《电路分析基础》课件3第4章

4.1支路分析4.2网孔分析4.3节点分析4.4含运放电路的节点分析*4.5节点列表法*4.6电路方程的计算机解本章小结思考题

习题44.1.1电路的2b方程

电路分析的主要任务是：给定电路的结构、元件的特性和参数、各独立源的电压和电流(激励)，求电路中各支路电压和支路电流，或某些指定的支路电压和支路电流(响应)。对含有b条支路的电路，就有b个未知的支路电压和b个未知的支路电流，这就需要列写2b个联立方程从而解出2b个未知量，这种方法称为2b法。4.1支路分析以如图4-1所示电路为例。电路有3个节点，3个网孔，5条支路，因此，有5个支路电流I1~I5，5个支路电压U1~U5。有10个未知量，所以需要10个方程。

对3个节点，可写出KCL方程为

-I1-I2+I3=0

(4-1)

-I3+I4+I5=0

(4-2)

I1+I2-I4-I5=0

(4-3)图4-1说明2b方程的电路但这三个方程中只有两个是独立的，因为将式(4-1)与式(4-2)相加再乘-1就可以得到式(4-3)。

因此，要任意去掉一个方程，KCL方程变为

-I1-I2+I3=0

-I3+I4+I5=0

(4-4)对3个网孔，可以列写3个KVL方程

-U1+U2=0

-U2+U3+U4=0

U4-U5=0

(4-5)对5条支路可以列写5个支路方程

U1=US1-R1I1，U2=-R2I2，

U3=R3I3，U4=R4I4，U5=US5+R5I5

(4-6)这样就有10个方程可解之。对一般网络，设有b条支路，n个节点，则有b个支路电流和b个支路电压，共2b个未知量。方程个数：KCL方程数n－1个，KVL方程数b－n+1个，支路方程数b个，共2b个方程。

2b方程在实际使用中较少应用，主要是列写的方程个数太多。但是，从概念上来说，2b方法是很重要的，它是所有其他电路方程的基础。在计算机辅助计算中，由于形成方程容易而重新得到重视。4.1.2支路电流法

支路电流法是以电路中的支路电流为未知量的列写电路方程的方法。

因为只要知道了支路电流，支路电压就可以由支路方程求得。以如图4-1所示的电路为例，将式(4-6)代入式(4-5)就可得

-I1-I2+I3=0

-I3+I4+I5=0

-US1+R1I1-R2I2=0

R2I2+R3I3+R4I4=0

R4I4-US5-R5I5=0

(4-7)这就是支路电流法列写的5个方程，可解得5个支路电流I1~I5。

对一般网络，设有b条支路，n个节点，则有b个支路电流，共b个未知量。方程个数：KCL方程数n－1个，KVL方程数b－n+1个，共b个方程。4.1.3支路电压法

支路电压法是以电路中的支路电压为未知量的列写电路方程的方法。

因为只要知道了支路电压，支路电流就可以由支路方程求得。以如图4-1所示的电路为例，将式(4-6)中的电流解出代入式(4-4)，消去了支路电流，可得

(4-8)这就是支路电压法列写的5个方程，可解得5个支路电压U1~U5。

对一般网络，设有b条支路，n个节点，则有b个支路电压，共b个未知量。方程个数：KCL方程数n－1个，KVL方程数b－n+1个，共b个方程。

综上所述，支路分析法是由2b分析法演变而来的的，需要列写b个方程，以KCL和KVL为列写方程的依据。4.2.1网孔分析的一般方法

网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流。网孔电流的方向是任意设定的，如图4-2所示电路设有三个网孔电流IL1、IL2和IL3。网孔电流与支路电流的关系为

I1=IL1，I2=IL2-IL1，I3=IL2，

I4=IL2+IL3，I5=-IL3

(4-9)

