2025届高考数学二轮总复习专题1函数与导数第3讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件

第3讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值考点一导数的几何意义(多考向探究预测)考向1导数几何意义的应用

C(2)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

(-∞,-4)∪(0,+∞)(3)(2022新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为

,

.

考向2公切线问题

D(2)(2024福建模拟预测)已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(

)A[对点训练1](1)(2024陕西西安二模)已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+lnx相切于点P(1,4),则a+b+k=(

)A.3 B.4 C.5 D.6解析∵点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln

x上,∴a+2=4,解得a=2.由题意得,f'(x)=2ax+=4x+,∴在点P(1,4)处的切线斜率k=5,把P(1,4)代入y=kx+b,得b=-1,∴a+b+k=2-1+5=6,故选D.D(2)(2024安徽黄山模拟)已知函数f(x)=lnx-在点(1,-1)处的切线与曲线y=ax2+(a-1)x-2只有一个公共点,则实数a的取值范围为(

)A.{1,9} B.{0,1,9}C.{-1,-9} D.{0,-1,-9}B所以切线方程是y=2(x-1)-1=2x-3,①若a=0,则曲线为y=-x-2,显然切线与该曲线只有一个公共点;②若a≠0,则2x-3=ax2+(a-1)x-2,即ax2+(a-3)x+1=0,由Δ=(a-3)2-4a=0,即a2-10a+9=0,得a=1或a=9.考点二利用导数研究函数的单调性(多考向探究预测)考向1求函数的单调区间

(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)<sin2x,求a的取值范围.∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴此时存在x,使得g(x)>g(0)=0,不满足题意.综上,a≤3.考向2单调性的应用例4(1)(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2 B.e C.e-1 D.e-2CA.b<a<c B.c<b<aC.a<c<b D.c<a<bA[对点训练2](1)(2024浙江杭州模拟)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是(

)DD(3)(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是

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解析

由题意得f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对∀x>0恒成立.考点三利用导数研究函数的极值例5(2024广东韶关二模)已知函数f(x)=ax++2lnx在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.(1)求实数a;(2)求f(x)的单调区间和极值.当0<x<1时,f'(x)<0,则f(x)在(0,1)内单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增.故x=1时,函数f(x)有极小值f(1)=4,无极大值.故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),函数有极小值f(1)=4,无极大值.[对点训练3](1)(2024河南郑州一模)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=-f'(3)lnx-f(1)x2-4x,则f(x)的极值点为(

)D(2)(多选题)(2024重庆模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示,则(

)A.f(x)在(a,b)内有极小值B.f(x)在(a,b)内有极大值C.g(x)=f(x)·e-x在x=a时取极小值D.g(x)=f(x)·e-x在x=b时取极小值BD解析

根据f(x)与f'(x)的关系可知,f(x)先递增后递减再递增,f'(x)先递减后递增,由图象可知f(x)在(a,b)内有极大值,无极小值,故A错误,B正确;当x<a时,f'(x)>f(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,a)内单调递增,当a<x<b时,f'(x)<f(x),则f'(x)-f(x)<0,可得g'(x)<0,所以g(x)在(a,b)内单调递减,当x>b时,f'(x)>f(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(b,+∞)内单调递增.综上所述,g(x)在x=a时取极大值,在x=b时取极小值,故C错误,D正确.故选BD.考点四利用导数研究函数的最值例6(1)(2024山东枣庄模拟)已知函数f(x)=+2ax,则下列关于f(x)的结论中正确的是(

)A.若a≤0,则f(x)在[1,+∞)上有最小值B.若a≥1,则f(x)在[1,+∞)上有最小值C.若a=,则f(x)有最大值D.f(x)关于点(0,1)中心对称B(2)(2024北京石景山模拟)已知x=1是函数f(x)=ax3-3x的一个极值点,其中a为实数,则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为(

)A.0 B.1 C.2 D.3C解析

f'(x)=3ax2-3,因为x=1是y=f(x)的一个极值点,所以f'(1)=3a-3=0,解得a=1,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-2,2].当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,符合题意,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=-1+3=2,又f(2)=23-3×2=2,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,故选C.[对点训练4](1)(2024河北邢台模拟)函数的凹凸性是函数的重要性质之一.函数凹凸性的定义:函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,x0是(a,b)内任一点.若曲线弧上点(x0,f(x0))处的切线总位于曲线弧的下方,则称曲线