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第三节格林公式及其应用一问题的提出二区域的连通性及分类三格林（Green）公式四格林（Green）公式的简单应用五曲线积分与路径的无关六二元函数的全微分求积七小结与思考判断题2025/1/81一问题的提出

在一元函数的微积分中我们通过Newton-lebiniz公式可以把定积分和原函数联系起来.在曲线积分中，我们是否有相似的联系呢？下面的Green公式告诉我们，在曲线积分中，也有相似的联系。即二重积分与曲线积分的联系，这就是我们所要讲授的Green公式。2025/1/82二区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD2025/1/83三格林公式定理12025/1/84边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE2025/1/86同理可证yxodDcCEAB2025/1/87证明(2)D两式相加得2025/1/882025/1/89GDFCEAB证明(3)由(2)知2025/1/8102025/1/811xyoL1）简化曲线积分四、应用AB

2025/1/8122025/1/8132）简化二重积分xyo2025/1/8142025/1/815解2025/1/816xyoLyxo2025/1/817xyo(注意格林公式的条件)2025/1/818例4计算解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围其中L为上半从

O(0,0)到

A(4,0).圆周区域为D,

则3）计算平面面积2025/1/820例5椭圆所围面积解：解2025/1/8222025/1/823Gyxo五曲线积分与路径的无关BA如果在区域G内有2025/1/824定理2曲线积分与路径无关的条件2025/1/825两条件缺一不可有关定理的说明：2025/1/826六二元函数的全微分求积定理32025/1/8272025/1/828例7验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.

证:设则由定理2可知,存在函数

u(x,y)使。。说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域

D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;解2025/1/831解2025/1/8322025/1/833七小结与思考判断题1）连通区域的概念;2）二重积分与曲线积分的关系3）格林公式的应用.——格林公式;2025/1/8344）与路径无关的四个等价命题2025/1/835

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