2007年福建高考理科数学真题及答案

第页|共页2007年福建高考理科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A． B． C． D．2．数列的前项和为，若，则等于（）A．1 B． C． D．3．已知集合，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．对于向量和实数，下列命题中真命题是（）A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则5．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A． B．C． D．7．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．9．把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（）A． B． C． D．210．顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）A． B． C． D．11．已知对任意实数，有，且时，，则时（）A． B．C． D．12．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数满足则的取值范围是________．14．已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．15．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望．16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有；（2）对称性：对于，若，则有；（3）传递性：对于，若，，则有．则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．18．（本小题满分12分）ABCDABCD，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．Oyx1Oyx1lF直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；21．（本小题满分12分）等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B11．B 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13． 14． 15．16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．ABABCDOF解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由得，．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，xzABCxzABCDOFy平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量， ． 点到平面的距离．19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为： ．（Ⅱ） ． 令得或（不合题意，舍去）． ，． 在两侧的值由正变负． 所以（1）当即时， ．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．PBQMFOAxy解法一：（PBQMFOAxy，化简得．（Ⅱ）设直线的方程为：．设，，又，联立方程组，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：（Ⅰ）由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．（Ⅱ）由已知，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分解：（Ⅰ）由已知得，， 故． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则． 即． ， ． 与矛盾． 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的单调递增区