所以，网孔电流求得后，支路电流也就决定了，但未知量的数目减少了。4.2网孔分析法图4-2说明网孔方程的电路以图4-2所示的电路为例，列写网孔方程。

对网孔１，应用KVL，有

R1IL1+R2(IL1-IL2)=US1(4-10)对网孔2，应用KVL，有

R2(IL2-IL1)+R3IL2+R4(IL2+IL3)=0

(4-11)对网孔3，应用KVL，有

R5IL3+R4(IL3+IL2)=US5(4-12)由式(4-10)、式(4-11)、式(4-12)整理可得

(R1+R2)IL1-R2IL2=US1

-R2IL1+(R2+R3+R4)IL2+R4IL3=0

R4IL2+(R4+R5)IL3=US5

(4-13)综上所述，可以归纳出网孔分析的计算方法。

网孔分析的步骤：

(1)设网孔电流及参考方向。

(2)对每个网孔应用KVL列写电压方程，用欧姆定律表示含有网孔电流的每一项电压。

(3)化简并求解网孔方程，从而获得网孔电流。

【例4-1】

电路如图4-3所示，求支路电流I1、I2和I3。

解设网孔电流如图4-3所示。

对网孔1，有

-15+5IL1+10(IL1-IL2)+10=0

化简得

3IL1-2IL2=1

(4-14)图4-3例4-1的电路对网孔2，有

-10+10(IL2-IL1)+6IL2+4IL2=0

化简得

IL1=2IL2-1

(4-15)

对式(4-14)、式(4-15)联立求解，可得

IL1=IL2=1A

所以，支路电流为

I1=IL1=1A

I2=IL2=1A

I3=IL1-IL2=0

【例4-2】

电路如图4-4所示，求电路中的电流I0。

解对网孔1，应用KVL有

-24+10(IL1-IL2)+12(IL1-IL3)=0

对网孔2，有

24IL2+4(IL2-IL3)+10(IL2-IL1)=0

图4-4例4-2的电路对网孔3，有

4I0+12(IL3-IL1)+4(IL3-IL2)=0

用网孔电流表示控制量：I0=IL1-IL2，上式变为

4(IL1-IL2)+12(IL3-IL1)+4(IL3-IL2)=0

化简以上等式，有

11IL1-5IL2-6IL3=12

-5IL1+19IL2-2IL3=0

-IL1-IL2+2IL3=0

(4-16)联立求解式(4-16)，可解得

IL1=2.25A，IL2=0.75A，IL3=1.5A

于是，I0=IL1-IL2=1.5A。

此题说明，如果电路中含有受控源，则网孔电流方程必须附加适当的约束方程。4.2.2网孔分析的特殊方法

前面讨论的网孔分析中，所涉及的电路只含有电压源。如果电路中含有电流源，应用

KVL列写网孔方程就会有问题。因为电流源两端的电压是不定的，即它的端电压要由外电路决定。因此，用KVL列写沿网孔的电压方程就行不通了。如果电路中含有非理想的电流源，即有内阻的电流源(任何与电流源并联的电阻都可以看成电流源的内阻)，可以通过电源等效变换，将电流源模型变换成电压源模型。这样，电路中又只含有电压源了。但是，电路中含有理想电流源，即某条支路的电流源没有电阻与之并联，这时电流源就不可能等效变换成电压源。列写网孔方程的方法就要有所改变，这就是要讨论网孔分析的特殊方法。有两种方法可以解决这个问题：

第一种方法是增设未知量，即在电流源两端设定一个未知电压，沿每个网孔应用KVL列写电压方程，然后将电流源与网孔电流的关系考虑进去，这种方法使未知量的个数增加，电路方程增加，比较麻烦。第二种方法是“超网孔”分析法，这是较好的方法。即用含有公共电流源的两个网孔来构造一个“超网孔”，该电流源位于超网孔的内部，这样存在电流源的地方就减少了一个网孔。如果电流源位于电路的边界，那么它所在的网孔就不必列方程，因为网孔电流就是电流源的电流。这样处理后，可以对电路中的网孔或超网孔应用KVL列方程。

电路如果含有理想电流源支路，可采用超网孔法。位于两个网孔之间的每一个电流源形成一个“超网孔”，对超网孔构成的回路可以应用KVL列方程。

【例4-3】

用网孔分析法求如图4-5所示电路中的网孔电流I1、I2。

解由于电流源在电路的边界，因此网孔2不必列方程，只要对网孔1列方程。

对网孔1，有

-10+4I1+6(I1+I2)=0图4-5例4-3的电路其中，I2=5A，所以

-10+4I1+6(I1+5)=0

可得

I1=-2A

【例4-4】

用网孔分析法求如图4-6(a)所示电路中的网孔电流I1、

I2和I3。

解一个电流源位于两个网孔的公共边界上。设超网孔包含网孔1和网孔3，如图4-6(b)虚线所示，沿该回路应用KVL，有

-7+1(I1-I2)+3(I3-I2)+1×I3=0

或

I1-4I2+4I3=7

(4-17)图4-6例4-4的电路

对网孔2，应用KVL，有

1(I2-I1)+2I2+3(I2-I3)=0

或

-I1+6I2-3I3=0(4-18)电流源与网孔电流的关系为

I1-I3=7

(4-19)联立求解式(4-17)、式(4-18)和式(4-19)可得

I1=9A，I2=2.5A，I3=2A图4-7例4-5的电路

【例4-5】

用网孔分析法求如图4-7所示电路中的网孔电流I1、I2和I3。

解由于15A的电流源位于电路的边界，列方程时不考虑网孔1。受控电流源虽然位于网孔1和网孔2之间，但网孔1已去掉，这样受控源相当于位于电路的边界，于是不需要对网孔3列方程。仅剩下网孔2，应用KVL，有

