2024-2025学年北京市高一上册12月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市高一上学期12月月考数学检测试卷本试卷共4页，120分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设全集为，，，则（

）A． B． C． D．2．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（

）A． B． C． D．3．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．24．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．5．已知函数，下列区间中含有零点的是（

）A． B． C． D．6．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．7．下列说法错误的是（

）A．命题“，使得”是真命题B．若，则“”是“”的充要条件C．当时，方程恰有四个实根D．命题“”的否定为“”8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（

）A． B． C． D．9．已知是函数的图像上的相异两点，若点到直线的距离相等，则点的横坐标之和的取值范围是（

）A． B．C． D．10．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．不等式的解集为．12．已知幂函数的图象经过点，那么.13．已知函数为偶函数，且定义域为，则14．已知函数有唯一零点，则实数的值是.15．设函数①当时，；②若恰有2个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．计算：(1)(2)17．已知函数，且.(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明.(3)求不等式的解集.18．已知函数的定义域为，其图象关于原点对称．当时，.(1)求函数的解析式.(2)求不等式的解集.(3)设函数其中的定义域为集合，若，求实数的取值范围.19．已知函数.(1)求函数的定义域.(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．集合由有限个实数组成，定义集合的离距如下：实数轴上，集合中的每个实数对应一个点，实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为，称函数的最小值为集合的离距，记为.例如，集合的离距是0，集合的离距是2.(1)分别求出集合的离距；(2)求数集的离距；(3)已知非空数集满足，试写出一个关于的大小关系的等式或不等式，并给出证明.1．A【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【详解】解：因为全集为，，所以，又，所以，所以，故选：A2．D【分析】利用函数的奇偶性，排除BC，再结合函数的单调性，排除A.可得正确结果.【详解】对A：，所以为奇函数，又与都是上的增函数，所以是上的增函数，故A错；对B：，故为偶函数，故B错；对C：的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C错；对D：，所以为奇函数，又为上的增函数，所以是上的减函数，故D对.故选：D3．C【分析】由偶函数性质以及对数运算即可求解.【详解】已知是定义在上的偶函数，当时，，则.故选：C.4．D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出的范围，即可解出．【详解】因为，，，所以．故选：D．5．D【分析】利用零点存在性定理分析判断即可【详解】因为在上单调递增，在和上单调递增，所以在和上单调递增，当时，，所以在上无零点，因为，，，所以在区间有零点，故选：D6．A【分析】由解析式判断奇偶性及的符号，即可确定图象.【详解】由且定义域为，所以为奇函数，排除C、D；又，排除B.故选：A.7．C【分析】对于A，对代数式配方后分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，令，，作出两函数的图象，结合图象分析判断，对于D，根据命题的否定的定义分析判断.【详解】对于A，因为，所以命题“，使得”是真命题，所以A正确，对于B，时，在上递增，所以当时，有，反之也成立，所以若，则“”是“”的充要条件，所以B正确，对于C，令，，的图象如图所示，由图可知当时，两函数图象有4个交点，此时方程恰有四个实根，当时，两函数图象有2个交点，此时方程恰有两个实根，所以C错误，对于D，命题“”的否定为“”，所以D正确，故选：C8．B【分析】设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到，根据题意得到，列出方程，即可求解.【详解】设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到，根据题意得，所以，所以，可得，所以，即要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为.故选：B.9．D【分析】根据题意，得到，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】不妨设，且，根据题意，可得，可得，由基本不等式，可得，可得，解得，即点的横坐标之和的取值范围是.故选：D.10．B【分析】存在，使，则函数图象上存在两点关于原点对称，所以只要把的图象关于原点对称后与射线有公共点即可.【详解】由题意可知，若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点，当时，，将其图象关于原点对称，如图，所得图象的解析式为，所以只要射线与的图象有公共点即可，图中射线与的图象相切，由，得，由，得，由图象可知，所以，即实数的取值范围为，故选：B关键点点睛：此题考查新定义问题，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是问题的转化，题中新概念“优美点”，转化为函数图象上存在关于原点对称的点，再转化为射线与的图象有公共点即可，考查转化能力和数形结合的思想，属于较难题.11．【分析】将原不等式等价转化为，然后解该二次不等式可得出结果.【详解】不等式等价于，解得，因此，不等式的解集为，故答案为.本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.12．【分析】先将点代入函数求出，进而可得.【详解】将点代入得，所以.所以.故答案为.13．【分析】由函数的定义域关于原点对称可求得的值，再由函数为偶函数可求得的值，由此可求得的值.【详解】由于函数为偶函数，且定义域为，则，解得，由，可得，对任意的恒成立，可得，即，因此，.故答案为.14．2【分析】利用换元法把原函数转化为一个偶函数，因为偶函数图象的对称性，函数只有一个零点，必有，可求的值.【详解】设，则原函数可化为：，因为，所以为定义在上的偶函数.原函数只有唯一零点，转化为有唯一零点，又的图象关于轴对称，所以只有.故15．【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.【详解】当时，，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是.故；.16．(1)(2)【分析】（1）根据题意，结合指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据题意，结合对数的运算法和运算性质，准确计算，即可求解.【详解】（1）解：由指数幂的运算性质，可得.（2）解：由对数的运算性质，可得17．(1)(2)在上的单调递减，证明见解析(3)【分析】（1）由可求得的值；（2）任取，且，然后计算变形，再判断符号，可得结论；（3）由的单调性，将问题转化为，再令，可得，求出的范围，从而可求得的范围.【详解】（1）由，得，则.（2）在上的单调递减．证明如下：任取，且，则，∵，且，，∴，即，在上单调递减.（3）由（2）可得，在上单调递减，而，则由可得，令，可得.解得：或.所以或.不等式的解集为18．(1)(2)(3)【分析】由时，，根据为奇函数，求得，结合，即可求得函数的解析式；（2）由（1）中函数的解析式，结合对数的运算法则，准确运算，即可求解；（3）根据函数的解析式，求得函数的定义域，结合可得，即，，即可求解.【详解】（1）解：因为函数的定义域为，其图象关于原点对称，当时，.当时，，则，因为为奇函数，所以，可得，即，综上可得，函数的解析式为.（2）解：当时，，解得；当时，，解得，当时，不等式成立.综上可得，不等式的解集为（3）解：由函数的定义域，可得，即，又因为，所以的定义域，又因为，所以，且所以实数的取值范围是.19．(1)(2)函数为非奇非偶函数，理由见解析；(3)【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；（2）根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；（3）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得，得到，法一：转化为，令，求得，即可求解；法二：分，和，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.（2）解：因为的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.（3）解：由“对，不等式恒成立”，可得，当时，由在上单调递减，，根据题意得，对法一：可转化为，令，由在上单调递减得，可得，实数的取值范围为.法二：设函数，①当，即时，在上单调递减，可得，解得，则；②当，即时，在上单调递增，可得，解得，则；③当，即时，在先减后增，可得，解得，所以，综上，实数的取值范围为.20．(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）先根据题目条件理解集合离距的概念，得出，代入计算即可；（2）根据上述公式，代入计算；（3）例如，集合的元素个数都是偶数时，，否则.依据定义证明即可.【详解】（1）首先，单元素数集的离距