+2022，故选：B．【点评】本题考查有理数的乘法运算，掌握乘法分配律（a+b）c=ac+bc是解题关键．3．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）；（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5．【分析】（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果；（2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果．【解答】解：（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）＝[（﹣248）+（﹣752）]+[（﹣433）+433]＝﹣1000；（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5＝[（﹣0.8）+0.8]+（1.2+3.5）+[（﹣0.7）+（﹣2.1）]＝0+4.7+（﹣2.8）＝1.9．【点评】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．4．计算：(−51小敏的做法如下：解：原式=(−51=(−51＝﹣5+6（第三步）＝1（第四步）根据小敏的计算过程，回答下列问题：（1）小敏在进行第二步计算时，运用了加法的律、律；（2）请指出她从第步开始出现错误；（3）请你写出正确的解题过程．【分析】（1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解；（2）根据有理数加法法则解答，即可求解；（3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解．【解答】解：（1）根据题意可知，小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律．故答案为：交换；结合；（2）小敏在计算过程中，从第三步开始出现错误．故答案为：三；（3）(−5=(−51=(−51＝﹣6+6＝0．【点评】本题主要查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键．5．简便计算：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）；（2）（512（3）−1（4）（﹣48）×0.125+48×【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即可．（3）根据乘法分配律逆用简便计算．（4）根据乘法分配律逆用简便计算．【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3）＝10×（﹣15）＝﹣150；（2）（512=−512×12−＝﹣5﹣8+9＝﹣4；（3）−1＝（14=1＝912（4）（﹣48）×0.125+48×＝48×（−1＝0；【点评】使运算过程得到简化．题型十四有理数的乘方1．（2023秋•献县期末）在有理数﹣12，|﹣1|，1−1，（﹣1）2021A．3个 B．2个 C．4个 D．5个【分析】根据有理数的乘方、绝对值化简解答即可．【解答】解：﹣12＝﹣1，|﹣1|＝1，1−1=−1，（﹣1）故选：A．【点评】此题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方、绝对值化简解答．2．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．【解答】解：﹣（﹣8）＝8＞0，是正数；（﹣1）2019＝﹣1＜0，是负数；﹣32＝﹣9＜0，是负数；﹣|﹣1|＝﹣1＜0，是负数；﹣|0|＝0，0既不是正数，也不是负数；−2﹣π＜0，是负数；∴负数有（﹣1）2019，﹣32，﹣|﹣1|，−223故选：D．【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．3．（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（）A．（﹣3）3与﹣33 B．|﹣33|与|33| C．（﹣3）4与﹣34 D．（﹣3）2与32【分析】根据乘方的法则及绝对值的性质计算．【解答】解：A、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴不符合题意；B、|﹣33|＝27，|33|＝27，∴不符合题意；C、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，∴符合题意；D、（﹣3）2＝9，32＝9，∴不符合题意；故选：C．【点评】本题考查有理数乘方，掌握乘方的法则及绝对值的性质是解题关键．4．（2024春•浦东新区校级期中）下列各数中，数值相等的是（）A．23和32 B．（﹣3）4和﹣34 C．（﹣4）3和﹣43 D．|﹣2|7和（﹣2）7【分析】根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答．【解答】解：A、23＝8，32＝9，二者数值不相等，不符合题意；B、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，二者数值不相等，不符合题意；C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，二者数值相等，符合题意；D、|﹣2|7＝128和（﹣2）7＝﹣128，二者数值不相等，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方，正确掌握有理数的乘方法则和有理数的乘法法则是解题的关键．5．（2024春•南沙区期末）下列四个数（﹣4）3，﹣43，（﹣8）2，﹣82中，互为相反数的是（）A．﹣43和（﹣4）3 B．（﹣4）3和﹣82 C．﹣82和﹣43 D．（﹣8）2和﹣43【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：A、﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝（﹣4）3，故此选项错误；B、（﹣4）3＝﹣64，﹣82＝﹣64，（﹣4）3＝﹣82，故此选项错误；C、﹣82＝﹣64，﹣43＝﹣64，﹣82＝﹣43，故此选项错误；D、（﹣8）2＝64，﹣43＝﹣64，（﹣8）2与﹣43互为相反数，故此选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是有理数的乘方、相反数的定义．