1(I2-I1)+2I2+3(I2-I3)=0其中，I1=15A，受控源与网孔电流的关系为

控制量与网孔电流的关系为

Ux=3(I3-I2)

所以，得网孔方程为

2I2-I3=5

I2+2I3=45

解之得

I1=15A，I2=11A，I3=17A

【例4-6】

用网孔分析法求如图4-8所示电路中的网孔电流I1~I4。

解网孔1与网孔2之间有电流源可形成一个超网孔。网孔2与网孔3之间有受控电流源，也形成一个超网孔。

两个超网孔连在一起，形成一个大超网孔，如图中虚线所示。图4-8例4-6的电路对超网孔，应用KVL，有

2I1+4I3+8(I3-I4)+6I2=0

化简得

I1+3I2+6I3-4I4=0

对网孔4，有

8(I4-I3)+2I4+10=0

化简得

5I4-4I3=-5

电流源与网孔电流的关系为

I2-I1=5

受控源与网孔电流的关系为

I2-I3=3I0

控制量与网孔电流的关系为

I0=-I4

所以得方程组为

I1+3I2+6I3-4I4=0

5I4-4I3=-5

I2-I1=5

I2-I3+3I4=0

解之得

I1=-7.5A，I2=-2.5A，I3=3.93A，I4=2.143A

值得注意的是，网孔分析法只适用于平面电路。

自测题4-1电路如图4-9所示，已知网孔方程是

300I1-200I2=3

-100I1+400I2=0

则CCVS的控制系数r=

Ω。

(Ａ)100(Ｂ)-100(Ｃ)50(Ｄ)-50

自测题4-2

在图4-10所示电路中，网孔方程为

120I1-20I2=US11

R21I1+60I2=70

则R21＝

Ω。

(Ａ)0(Ｂ)20

(Ｃ)-22

(Ｄ)-20图4-9自测题4-1的电路图4-10自测题4-2的电路4.2.3网孔分析的直观方法

在前面对如何列写电路的网孔方程进行了讨论，能不能用比较简捷的方法直接对电路列写网孔方程呢？下面就讨论这个问题。以三个网孔的电路为例，网孔方程可以写成一般的形式：

R11IL1+R12IL2+R13IL3=US11

R21IL1+R22IL2+R23IL3=US22

R31IL1+R32IL2+R33IL3=US33(4-20)

网孔方程也可以写成矩阵形式：

(4-21)或简写成

RIL=US

(4-22)

其中，R为电阻矩阵；

IL为网孔电流列向量；US为电压源列向量。

各元素的意义如下。

Rii：称为自电阻，在电阻矩阵R的对角线上，始终为正，等于第i网孔的电阻之和。

Rij=Rji：称为互电阻，等于第i网孔与第j网孔之间的电阻之和。正负由相邻网孔电流的方向而定。相邻两网孔方向一致，取正号，否则取负号。

USii：等于第i网孔的电压源电压升的代数和。

实际上，只要找出电阻矩阵R和电压源列向量US中的相关元素，就可以列出网孔方程。

【例4-7】

用直观法列写如图4-11所示电路中的网孔电流方程。

解设三个网孔电流如图所示，根据上述的规则列写网孔方程。

自电阻：

R11=1+5+2=8Ω，R22=6+5+3=14Ω，R33=2+3+4=9Ω

互电阻：

R12=R21=-5Ω，R13=R31=-2Ω，R23=R32=-3Ω图4-11例4-7的电路电压源向量：

US11=3V，US22=-8V，US33=29V

写成矩阵形式为

对于只含电压源的电路，用直观法列写方程是十分方便的，并且电阻矩阵是对称的。如果电路中含有受控源，则电阻矩阵将不再是对称的了。4.3.1节点分析的一般方法

在电路中任意选一个节点为参考点，其余的每一个节点到参考点的电压降，就称为这个节点的节点电压。4.3节点分析法显然，一个具有n个节点的电路有n-1个节点电压。

如图4-12所示的电路，选好参考点后有两个节点电压Un1、Un2。节点电压与支路电流的关系为

(4-23)图4-12说明节点方程的电路以图4-12所示电路为例，列写节点方程。

对节点１，应用KCL，有

(4-24)

