2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期期中联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期期中联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知为纯虚数，则（

）A．3 B． C． D．2．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（

）A． B． C． D．3．若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（

）A． B．C． D．4．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．5．6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（

）A．0.017 B．0.25 C．0.86 D．0.976．已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．7．已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（

）A．4 B．2 C． D．8．已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线和圆，则（

）A．直线过定点B．直线与圆有两个交点C．存在直线与直线垂直D．直线被圆截得的最短弦长为10．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（

）

A．B．平面C．D．点到平面的距离为11．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（

）A．的方程为B．C．的面积随周长变大而变大D．直线和的斜率乘积为定值三、填空题（本大题共3小题）12．在中，内角的对边分别为，已知，则.13．曲线的周长为.14．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，．

(1)证明：平面PCD；(2)若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．17．已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.(1)求抛物线C和椭圆E的方程；(2)过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.18．已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2.(1)求E的方程.(2)若为上一点，求的取值范围.(3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作.(1)已知点和点，直线，求和.(2)已知圆和圆.①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系；②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明.

答案1．【正确答案】B【详解】依题意，，由是纯虚数，得，所以.故选B.【思路导引】向量的数量积的求法：(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据向量数量积的运算律求解，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．2．【正确答案】A【详解】由点与点关于平面对称，可得，所以.故选：A．3．【正确答案】C【详解】由及，可得，所以的斜率，所以由点斜式方程得的方程为:，即.故选：C.4．【正确答案】C求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间.【详解】对于函数，，解得或.所以，函数的定义域为，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.故选：C.5．【正确答案】D【详解】解析设该椭圆的半焦距为cc>0，长半轴长为，根据题意有，可得，，所以离心率.故选：D.6．【正确答案】A【详解】设的半焦距为，则，根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为，所以，所以的渐近线的斜率为.故选：A.7．【正确答案】D【详解】设，将与联立，得，所以.设，因为，所以0，解得，故点到坐标原点的距离为.故选：D．8．【正确答案】D【详解】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接.

在中，.易知点为等边的中心，所以.易知，所以.所以，点即为球心，球的半径为，表面积为.故选：D.9．【正确答案】ABC【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A，由可得，，令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确；对B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即，此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确；对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；故选：ABC.10．【正确答案】BC【详解】如图所示，

设是棱的中点，连接OC，因为，所以且，以为原点，直线，分别为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，对于选项A，因为，所以CN与不垂直，故A错误；对于选项B，设平面的一个法向量为，则，即，所以取，因为平面，所以MN平面，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，设平面的法向量为n=x,y,z则，可取，所以点到平面的距离为，故D错误.故选：BC.11．【正确答案】AD【分析】对于A，由椭圆的离心率求解；于B，由椭圆的对称性知：，从而，借助基本不等式可得的最小值；对于，表示出周长和面积分析可得;对D:设,，则,，，由点，在椭圆上，即可化得的值.【详解】由题易知，解得，故椭圆方程为：，故A正确；连接，由椭圆对称性知为平行四边形，当且仅当，时等号成立，故错误；对选项C:由选项B可知：，设,，则‘的面积为’由对称性，不妨设在第一象限及正半轴上,故随的增大而减小，的面积为随的增大而增大，即的面积随周长变大而变小，C错误；对选项D：设,，则,，又，所以，点，在椭圆上，结合选项C,，所以，故D正确；故选：AD.利用椭圆对称性及定义推导出为平行四边形是本题关键.12．【正确答案】4【详解】因为，所以由正弦定理可得.故4.13．【正确答案】【详解】当时，方程可化为，此时，曲线是一个半径为的半圆，由对称性可得曲线在各个象限内都是半径为的半圆，故曲线的周长是4个半径为的半圆之和，即.故答案为.14．【正确答案】【详解】设的半焦距为cc>0，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.

因为，所以也是的中点.设，由双曲线的定义得，所以，在中，由，得，所以，在中，由，得.故答案为.15．【正确答案】(1).(2).【详解】（1）因为令，得.所以的单调递减区间为.（2）当时，，在区间上的值域为，令，得，有，令，得，有.所以，得，即的取值范围是.16．【正确答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）因为平面平面ABCD，，且平面平面，平面，可得平面ABCD，由平面ABCD，则，因为ABCD为正方形，则，且，平面PCD，所以平面PCD.（2）由（1）可知：平面ABCD，且ABCD为正方形，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

由题意可得：，则，设平面ABE的法向量为，则，令，则，可得，且，所以直线PC与平面ABE所成角的正弦值为.17．【正确答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）因为点在抛物线C：y2=2px所以，得，所以抛物线方程为，因为点在椭圆E：上，离心率，所以，解得，所以椭圆方程为（2）由题意可知直线的斜率不为零，所以设直线为，，由，得，由，得，则，由题意可知直线，的斜率均存在且不为零，所以，，因为，所以，所以，则，所以，得，所以直线为，所以，所以直线恒过定点18．【正确答案】(1)(2)(3)或.【详解】（1）因为，所以，因为的短轴长为2，所以，所以的方程为.（2）设Px,y，则，易知，所以.因为，所以，所以的取值范围是.（3）方法一：由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，所以，即，.因为的中点为，所以，①.因为点为线段的中点，所以，将点的坐标代入，得，与①式联立，解得或均满足，所以直线的方程为或，即，或.方法二：设点，则，由题意知直线的斜率存在，所以.将点坐标代入的方程，得，解得，所以.若与的中点重合，则.由点在上，得两式相减，得，整理可得.当点坐标为时，，当点坐标为时，，所以直线的方程为或，即或.19．【正确答案】(1)3，.(2)①圆与圆相切；②证明见解析【详解】（1）.设上任意一点为，则.当时，；当时，，所以的