解题的关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．6．（2023秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（）A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1【分析】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可．【解答】解：（a+1）2≥0，A错误；a2+1＞0，B正确；﹣（a+1）2，≤0，C错误；a2+1的值中，最小值是1，D错误，故选：B．【点评】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键．题型十五利用有理数的乘方解决实际问题1．兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如图所示．请问这样第（）次捏合后可拉出128根面条．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据题意可知，第一次捏合后可拉出21根面条，第二次捏合后可拉出22根面条，第三次捏合后可拉出23根面条，以此类推，即可得出答案．【解答】解：第一次捏合后可拉出21根面条，第二次捏合后可拉出22根面条，第三次捏合后可拉出23根面条，……，第n次捏合可拉出2n根面条，∴2n＝128＝27，∴需要捏合7次，可拉出128根面条．故选：C．【点评】本题考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算法则，读懂题意，找出规律是解题的关键．2．（2023秋•高明区期末）把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到（）条折痕．A．14 B．31 C．63 D．127【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可，再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，…，以此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．当n＝6时，26﹣1＝63，故选：C．【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．3．一根2m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（）A．(12)2020m C．(12)2022m【分析】第一次后剩下原长的12=（12）1；第二次后剩下原长的（12）2；第三次后剩下原长的（12）3【解答】解：第一次后剩下原长的12=（12第二次后剩下原长的（12）2第三次后剩下原长的（12）3……第2023次后剩下原长的（12）2023∴剪第2023次后剩下的绳子的长度为2×（12）2023＝（12）2022（故选：C．【点评】本题考查有理数的乘方，学会有理数乘方的运算方法是本题的关键．4．（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有条．【分析】根据前三次对折结果对第n次对折后得到的折痕条数进行猜想、归纳．【解答】解：∵第一次对折后可得到的折痕条数为：1＝21﹣1；第二次对折后可得到的折痕条数为：3＝22﹣1；第三次对折后可得到的折痕条数为：7＝23﹣1；第n次对折后可得到的折痕条数为：2n﹣1；……，∴第7次对折后可得到的折痕条数为：27﹣1＝128﹣1＝127，故答案为：127．【点评】此题考查了图案规律问题的解决能力，关键是能准确猜想、归纳出第n次对折后可得到的折痕条数的规律．5．（2023秋•天府新区期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是．【分析】先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，按照此规律进行解答即可．【解答】解：由题意可知：第一天截取后木棍剩余长度为：1−1第二天截取后木棍剩余长度为：12第三天截取后木棍剩余长度为：12…，n天截取后木棍剩余长度为：12∴第6天截取后木棍剩余长度为：12故答案为：164【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是理解题意，找出数式规律．题型十六有理数的混合运算1．（2023秋•仁化县期末）下列计算错误的是（）A．4÷（−12）＝4×（﹣2）＝﹣8 C．﹣（﹣32）＝﹣（﹣9）＝9 D．﹣3﹣5＝﹣3+（+5）＝2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝4×（﹣2）＝﹣8，不符合题意；B、原式＝6，不符合题意；C、原式＝﹣（﹣9）＝9，不符合题意；D、原式＝﹣8，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．给出下列算式：①﹣1﹣1＝0；②3﹣|﹣5|＝﹣2；③（﹣3）2＝﹣6；④4÷(−13)=−12；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】用有理数的运算逐个判断即可．【解答】解：①﹣1﹣1＝﹣2，故不正确；②3﹣|﹣5|＝3﹣5＝﹣2，故正确；③（﹣3）2＝9，故不正确；④4÷（−1⑤15÷（﹣5）×（−15）＝﹣3×（−1∴正确的有②④，故选：B．【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的加减、乘除、乘方运算的法则．3．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：(−1)解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12−＝﹣2022+6+12﹣18………②＝﹣2048…………………③（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是；（填序号）（2）请给出正确的解题过程．【分析】（1）根据幂的运算即可判断；（2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解．