对节点2，应用KCL，有

(4-25)

对式(4-24)、式(4-25)整理可得

(4-26)节点分析的步骤：

(1)设参考节点和节点电压。

(2)对每个节点应用KCL列写电流方程，用欧姆定律求含有节点电压的支路电流。

(3)化简并求解节点方程，从而获得节点电压。

【例4-8】

电路如图4-13所示，求各支路电流。

解设参考节点和节点电压如图4-13所示。

对节点1，有

化简得

(4-27)图4-13例4-8的电路

对节点2，有

化简得

(4-28)对式(4-27)、式(4-28)联立求解，可得

U1=1.5V，U2=-3V

所以，支路电流为

图4-14例4-9的电路

【例4-9】

电路如图4-14所示，求节点电压U1、U2和U3。

解设参考节点和节点电压如图4-14所示。

对节点1，应用KCL，有

用4乘上式两边，合并有

3U1-2U2-U3=12

(4-29)对节点2，应用KCL，有用8乘上式两边，合并有

-4U1+7U2-U3=0

(4-30)

对节点3，应用KCL，有

控制量与节点电压的关系为，用8乘上式两边，合并有

-6U1+9U2-3U3=0

(4-31)

联立求解式(4-29)、式(4-30)、式(4-31)，可得节点电压为

U1=4.8V，U2=2.4V，U3=-2.4V

此题说明，如果电路中含有受控源，则节点方程必须附加适当的约束方程。4.3.2节点分析的特殊方法

如果电路中含有理想电压源支路，应用KCL列写节点方程就会有问题。因为流过电压源的电流是不定的，即它的端电流要由外电路决定。因此，用KCL列写沿节点的电流方程就行不通了。列写节点方程的方法就要有所改变，这就是要讨论的节点分析的特殊方法。

有两种方法可以解决这个问题。第一种方法是增设未知量，即在电压源两端设定一个未知

电流，对每个节点应用KCL列写电流方程，然后将电压源与节点电压的关系考虑进去，这种方法是未知量的个数增加，电路方程增加，比较麻烦。

第二种方法是“超节点”分析法，这是较好的方法。即用含有公共电压源的两个节点来构造一个“超节点”，该电压源位于超节点的内部，这样存在电压源的地方就减少了一个节点。如果电压源与电路的参考点连接，那么它所在的节点就不必列方程，因为节点电压就是电压源的电压。这样处理后，可以对电路中的节点或超节点应用KCL列方程。电路如果含有理想电压源支路，可采用超节点法。位于两个节点之间的每一个电压源形成一个“超节点”。对超节点构成的封闭面可以应用KCL列方程。图4-15例4-10的电路

【例4-10】

电路如图4-15所示，用节点分析法求电路中的电流I1~I4。

解电路含有两个理想电压源，10V电压源与参考点连接，不列方程。与5V电压源相连的节点2与3构成超节点，如图中阴影部分所示。

对超节点，应用KCL，有

I1+I4=I2+I3即

化简后可得

3U2+2U3=36

电压源与节点电压的关系为

U2-U3=5解之可得节点电压为

U2=9.2V，U3=4.2V

各支路电流为

【例4-11】

对例4-2的电路重画如图4-16所示，用节点分析法求电路中的电流I0。

解根据超节点的形成规则，有两个理想电压源或受控电压源与参考点连接，因此形成一个大的超节点，如图中阴影部分所示。

对节点1应用KCL，有

图4-16例4-11的电路用节点电压表示控制量，有

10I0=24-U1

或U1=24-10I0

上式变为

于是，解得

I0=1.5A

显然，此题用节点方程求解要简单得多。

【例4-12】

求如图4-17所示的节点电压。

解节点1、2形成超节点，节点3、4形成超节点。

对超节点1-2，应用KCL，有

对超节点3-4，应用KCL，有

图4-17例4-12的电路化简上式有

5U1+U2-U3-2U4=60

4U1+2U2-5U3-16U4=0

还需要两个方程，由电压源与节点电压的关系，得

U1-U2=20，U3-U4=3Ux=3(U1-U4)联立求解以上四个方程，可得

U1=26.667V，U2=6.667V，U3=173.333V，U4=-46.667V值得注意的是，节点分析法不仅适用于平面电路还适用于非平面电路。

自测题4-3

电路如图4-18所示，已知节点电压方程是

5U1-3U2=2

-U1+5U2=0则VCCS的控制系数g=

。

(Ａ)1Ｓ(Ｂ)-1Ｓ(Ｃ)2Ｓ(Ｄ)-2Ｓ图4-18自测题4-3的电路

自测题4-4

在图4-19所示电路中，各节点的电位分别为U1、U2、U3，则节点②的KCL方程为()+0.5I+2=0，括号中应为

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)3(U2-U1)(Ｄ)3(U1-U2)

