2023-2024学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2−5x+6>0}，B={x|x−1<0}，则A∩B=A.{x|x<1} B.{x|−2<x<1}

C.{x|−3<x<−1} D.{x|x>3}2.函数f(x)=lnx−4x+1的零点所在区间为A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)3.在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于x的二次方程x2−2x+lg(c2A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.已知f(x)=x3+x+52x+2−x，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：

命题①：若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥0；

命题②：若A.①为真命题；②为真命题 B.①为真命题；②为假命题

C.①为假命题；②为真命题 D.①为假命题；②为假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.设全集U={x|−1≤x≤7,x∈Z}，A={1,3,5,7}，则A−=______．6.不等式2x−13x+1>0的解集是______．7.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=2π3，OA=3OC=3，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是

．

8.要使关于α的方程sinα−3cosα=m有实数解，则实数m9.已知cosθtanθ<0，sinθtanθ<0，则角θ10.已知tanα=2，则sin2α+2sinαcosα=______．11.已知tan(α+β)=4，tan(α−β)=2，则sin4α的值为______．12.已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=−15，则tanθ=

．13.已知函数y=loga(kx2−4kx+1−k)的定义域为14.已知f(x)=3+(a−1)x,x<0a+ax,x≥0(a>0且a≠1)，若15.已知f(x)=|lg|2−x||，有下列命题：

①函数y=f(x)在区间(1,2)上是严格增函数；

②函数y=f(x)的图像关于直线x=2成轴对称；

③函数y=f(x)的图像与x轴有且仅有两个公共点；

④若x1≠x2，但f(x16.设a1、a2、a3均为正数且a12+a三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知f(α)=cos(π−α)sin(−α−π)sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)．18.(本小题14分)

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米时)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当20<x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(Ⅰ)当0<x≤200时，求车流速度v关于车流密度x的函数v(x)的表达式；

(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大？最大值是多少(精确到1辆/时)？19.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且2cos2A+4cos(B+C)+3=0．

(1)求cosA；

(2)若a=1，△ABC的周长为3，求△ABC的面积S．20.(本小题18分)

已知f(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)，函数y=f(x)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．

(1)求a、b的值；

(2)若不等式f(2x)−k⋅4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=|x−a|+|x−2a|−m2，其中a，m为实数，且a>0.(1)当a=1时，求实数m；

(2)若对任意x∈R，f(x−1)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)试求满足f(4a−1)=f(10a−3)的所有的实数a的值．参考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.{−1,0,2,4,6}

6.{x|x<−13或7.8π38.[−2,2]

9.三

10.8511.−8412.−313.[0,114.[2,+∞)

15.①②③

16.(−∞,5+317.解：(1)f(α)=cos(π−α)sin(−α−π)sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)=−cosαsinα−cosα18.解

(I)由题意，得

当0<x≤20时，v(x)=60；

当20<x≤200时，设v(x)=ax+b，由已知，得200a+b=020a+b=60，

解得a=−13b=2003，

故函数v(x)的表达式为v(x)=60,0<x≤2013(200−x),20<x≤200，

(II)依题意，并由(I)得f(x)=6013x(200−x),20<x≤200，

当0<x≤20时，f(x)为增函数，故当x≤20时，函数值不超过1200；

当20<x≤200时，f(x)=13x(200−x)=−13(x−100)2+100003，19.解：(1)因为2cos2A+4cos(B+C)+3=0，

所以2(2cos2A−1)−4cosA+3=0，

所以4cos2A−4cosA+1=0，

所以(2cosA−1)2=0，解得cosA=12；

(2)因为a=1，△ABC的周长为3，

所以b+c=2，

由余弦定理有：a2=b2+c220.解：(1)函数f(x)=ax2−2ax+1+b=a(x−1)2+1+b−a，

因为a>0，对称轴为x=1，所以f(x)在区间[2,3]上是增函数，

所以f(2)=1f(3)=4，即b+1=13a+b+1=4，解得a=1b=0．

故a=1，b=0．

(2)由(1)得f(x)=x2−2x+1，

则不等式f(2x)−k⋅4x≥0为4x−2×2x+1−k⋅4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，

即k≤14x−22x+1=(12x−1)2在x∈[1,+∞)上恒成立，

又x∈[1,+∞)时，12x∈(0,12]，则12x−1∈(−1,−12],

所以(12x−1)2∈[21.解：(1)a=1时，f(x)=|x−1|+|x−2|−m2，

因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，

即|−1|+|−2|−m2=0，解得m=3，

(2)a>0，由题意得f(0)=a+2a−m2=0，解得m=3a，

当x≥0时，f(x)=|x−a|+|x−2a|−3a2=x−3a,x>2a−a,a≤x≤2a−x,x<a，

画出x∈R上的函数f(x)的图象，

令x−3a=m，得x=m+3a；令x+3a=m，得x=m−3a，

结合图象，要想f(x−1)≤f(x)恒成立，

只需m+3a−(−3a+m)≤1，解得a≤16，

又a>0，故0<a≤16，

所以a的取值范围为{a|0<a≤16}.

(3)当a=13时，10a−3=4a−1，f(4a−1)=f(10a−3)，满足要求，

令x−3a=a，解得x=4a，令x+3a=−a，解得x=−4a，

若−2a≤10a−3≤−a，−2a≤4a−1≤−a，无解，

若a≤10a−3≤2a，a≤4a−1≤2a，解得13≤a≤3