2024-2025学年天津经济技术开发区高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年天津经济技术开发区高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.已知直线，，若且，则的值为（）A. B. C. D.2【正确答案】C【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.【详解】由题意,，，，所以．故选：C．2.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是（）A.y2＝－11x B.y2＝11x C.y2＝－22x D.y2＝22x【正确答案】C【分析】由题求出焦点，即可求出，得出抛物线方程.【详解】在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得，∴抛物线的焦点为，即，，∴抛物线的方程是.故选：C．3.记为等差数列的前项和，若，，则数列的通项公式（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由等差数列前n项和公式求出公差，即可得出通项公式.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，.故选：B.4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（）A.6 B.8 C.9 D.10【正确答案】B【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．【详解】因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选：B．5.已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（）A.5 B.4 C.10 D.2【正确答案】C【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可.【详解】由，，即过定点，由得，半径，则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：C6.已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案.【详解】由题得，即，由焦距为4得，解得，可得椭圆方程为，所以，，所以离心率为.故选：B.7.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】圆的圆心为，半径，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则圆心为到直线的距离等于1，∴，解得.故选：B8.设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（）A.11 B.12 C.14 D.16【正确答案】C【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程，得,由直线为双曲线的一条渐近线，得,解得,得.由双曲线的定义可得①，②，①②可得,因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,所以,得.故选：C.9.直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【正确答案】C【分析】根据直线的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线有且仅有一个公共点.综上可得，满足条件的直线共有3条.故选：C.本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3【正确答案】B【分析】本题可先通过构造几何图形，先设为，再利用双曲线第一定义，列出与的关系式，与的关系式，利用几何关系，在中，利用余弦定理即可求得答案．【详解】如图所示：设，由于为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，所以根据余弦定理有：，整理得：，即，所以离心率．故本题正确答案为B．圆锥曲线跟几何问题机关的解法，常从以下几个方向考虑：圆锥曲线第一定义．圆锥曲线第二定义．几何关系所涉及的解三角形知识．二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.已知数列的首项为，递推公式为（），______【正确答案】##1.6分析】根据递推公式依次代值计算即可.【详解】由（），，则，，，.故答案为.12.圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为______【正确答案】【分析】根据题意设圆心坐标为，根据圆所过的两点可得出关于的等式，求出即求出圆的方程.【详解】因为圆心在直线上，设圆心坐标为，因为圆经过原点和点，则，解得，故圆心坐标为，圆的半径为，故所求圆的方程为.故答案为.13.已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且满足，则______，的面积为______．【正确答案】①.②.【分析】利用椭圆的定义可求得；取线段的中点，连接，分析可知，利用勾股定理求出，再结合三角形的面积公式可求得的面积.【详解】取线段的中点，连接，如下图所示：在椭圆中，，，，则，由椭圆的定义可得，因为为的中点，则，所以，，故.故；.14.已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是______【正确答案】【分析】设出点坐标，利用点到直线的距离公式来求得正确答案.【详解】设，则到直线的距离为：，所以当时，距离取得最小值为.故15.如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点．若，且，则此抛物线的方程为______.【正确答案】【分析】过点，分别作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，设，结合抛物线的定义及三角形的几何性质易得，进而求得，再结合三角形相似求解，进而求解即可.【详解】过点，分别作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，设，则，由抛物线的定义得，，所以在中，，在中，，所以，又，则，解得，所以，，，由，得，即，解得，所以抛物线方程为.故答案为.16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则__________，________.【正确答案】①.4②.【分析】延长，相交于点，易知，得到中点，结合三角形中位线性质可求得，由可求得结果；结合椭圆定义可求得，，由勾股定理确定，进而求得结果.【详解】如图，延长，相交于点，由题意知：，且平分，，为的中点，为的中点，，.由椭圆定义知：，，，又，，，.故；.本题考查椭圆几何性质的应用，涉及到椭圆的定义和对称性的应用，考查学生对于椭圆几何性质的基础知识的掌握情况.三、解答题（本大题共4小题，共50分）17.已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.求的通项公式；从中依次取出第项,第项,第项,，第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.【正确答案】；是数列中的项，理由见解析.【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式；写出，将代入验证即可.【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为，所以，又因为，即.所以，，因为公差为正数,所以.则，则.的通项公式.结合可知，，，，.令，即，符合题意，即.所以是数列中的项.本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.18.已知椭圆（）的半焦距为，离心率，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程．【正确答案】【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.【详解】依题意，，所以椭圆方程可化为，由消去并化简得，，①，设，则，所以，，满足①，所以，所以椭圆方程为.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：面；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）求点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析；（2）（3）【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.（3）先根据相似三角形的边长成比例确定F的位置，再求得平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式求解即可.小问1详解】在四棱锥中，底面，底面，则，由底面是正方形，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，则，，设平面的法向量为，则，令，得，则，而平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，，而，则，即，则的一个法向量为，因此，而，则，所以平面与平面的夹角为.【小问3详解】因为底面，底面,所以底面是正方形，所以,,平面,所以平面,平面,所以，所以在为直角三角形，又由题知，所以在也为直角三角形，故与相似，则，,，而，所以，所以是线段PB中靠近点P的三等分点，由第（1）小问可知，，，，因为是线段PB中靠近点P的三等分点，所以点，设平面的一个法向量为，而，，则有，令，则，，，，，设B点到平面的距离为，则；故B点到平面的距离为.20.已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点.（1）求椭圆方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）（2）面积的最大值为，此时直线的方程为或；（3）存在，，理由见解析【分析】（1）由短轴长求出，将代入椭圆方程求出，得到答案；（2）直线的斜率为0时，此时三点共线，舍去，当直线的斜率不为0时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出的面积为，利用基本不等式求出最值，并得到此时直线的方程；（3）由角相等得到，转化为，在第二问的基础上，代入化简得到答案.【小问1详解】由题意得，解得，将代入椭圆方程，得到，故，故椭圆方程为；【小问2详解】当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，设，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故面积最大值为，此时直线的方程为或；【小问3详解】在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：因为，所以，即，整理得，即，所以，则，解得