自测题4-5

电路如图4-20所示，由节点分析法可求得U＝

。

(Ａ)

0V(Ｂ)8V(Ｃ)20V(Ｄ)40V图4-19自测题4-4的电路图4-20自测题4-5的电路*4.3.3节点分析的直观方法

在前面对如何列写电路的节点方程进行了讨论，能不能用比较简捷的方法直接对电路列写节点方程呢？下面就讨论这个问题。

以三个节点的电路为例，节点方程可以写成一般的形式：

G11Un1+G12Un2+G13Un3=IS11

G21Un1+G22Un2+G23Un3=IS22

G31Un1+G32Un2+G33Un3=IS33(4-32)节点方程也可以写成矩阵形式：

或简写成

GUn=IS

(4-33)其中，G为电导矩阵；Un为节点电压列向量；IS为等效电流源列向量。

各元素的意义如下。

Gii：称为自电导，在电导矩阵G的对角线上，始终为正，等于与第i节点相连的所有电导之和。

Gij=Gji：称为互电导，等于第i节点与第j节点之间的电导之和，始终为负。

ISii：等于与第i节点相连的电流源或等效电流源的代数和，电流流入节点为正。

实际上，只要找出电导矩阵G和电流源列向量IS中的相关元素，就可以列出节点方程。

【例4-13】用直观法列写图4-21所示电路中的节点电压方程。

解设参考节点和三个节点电压如图所示，根据上述的规则列写节点方程。

自电导：图4-21例4-13的电路

互电导：

G12=G21=-0.5S

G13=G31=-0.5S

G23=G32=-0.25S

电流源向量：

写成矩阵形式为

对于不含理想电压源支路的电路，用直观法列写方程是十分方便的，并且电导矩阵是对称的。如果电路中含有受控源，则电阻矩阵将不再是对称的了。

*4.3.4弥尔曼定理

对于单节点电路，如图4-22所示。只有一个独立节点，故只要列一个节点方程。图4-22单节点电路对图中上面的节点列KCL方程，有

(4-34)

整理可得

(4-35)所以

(4-36)

对于一般电路，可以归纳成一般公式

(4-37)式中，为与该节点相连的所有电流源代数和，电流方向流入节点为正；为与该节点相连的所有等效电流源代数和，电压正极指向节点为正；为与该节点相连的所有电导之和，即自电导。

以上就是弥尔曼定理的内容。式(4-37)对求解单节点电路非常有用。

【例4-14】

电路如图4-23所示，求开关S打开和闭合时的A点电位UA。

解电路只有一个独立节点，应用弥尔曼定理计算。图4-23例4-14的电路当S打开时，由公式(4-37)得

当S闭合时，由公式(4-37)得

自测题4-6

分析不含受控源的正电阻网络，得到下列节点电导矩阵Gn，其中肯定错误的为

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自测题4-7

如图4-24所示电路，节点１的自电导G11

＝

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

自测题4-8

如图4-25所示电路，A点的电位UA＝

。图4-24自测题4-7的电路图4-25自测题4-8的电路4.4.1运算放大器及其等效电路

运算放大器简称运放，是集成电路技术制作的一种多端电子器件。最初使用运算放大器电路时，把它作为模拟计算机中的模块。之所以称作“运算”，是因为它用在实现积分、微分、加法、符号变换和比例等数学运算中。近年来运放的应用远远超出了这个范围，被广泛应用于自

动控制系统、计算机及检测装置中。虽然运算放大器有多种型号，各种型号的运算放大器的内部电路不尽相同，不过从电路分析的角度来看，关心的仅仅是器件的外部特性，这样运算放大器可用图4-26所示的符号表示。4.4含运放电路的节点分析图4-26运算放大器的外观引脚与电路符号图4-26(a)是双列直排式运放的外部引脚图，每个端子的名称在端子旁边给出，我们主要关心的端子有：反相输入、同相输入、输出、正电源、负电源。其余三个端子不重要，端子1、5是用于运放的外部调零以对运放进行平衡或补偿。端子8处NC代表没有连接。