【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（12−1∴原式＝1﹣（﹣8）+6÷1∴开始出现错误的步骤是①，故答案为：①；（2）原式＝1﹣（﹣8）+6÷＝1+8+6×6＝1+8+36＝45．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序．4．（2023秋•游仙区期末）计算：（1）4+（﹣2）3×5﹣（﹣0.28）÷4；（2）−14【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，然后计算加减法即可；（2）先算乘方和括号内的式子，再算乘法，然后计算减法即可．【解答】解：（1）4+（﹣2）3×5﹣（﹣0.28）÷4＝4+（﹣8）×5+0.07＝4+（﹣40）+0.07＝﹣35.93；（2）−14＝﹣1−1＝﹣1−1＝﹣1+=1【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．（2023秋•长春期末）计算：（1）﹣7﹣（﹣10）+（﹣8）．（2）(−1)÷(−12（3）3+50÷2（4）−1【分析】（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可；（2）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可；（3）先算乘方，再算乘除法，然后算加减法即可；（4）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法，最后算减法即可．【解答】解：（1）﹣7﹣（﹣10）+（﹣8）＝﹣7+10+（﹣8）＝﹣5；（2）（﹣1）÷（﹣123）＝（﹣1）×（−35=1（3）3+50÷22×（−1＝3+50÷4×（−15＝3+50×14×（＝3+（−5=−1（4）﹣14−16×＝﹣1−1＝﹣1−1＝﹣1+=1【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．题型十七乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合1．（2024秋•南关区校级期中）已知对|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（）A．2或﹣2 B．8或﹣8 C．2或8 D．﹣2或﹣8【分析】结合有理数乘法的符号法则，同号为正，确定x，y的值，再进行加法运算即可．【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，∴x＝±5，y＝±3，∵xy＞0，∴x，y同号，则x＝5，y＝3或x＝﹣5，y＝﹣3，当x＝5，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；当x＝﹣5，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2；故选：A．【点评】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．2．（2023秋•北京期中）若|x|＝4，|y|=12，且xy＜0，则A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】利用绝对值的意义，以及xy＜0，求出x与y的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：根据题意得：x＝±4，y＝±12∵xy＜0，∴x＝4，y=−12；x＝﹣4，y则xy故选：B．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2023秋•沈丘县期末）如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（）A．2023 B．4046 C．20 D．0【分析】根据绝对值的非负性，可知|x﹣2023|≥0，得出式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，即可选出答案．【解答】解：∵绝对值具有非负性，∴|x﹣2023|≥0，∵2023﹣|x﹣2023|有最大值，∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确．故选：A．【点评】本题考查的是非负数的性质﹣绝对值，掌握绝对值具有非负性是解题的关键．4．（2023秋•盐山县期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2009的值是（）A．﹣2009 B．2009 C．﹣1 D．1【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，∴a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2009＝（﹣2+1）2009＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．5．（2023秋•南陵县期末）若|x+1|+(y−13)2=0，则A．19 B．89 C．−8【分析】根据非负数的性质可得x+1＝0，y−1【解答】解：根据题意得，x+1＝0，y−1∴x＝﹣1，y=1∴x3+y2＝﹣1+1故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．6．（2023秋•静海区校级月考）（1）若|a|＝3，|b|＝4，求a+b的值；（2）已知|x|＝2，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值．【分析】（1）利用绝对值定义求出a，b的值，然后代入即可求值；（2）利用绝对值定义求出x，y的值，然后根据x＞y，代入即可求值．【解答】解：（1）∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，当a＝3，b＝4时，a+b＝3+4＝7，当a＝3，b＝﹣4时，a+b＝3+（﹣4）＝﹣1，当a＝﹣3，b＝4时，a+b＝﹣3+4＝1，当a＝﹣3，b＝﹣4时，a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7，∴a+b的值为±1或±7，（2）∵|x|＝2，|y|＝4，∴x＝±2，y＝±4，∵x＞y，∴当x＝2，y＝﹣4时，x﹣y＝2﹣（﹣4）＝6，当x＝﹣2，y＝﹣4时，x﹣y＝﹣2﹣（﹣4）＝2，∴x﹣y的值为2或6．【点评】此题考查了绝对值和有理数的加减，解题的关键是正