2025届青海省西宁市大通县高三上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海省西宁市大通县2025届高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列双曲线中，焦点在轴上的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上.故选：C2.已知集合，，则中元素的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】由可知集合中的元素是非负偶数，所以可得，则中元素的个数为5.故选：A3.若复数满足，则的虚部与实部之差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，复数的虚部为，实部为，所以，的虚部与实部之差为.故选：B.4.将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（）A.210种 B.420种 C.240种 D.480种【答案】A【解析】依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等且丙至少2张，意味着甲、乙两人都分得2张邮票，所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有种.故选：A．5.下列函数中，在上为减函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，在0,π上均不是单调函数，时，，所以在0,π上为增函数，在0,π上为减函数.故选：D．6.若是等差数列，且，，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，所以，则，故数列的前10项和为.故选：C．7.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，，由，得，则，因此，所以.故选：B8.已知，，则使成立的一个充分条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.对于C，，可得，不符合题意.对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的终边经过点，则（）A. B.可能等于C. D.可能等于【答案】ACD【解析】因为的终边经过点，且，所以，，故A，C正确因为点在第四象限，所以不可能等于，可能等于，B错误，D正确.故选：ACD.10.已知表示不超过的最大整数．设函数的两个零点为，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】.当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为，，，，所以，，所以，.故选：AC11.在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（）A.B.二面角的余弦值为C.正四棱锥的外接球的表面积为D.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2【答案】BCD【解析】取的中点，设为正方形的中心，连接，，则.因为，所以异面直线与所成的角即，则.设，则，，，则，所以正四棱锥体积为，解得，所以，故A错误.在正方形中，由于，为的中点，所以，则为二面角的平面角，所以，故B正确.设正四棱锥的外接球的球心为，且，又，由，得，解得，所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确.因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.过点作，垂足为，因为平面，且平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，且平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知离散型随机变量的分布列为1234则______.【答案】【解析】由分布列，有.13.已知，，且是奇函数，则______.【答案】【解析】由是奇函数，得，令，得，则.14.已知向量，，满足，，，.若恒成立，则的最大值为______.【答案】【解析】因为，结合，所以.建立如图所示的平面直角坐标系，使得，.令，则，，代入，整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上.因为，点在圆内，所以，当且仅当点在的延长线上时，等号成立.若恒成立，则，所以的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为.（1）若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；（2）若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.解：（1）设事件分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得，，由全概率公式得，所以他买到的红茶是优质品的概率为.（2）设事件表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件的情况有：甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，则，所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为.16.在中，、、的对边分别为、、，且.（1）若的面积，，求；（2）若，求.解：（1）由，得.因为，所以，得，.由余弦定理可得，所以.（2）由及正弦定理得.因为，，所以，即，即.因为，所以，所以，即.17.如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC中点.（1）证明：平面ABCD.（2）若，求点N到平面AMF的距离.（1）证明：因为，，都垂直于平面，则.取的中点，连接，，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）解：连接.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，可得，，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，得，，可得.故点到平面的距离.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求的取值范围；（3）若有3个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，则，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，在上单调递增，因为，所以当时，单调递减，当时，，单调递增，所以，解得，故的取值范围为.（3）因为，则0为的1个零点，因为有3个零点，所以在上有2个零点，即方程有2个不同的实根，即直线与函数的图象在上有2个不同的交点，设，则，令，得，在上单调递增；令，得，在上单调递减，，，因为直线与函数的图象在上有2个不同的交点，所以，即的取值范围是.19.椭圆有一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光照射到椭圆上，其反射光线会经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，光线从发出，经过上一点（不在轴上）反射后，到达椭圆上的点，再反射到达上的点，不断反射，得到反射点列，设.（1）若的焦距为2，，，求的离心率；（2）证明：；（3）证明：是等比数列.（1）解：由题意，得，则，F1-1,0.因为，，三点共线，所以，解得.又，所以的离心率为.（2）证明：由题意，得，，三点共线，其中.当时，直线的方程为，代入，得.由韦达定理得，，所以①.假设，则.由①，得，即，解得，此时，则，这与不在轴上矛盾，所以假设不成立，即.（3）证明：，，三点共线，其中，当时，直线的方程为，与（2）同理，得②.由①②，得.当时，同理得.所以对任意，都有，即，可化为，即，所以是首项为，公比为的等比数列.青海省西宁市大通县2025届高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列双曲线中，焦点在轴上的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上.故选：C2.已知集合，，则中元素的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】由可知集合中的元素是非负偶数，所以可得，则中元素的个数为5.故选：A3.若复数满足，则的虚部与实部之差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，复数的虚部为，实部为，所以，的虚部与实部之差为.故选：B.4.将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（）A.210种 B.420种 C.240种 D.480种【答案】A【解析】依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等且丙至少2张，意味着甲、乙两人都分得2张邮票，所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有种.故选：A．5.下列函数中，在上为减函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，在0,π上均不是单调函数，时，，所以在0,π上为增函数，在0,π上为减函数.故选：D．6.若是等差数列，且，，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，所以，则，故数列的前10项和为.故选：C．7.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，，由，得，则，因此，所以.故选：B8.已知，，则使成立的一个充分条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.对于C，，可得，不符合题意.对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的终边经过点，则（）A. B.可能等于C. D.可能等于【答案】ACD【解析】因为的终边经过点，且，所以，，故A，C正确因为点在第四象限，所以不可能等于，可能等于，B错误，D正确.故选：ACD.10.已知表示不超过的最大整数．设函数的两个零点为，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】.当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为，，，，所以，，所以，.故选：AC11.在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（）A.B.二面角的余弦值为C.正四棱锥的外接球的表面积为D.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2【答案】BCD【解析】取的中点，设为正方形的中心，连接，，则.因为，所以异面直线与所成的角即，则.设，则，，，则，所以正四棱锥体积为，解得，所以，故A错误.在正方形中，由于，为的中点，所以，则为二面角的平面角，所以，故B正确.设正四棱锥的外接球的球心为，且，又，由，得，解得，所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确.因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.过点作，垂足为，因为平面，且平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，且平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知离散型随机变量的分布列为1234则______.【答案】【解析】由分布列，有.13.已知，，且是奇函数，则______.【答案】【解析】由是奇函数，得，令，得，则.14.已知向量，，满足，，，.若恒成立，则的最大值为______.【答案】【解析】因为，结合，所以.建立如图所示的平面直角坐标系，使得，.令，则，，代入，整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上.因为，点在圆内，所以，当且仅当点在的延长线上时，等号成立.若恒成立，则，所以的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为.（1）若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；（2）若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.解：（1）设事件分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得，，由全概率公式得，所以他买到的红茶是优质品的概率为.（2）设事件表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件的情况有：甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，则，所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为.16.在中，、、的对边分别为、、，且.（1）若的面积，，求；（2）若，求.解：（1）由，得.因为，所以，得，.由余弦定理可得，所以.（2）由及正弦定理得.因为，，所以，即，即.因为，所以，所以，即.17.如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC中点.（1）证明：平面ABCD.（2）若，求点N到平面AMF的距离.（1）证明：因为，，都垂直于平面，则.取的中点，连接，，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）解：连接.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，可得，，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，得，，可得.故点到平面的距离.1