图4-26(b)是运放的电路符号，包含了五个主要关心的端子。有时为了简单起见，两个电源端子被省略。运放要工作必须接电源，图4-27(a)是典型的运放双电源的供电方式。虽然在画电路图时，电源经常被省略，但由电源提供的功率是不可忽略的。由KCL得

io=i1+i2+iC++iC-

图4-27运算放大器的供电与传输特性图4-27(b)是对运算放大器实验测得的输入-输出特性。由特性曲线可见：

(1)输入电压为ui=u+-u-，当ui<-e或ui>e时，输出电压趋于饱和，保持恒定值UCC和-UCC。这是由于运算放大器内部晶体管的非线性特性造成的。

(2)当-e<ui<e时，特性曲线为经过原点的直线，表明输出电压随输入电压的增加而线性增加。设直线的斜率为A，则uo=Aui

。A称为开环放大倍数。工作在线性工作区的运放性能的等效电路如图4-28所示。其中，Ri称为运放的输入电阻；Ro称为运放的输出电阻。表4-1是运放参数的典型值。图4-28运算放大器的等效电路表4-1运算放大器的典型参数4.4.2理想运算放大器的特点

作为电路元件的运算放大器，是实际运算放大器的理想化模型，理想条件包括：

•

开环放大倍数A=∞。实际运放的电压放大倍数的典型值为2×105或更大。

•

输入电阻Ri=∞。实际运放的输入电阻的典型值在2×106Ω以上。

•

输出电阻Ro=0。实际运放的输出电阻的典型值在50～100Ω之间。

根据这些理想条件，可得出理想运放的如下特性：

•

由于A=∞，所以运放的输出电压uo总为有限值，

可得：

ui=0，即u+=u-，称为“虚短路”。

•

由于Ri=∞，两输入端的电流为0，即i+=i-=0，称为“虚断路”。

•

由于Ro=0，因此输出特性与电压源相似，由uo=Aui

无法计算，而应通过运放外部连接的电路来进行计算。4.4.3节点分析

节点分析特别适用于含运放的电路。在理想运放的情况下，请注意以下规则：

(1)输出端设节点，但不列该节点的方程；

(2)列写节点方程时，运用运放的“虚短”和“虚断”两条规则。

含运放的简单电路一般运用运放的两条规则计算就行了；含运放的复杂电路采用节点法分析比较方便。

【例4-15】

设图4-29所示电路中的运放均为理想的，试求出各电路的输出电压值。

解

(1)由于理想运放的输入电压为零，即“虚短”，即运放的输入端为等电位，均为零电位。A点电位为2V。再由于理想运放的输入电流为零，即“虚断”，即有2V电压源中无电流，两个电阻中的电流相同，同串联一样看待。从电路中可知，10kΩ电阻上的电压就是2V。那么，20kΩ电阻上的电压就是4V。所以，输出电压为

uo=2+4=6V图4-29例4-15的电路

(2)由于“虚短”，即运放的输入端为等电位，故A点电位为2V。再由于“虚断”，两个电阻中的电流相同，同串联一样看待。从电路中可知，10kΩ电阻上的电压就是2V，那么，20kΩ电阻上的电压就是4V。所以，输出电压为

uo=2+4=6V

(3)由于“虚短”，即运放的输入端为等电位，故A点电位为2V。再由于“虚断”，两个电阻中的电流相同，同串联一样看待。从电路中可知，10kΩ电阻上的电压就是2-1=1V，那么，20kΩ电阻上的电压就是2V。所以，输出电压uo=2+2=4V

【例4-16】

在图4-30所示电路中的运放是理想的。

(1)如果ui1=1V，ui2=0，计算uo。

(2)如果ui1=1V，ui2=2V，计算uo。

(3)如果ui1=1.5V，为了避免放大器饱和，确定ui2的范围。图4-30例4-16的电路

解可以假定运放工作在线性区，在反相输入端，即节点1列写节点方程，注意到理想运放的两条规则，有由“虚短”得

u1=ui2

由“虚断”得

i1=i2所以

即

uo=5ui2-4ui1

(1)当ui1=1V，ui2=0时，uo=-4V。

由于uo处于±10V之间，因此运放工作在线性区。

(2)当ui1=1V，ui2=2V时，uo=6V。

由于uo处于±10V之间，因此运放工作在线性区。

(3)当ui1=1.5V时，有

uo=5ui2-4×1.5所以

如果运放工作在线性工作区，则-10V≤uo≤10V。将这些对uo的限制代入上式，可得到ui2的限制范围是

-0.8V≤ui2≤3.2V

【例4-17】

图4-31所示电路的运放是理想的，求电压比。图4-31例4-17的电路

解设节点1、2，输出端设节点uo，但不列节点方程，如图4-31所示。

对节点1，应用KCL，有

对节点2，应用KCL，有对以上方程进行整理，可得

应用运放规则：un1=0，uo1=un2，代入上式，可解得：

【例4-18】

图4-32所示电路的运放是理想的，求电压比。

解设节点1、2，输出端设节点uo，但不列节点方程，如图4-32所示。图4-32例4-18的电路对节点1，应用KCL，有

对节点2，应用KCL，有

对以上方程进行整理，可得应用运放规则：un1=0，代入上式，可解得

自测题4-9

图4-33所示电路的运放是理想的，则电压比uo/ui=

。

(A)(B)(C)(D)

