2024-2025学年吉林省长春市高二上学期期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题1．已知随机变量的分布列是123则（

）A． B． C．1 D．2．在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（

）A．4种 B．12种 C．24种 D．36种3．已知圆，直线，截得圆弦长为2，则（

）A． B． C． D．4．的展开式中，常数项为（

）A．1365 B．3003 C．5005 D．64355．已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(

)A． B． C． D．6．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（

）A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.847．2024年斯诺克武汉公开赛前夕，肖国栋与斯佳辉两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设肖国栋在每局中获胜的概率为，斯佳辉在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（

）A． B． C． D．8．已知，为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若为内切圆上一动点，当的最大值为4时，的内切圆半径为（

）A． B．C． D．二、多选题9．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（

）A． B． C．3 D．10．下列说法正确的为（

）A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（

）A．对于任意直线，均有B．不存在直线，满足C．对于任意直线，直线与抛物线相切D．存在直线，使三、填空题12．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为.13．已知是各项系数均为整数的多项式，，且满足，则的各项系数之和为.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为.四、解答题15．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．(1)男队员2名，女队员2名；(2)至少有1名男队员．16．袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有个．从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是．（1）求的值；（2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1，求另一个小球的标号也是1的概率．17．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；（2）若胜场次数为，求的分布列．18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点．(1)求直线的方程；(2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：．19．已知双曲线，离心率为，，为其左右焦点，为其上任一点，且满足，．(1)求双曲线的方程；(2)已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中是坐标原点）．答案：题号12345678910答案ACACDCDCABAC题号11答案AC1．A【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.【详解】解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，所以.故选：A.本题考查分布列的性质，是基础题.2．C【分析】根据给定条件，利用全排列计算作答.【详解】依题意，不同的采访顺序有（种）.故选：C3．A【分析】由弦长、弦心距、半径的关系，即得解【详解】由题意，圆，圆心圆心到直线距离：故：代入解得：故选：A4．C【分析】求出给定的二项式展开式的通项公式，再确定常数项的参数值即可计算作答.【详解】二项式展开式的通项，由得，此时，所以所求常数项为5005.故选：C5．D【分析】标出椭圆的右焦点，利用椭圆定义转换|PF|，利用平面几何知识即可得最大值﹒【详解】由题意，点为椭圆的左焦点，∴．∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图，设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆定义知，．∵，∴，当在线段上时，等号成立.即要求的最大值为，故选：D．6．C【分析】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选：C7．D【分析】依题意得到的可能取值，再根据独立事件乘法公式和加法概率公式求出对应的概率即可.【详解】依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为如果该轮结束时比赛还将继续，那么肖国栋与斯佳辉在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有故选：D.8．C【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定M的横坐标，即得出圆心的横坐标，利用圆的几何性质知的最大值即为，即可求解.【详解】设的内切圆分别与，切于N，B，与切于M，如图，

则,又点在双曲线右支上，所以，故，而，设M的坐标为，可得:，解得，设内切圆半径为，则内切圆圆心为，则的最大值为，即，解得.故选：C9．AB【分析】求出两条直线的动点，对进行分类讨论，当，直接可求出三角形面积，当时，两条直线互相垂直，即可求得面积的最大值.【详解】动直线过定点，直线化简为，则，则直线过定点，当时，两条直线分别为，交点，；当时，两条直线的斜率分别为：，所以两条直线互相垂直，，当且仅当时，面积达到最大值，则的面积的值可以是或，不可以是,故选：AB10．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利用分类加法计数原理列式计算判断D作答.【详解】对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有种，A正确；对于B，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法，不同分法种数是，B错误；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，C正确；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种，一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种，所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是，D错误.故选：AC11．AC【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断，B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断．【详解】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确；对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确；对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则，直线的方程，与抛物线方程联立可得：，又，代入整理得，则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确；对于选项D，设的方程，联立，则，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以选项D错误，

故选：AC．方法点晴：（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12．记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：故本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.13．5【分析】根据题意可设，从而可得的各项系数和为，通过对赋值即可求出，即可得解.【详解】因为，所以，从而可设，则的各项系数和为，因为，所以，解得或5，因为是各项系数均为整数的多项式，所以不可能是分数，舍去，即.故5.14．33/【分析】设关于平分线的对称点为Q，根据题意可得三点共线，设，则，在利用余弦定理先求，然后由椭圆定义可求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案.【详解】设关于平分线的对称点为Q，则三点共线，设，则，又，所以在中，由余弦定理有：，即由椭圆定义可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故15．(1)30(2)65【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答.（2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答.【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）.（2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）.16．（1）；（2）.（1）根据取到标号都是2的概率列出式子即可求解；（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件，“另一个小球的标号是1”为事件，求出，利用条件概率公式即可求出.【详解】（1）由题意得，解得或（舍去）．（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件，“另一个小球的标号是1”为事件，则，,所以．17．（1）31种；（2）分布列见解析.（1）根据题中条件，分别讨论胜一场，胜两场，胜三场，胜四场，求出对应的胜场多于负场的情况，即可求出结果；（2）根据题中条件，先确定的可能取值，根据（1）的结果，分别求出对应的概率，即可得出分布列.【详解】（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；若胜四场，则只有1种情况．综上，共有种情况．（2）的可能取值为1,2,3,4，由（1）可得：，，，所以的分布列为：1234思路点睛：求离散型随机变量的分布列的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化计算）18．(1)或(2)证明见解析；【分析】（1）求出抛物线方程，再结合直线与抛物线相切的几何意义求得直线方程；（2）根据已知条件分别求得三点的坐标，即可证得.【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，则，所以抛物线的方程为，当斜率存在时，设过点的直线的方程为，因为直线与抛物线相切，则联立得，，由解得，，所以直线的方程为.当直线斜率不存在时，满足过点的直线与抛物线相切，故过点与抛物线相切的直线方程为或（2）因为直线不与轴垂直，则直线的方程为，根据题意如图所示：

由得，因为点为抛物线C上的点，设，由，则为的中点，则，因为轴，且直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，则得，由