21一维势场中粒子能量本征态的一般性质教学教案

第2章一维势场中的粒子引言本章主要是用Schrödinger方程来处理一维粒子的能量本征态问题.下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点.一维定态问题数学处理简单，便于严格求解。作为量子体系，同样可展现量子问题的主要特征，因而是处理复杂问题的基础。

设质量为m的粒子在一维势场中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为（1）为能量本征值.为相应的能量本征态.2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质在上式中，(实数值)定理1也是方程(1)的一个解，对应的能量也是则设应的能量本征值为是能量本征方程(1)的一个解，对设，假设对应于能量的某个本征值,方程(1)解无简并,(即只有一个独立的解),则可取为实解(除了一个无关紧要的常数因子之外).证明：将Schrödinger方程取复共轭即得证。对应于能量的某个本征值，总可以找到方程(1)的一组实解,凡是属于的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。定理2

对于能级有简并的情况,要用到此定理.说明证明：将用定理1和态叠加原理可证(见P.28)。定理3定义空间反射算符即把空间坐标

设具有空间反射不变性，如是方程（1）的对应于能量本征值的解，则也是方程（1）的对应于能量的解.对于一维粒子有证明：对Schrödinger方程做空间反射可证(P.28)。

偶宇称解(evenparity)

奇宇称解(oddparity)

一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。如果对应于某能量方程(1)的解无简并,则解必有确定的宇称(parity).对于能级有简并的情况，能量本征态并不一定就具有确定宇称。此时，可以用定理（4）来处理。定理4

设则对应于任何一个能量本征值总可以找到方程(1)的一组解(每个解都有确定的宇称),而属于能量本征值的任何解，都可用它们来展开.证明：通过构造奇偶函数即可证(P.29)。适用范围

在坐标表象中,涉及波函数及其各阶导数的连续性问题,应从能量本征方程(1)出发,根据的性质进行讨论.

如是的连续函数,则与必为的连续函数.

但是如不连续,或有某种奇异性,则及其各阶导数的连续性问题需要具体分析.对于有限的阶梯形方位势（2）定理5对于一维有限深方势阱，这个定理明显成立.

能量本征函数及其导数必定是连续的(但如，则定理不成立).证明：通过证明的导数连续而得证(P.29)。V2V(x)x0aV1（3）定理6注意

对于束缚态(boundstate),当时,所以式(3)中常数必为0.推论

因此,对于同属于能量的任何两个束缚态波函数与对于一维粒子，设与均为方程（1）的属于同一能量的解，则证明：利用Schrödinger方程并积分而得证(P.30)。定理7

对于常见的不规则势阱(如无限深势阱,势阱等),在绝大多数情况下上述定理也成立.注意对于某些不规则势阱,如一维氢原子除基态外，其他束缚态均为二重简并。其特征是波函数的节点出现在的奇异点处，两个简并态具有不同宇称。设粒子在规则（regular）势场中运动(无奇点)，如存在束缚态，则必定不简并。证明：利用定理（6）并积分而得证(P.30)。①由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)②代入定态薛定谔方程③解方程④解出能量本征值和相应的本征函数⑤求出概率密度分布及其他力学量▲量子力学解题的一般思路常见的理想位势

①自由粒子②方势阱方势阱无限深方势阱▲几种势函数方势阱▲方势阱是实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内三维方势阱金属中的电子例如③势垒梯形势散射问题势垒隧道贯穿④其他形式超晶格谐振子﹟▲量子力学中常用的二阶常系数齐次线性微分方程的解对方程其特征方程为a金属V(x)V=V0V=V0EV=0x极限V=0EV→∞V→∞V(x)x0a无限深方势阱potentialwell▲一