自测题4-10

图4-34所示电路的运放是理想的，则电压比uo/ui=

。

(A)

(B)

(C)

(D)

自测题4-11

图4-35所示电路的运放是理想的，则输出电压uo=

。图4-33自测题4-9的电路图4-34自测题4-10的电路图4-35自测题4-11的电路4.5.1关联矩阵和KCL、KVL的矩阵形式

电路图是电路拓扑结构的抽象描述，若图中每一支路都标上参考方向，则它成为有向图。

有向图的拓扑性质可以用关联矩阵来描述。

关联矩阵是表示支路与节点关系的矩阵。图4-36是电路的有向图，有6条支路、4个节点。关联矩阵用A表示，元素ajk定义为

+1，支路k与节点j关联，方向背向节点

-1，支路k与节点j关联，方向指向节点

0，支路k与节点j无关联*4.5节点列表法ajk=图4-36说明关联矩阵的图

如图4-35的关联矩阵为

A的每一行对应一个节点，每一列对应一条支路。设电路的支路电流列向量

I=［I1

I2

I3

I4

I5

I6］T

将关联矩阵A与支路电流列向量相乘，有

支路123456节点A＝AI＝即

AI=0(4-38)

式(4-38)就是KCL矩阵形式。设支路电压

U=［U1

U2

U3

U4

U5

U6］T

节点电压列向量

Un=［Un1

Un2

Un3］T

所以，有

U=ATUn

(4-39)

式(4-39)就是KVL矩阵形式，表示支路电压与节点电压的关系。4.5.2节点列表法电路方程的推导

列表法采用一种新形式的支路方程，首先规定一个元件为一条支路，即

对于电阻支路有Uk=RkIk

对于电导支路有Ik=GkUk

对于VCVS支路有Uk=μkjUj

对于VCCS支路有Ik=gkjUj

对于CCVS支路有Uk=rkjIj

对于CCCS支路有Ik=βkjIj

对于独立电压源支路有Uk=USk

对于独立电流源支路有Ik=ISk

对于整个电路可以写出如下形式的支路方程

FU+HI=US+IS

(4-40)

式中，U=［U1

U2

…

Ub］T、I=［I1

I2

…

Ib］T分别为待求的支路电压和支路电流的列向量，F和H均为b阶方阵，US和IS分别为b阶电压源列向量和电流源列向量。下面分几种情况讨论。

•

当电路中无受控源时，F、H都是对角阵，它们的元素为

对于电导支路有：Fkk=Gk，Hkk=-1;对于电阻支路有：Fkk=-1，Hkk=Rk。

•

当电路中有VCVS和VCCS时，F是非对角阵，H仍是对角阵，它们的元素为

对于VCVS支路有：Fkk=+1，Fkj=-μkj，Hkk=0;对于VCCS支路有：Fkk=0，Fkj=-gkj，Hkk=+1。

•

当电路中有CCVS和CCCS时，F是对角阵，H仍是非对角阵，它们的元素为

对于CCVS支路有：Fkk=+1，Hkj=-rkj，Hkk=0;

对于CCCS支路有：Fkk=0，Hkj=-βkj，Hkk=+1。

•

当电路中有独立电压源支路时，Fkk=+1，Hkk=0。

•

当电路中有独立电流源支路时，Fkk=0，Hkk=+1设节点电压Un也为待求量，用关联矩阵A表示的KCL、KVL以及支路方程如下：

KCLAI=0

KVLU-ATUn=0

支路方程FU+HI=US+IS

将这三个方程合并，便得到节点列表方程矩阵形式：

(4-41)在式(4-41)中，1b为b阶的单位矩阵。由于A为(n-1)×b矩阵，F和H均为b阶方阵，故方程总数为(2b+n-1)。从以上分析可知，节点列表方程即式(4-37)主要是支路方程中的F和H，而这两个方阵的填写如同填写表格一样，故称为列表法。在本书的附录C中，给出了用节点列表法形成电路方程的MATLAB通用分析程序，用该程序可以计算任意复杂的直流电路。

MATLAB最适合用来求解电路方程，这里介绍以下两种方法。

1.矩阵除法

矩阵除法是MATLAB从逆矩阵的概念引申而来，用函数inv可以求逆矩阵。设方程D*X=B，X为未知矩阵，在等式两端同时左乘inv(D)，即

inv(D)*D*X=inv(D)*B

有

X=inv(D)*B=D＼B*4.6电路方程的计算机解上式称为“左除”。左除的条件是：两矩阵的行数必须相等。

如例4-13的节点方程为

用MATLAB求解，命令如下：

>>Y=［2-0.5-0.5；-0.51.25-0.25；-0.5-0.251］；

I=［70-11］；U=Y＼I′

U=

0.0370

-2.2963

-11.5556

所以，U1=0.037V，U2=-2.2963V，U3=-11.5556V。

2.任意方程组的解

对于电路方程，也可以用solve()函数求解，如例4-12列写的节点方程为

四个方程四个未知量，用MATLAB求解，命令如下：>>［U1，U2，U3，U4］=solve(′(U3-U2)/6+10=(U1-U4)/3+U1/2′，′(U3-U2)/6+U3/4+U4=(U1-U4)/3′，′U1-U2=20′，′U3-U4=3*(U1-U4)′)

U1=

80/3

U2=

20/3

U3=

520/3

U4=

-140/3以上数据是符号表达式，还可以将这些数据化成任意精度的数值，如

>>vpa(［U1，U2，U3，U4］，5)

ans=［26.667，6.6667，173.33，-46.667］

即有

U1=26.667V，U2=6.667V，U3=173.333V，

U4=-46.667V

3.用通用直流程序计算

用附录给出的通用直流电路分析程序DCAN1可以计算任意复杂的直流电路，以例4-12为例，先给电路的节点、支路编号，并设定每一支路的方向，如图4-37所示。然后按要求(见附录)写出电路的拓扑结构和元件值作为输入数据矩阵，编写程序DLLT4_12.m。图4-37例4-12电路的图

dcan1(4，8，tp)tp=在命令窗口运行如下:

>>dllt4_12

在命令窗口显示结果为

>>节点电压

ans=

26.66676.6667173.3333-46.6667

支路电压

ans=

26.6667-6.666720.0000-166.6667173.3333

220.0000-46.666773.3333支路电流

ans=

13.333310.0000-37.7778-27.777843.3333-71.1111-46.666724.4444

支路功率

ans=

1.0e+004*

0.0356-0.0067-0.07560.46300.7511-1.56440.2178

0.1793功率总和

zP=

1.1369e-012

可见，与理论计算结果完全一致。用此方法可以计算、检验较复杂的直流电路。

•

电路分析的2b方法是电路方程的基础，支路电流法和支路电压法由此产生。但是支路分析法的未知量太多，进一步改进，减少未知量，便产生了网孔分析法和节点分析法。•

网孔分析法也称网孔电流法，是以网孔电流为未知量，方程数目为b-(n-1)，其中b是含未知电流支路的数目，n是节点的数目。网孔电流用来求支路电流。本章小结如果采用网孔分析法，首先确定该网络是否为平面网络。

·

对每个网孔，指定一个网孔电流及参考方向。·

如果电路只包含电压源，沿每个网孔应用KVL。

·

如果电路包含电流源，对位于两个网孔之间的每个电流源建立一个超网孔，然后沿每个网孔和超网孔应用KVL。

节点分析法也称节点电压法，是以节点电压为未知量，方程数目为n，其中n是基本节点的数目。节点电压用来求支路电流。采用节点分析法。

·

选取其中一个节点作为参考节点，然后标出节点电压，这些节点电压实际上是节点对参考点的电位。

·

如果电路只包含电流源，对各非参考节点应用KCL。

·

如果电路包含电压源，分别对各个电压源构造一个超节点，然后对所有的非参考节点和超节点应用KCL。

用直观法列写网孔方程和节点方程，可以更加简捷、准确地确定电路方程。这要求理解和掌握自电阻、互电阻以及自电导、互电导的概念，并且要熟悉列写方程的规则。弥尔曼定理适用于只有一个独立节点的电路，对于支路多的电路十分有效。

对于一个平面电路，是采用网孔分析法还是节点分析法，应该选择可以得到最少的联立方程个数的方法。如果两种方法的方程个数一样多，则要看未知量。因为节点分析法直接给出节点电压，而网孔分析法是直接给出网孔电流，同时还要比较方程的系数的难易程度，这也关系到解方程的难易。

理想运放的模型基于以下近似：开环增益A无限大，输入电阻