2015-2024年高考数学试题分类汇编：导数及其应用大题综合（学生版）

专题23导裁及其瘙用人感除含

十年考情­探规律1

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

2024•全国新H卷、2024•天津卷、2023・北京卷1.能理解导数的几何意义并会

2023•全国乙卷、2023•全国乙卷、2023•天津卷求切线方程，会求参数

2022•天津卷、2022•全国甲卷、2022•全国乙卷2.理解函数的单调性与导数之

2022•北京卷、2021•天津卷、2021•北京卷间的关系，能利用导数研究函

考点1切线方程2021•全国乙卷、2020•北京卷、2020•全国卷数的单调性，并会求单调区间，

及其应用2019•北京卷、2018•北京卷、2018•北京卷能够利用导数解决与函数单调

（10年10考）2018•全国卷、2018•天津卷、2017•天津卷性的综合问题，该内容是新高

2017•山东卷、2017•北京卷、2016•北京卷考卷的必考内容，近年来导数

2016•北京卷、2016•全国卷、2015•重庆卷和其他版块知识点关联密集，

2015•全国卷、2015•天津卷、2015•山东卷是新高考备考的重要内容。

2015•北京卷3.能够利用导数求函数的极大

考点2具体函数值、极小值以及在给定闭区间

2024•北京卷、2023•全国甲卷、2023•全国甲卷

及含参函数的单上的最大值、最小值，体会导

2022•全国新H卷、2021•全国甲卷、2020•全国卷

调性数与极大（小）值、最大（小）值的

2018•全国卷

（10年6考）关系，该内容是新高考卷的必

2024•全国甲卷、2023•北京卷、2023•全国新I卷考内容，会结合导数来判断或

2022•浙江卷、2022•北京卷、2021•全国新II卷证明函数的单调性，从而求得

2021•浙江卷、2021•全国甲卷、2021.全国乙卷函数的极值或给定区间上的最

2021•全国新I卷、2020•全国卷、2020•全国卷值，热点内容，需综合复习

考点3含参函数

2018•天津卷、2018•全国卷、2017•全国卷4.能进行函数转化证明不等式，

的单调性

2017•天津卷、2017.天津卷、2017•全国卷会函数中的恒成立问题与有解

（10年10考）

2017•全国卷、2016•山东卷、2016•四川卷问题，会求零点及其应用，会

2016•全国卷、2016•北京卷、2016•山东卷隐零点、双变量、极偏等内容

2016•四川卷、2016•全国卷、2015•江苏卷的学习，都可能成为高考命题

2015•重庆卷、2015•天津卷、2015•四川卷方向

2015•四川卷、2015•北京卷

2024•全国新H卷、2024•全国甲卷、2023•北京卷

2023•全国乙卷、2023,全国新H卷、2022•全国乙卷

2022•全国新I卷、2021•北京卷、2021•天津卷

2021•全国乙卷、2020•北京卷、2019•全国卷

考点4极值最值2019•江苏卷、2018•北京卷、2018•北京卷

及其应用2018•全国卷、2018•全国卷、2017・山东卷

（10年10考）2017•江苏卷、2017•全国卷、2017•山东卷

2017•北京卷、2016•山东卷、2016•天津卷

2016•全国卷、2015•重庆卷、2015•重庆卷

2015•山东卷、2015•湖南卷、2015•安徽卷

2015•山东卷、2015•全国卷

2024•全国甲卷、2024•全国新I卷、2023•天津卷

2022•全国新II卷、2021•全国乙卷、2019•北京卷

考点5证明不等

2018•全国卷、2018•全国卷、2018•全国卷

式

2017•全国卷、2016•浙江卷、2016•全国卷

（10年9考）

2015•全国卷、2015•湖北卷、2015•福建卷

2015•北京卷

2024•天津卷、2024•全国甲卷、2023•全国甲卷

2023•全国甲卷、2022•全国新I卷、2022•全国甲卷

考点6恒成立与

2021•天津卷、2020•山东卷、2020•全国卷

能成立（有解）

2019•全国卷、2017•天津卷、2017•全国卷

问题

2016•江苏卷、2016•全国卷、2016•四川卷

（10年9考）

2015•四川卷、2015•山东卷、2015•湖南卷

2015•湖南卷、2015•福建卷、2015•北京卷

2022•全国乙卷、2022.全国乙卷、2021•全国新II卷

2020•浙江卷、2020•全国卷、2020•全国卷

2020•全国卷、2019•全国卷、2019•全国卷

考点7零点问题

2018•浙江卷、2018•全国卷、2017•全国卷

（10年8考）

2016•江苏卷、2016•北京卷、2016•全国卷

2015•江苏卷、2015•全国卷、2015•全国卷

2015•陕西卷、2015•北京卷

考点8方程的根2022•浙江卷、2022•全国新I卷、2021•浙江卷

（10年4考）2021•全国甲卷、2019•全国卷、2018•江苏卷

考点09双变量2024•天津卷、2022•浙江卷、2022•北京卷

问题2021•浙江卷、2020•天津卷、2018•全国卷

（10年6考）2015•湖北卷

考点10隐零点

2023•全国甲卷、2017•全国卷

问题

2016•全国卷、2015•全国卷

（10年4考）

考点11极值点偏

2022•全国甲卷、2019•天津卷

移问题

2016•全国卷、2015•天津卷

（10年4考）

考点12导数与

其他知识点联动2024•北京卷、2023•全国新I卷

问题2021•全国新n卷、2021•全国乙卷

（10年4考）

分考点•精准练

考点01切线方程及其应用

1.（2024•全国新n卷•高考真题）已知函数/（》）=1一内-/.

⑴当4=1时，求曲线y=/（x）在点。，了⑴）处的切线方程；

2.（2024・天津・高考真题）设函数4%）=攻比.

⑴求“X）图象上点（L/⑴）处的切线方程；

3.（2023•北京•高考真题）设函数，（无）=尤-人血"曲线y=f（x）在点（I,”））处的切线方程为y=-x+i.

⑴求a,b的值；

4.（2023,全国乙卷•高考真题）已知函数"了）=匕+。卜（1+X）.

⑴当a=-L时，求曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线方程.

5.（2023・全国乙卷・高考真题）已知函数/（x）=11+a）n（l+x）.

⑴当a=-l时，求曲线y=〃x）在点（1J。））处的切线方程；

6.（2023•天津•高考真题）已知函数"x）='+；］n（x+l）.

⑴求曲线y=/（x）在x=2处的切线斜率；

7.（2022•天津,高考真题）已知a,6eR,函数/（x）=e*-asinx,g（x）=64

⑴求函数y=/（x）在（o,〃o））处的切线方程；

8.（2022•全国甲卷・高考真题）已知函数/（x）=V-尤,g（x）=Y+。，曲线y=/（元）在点（占,“占））处的切线

也是曲线y=g（尤）的切线.

⑴若%=-1,求a；

9.（2022•全国乙卷・高考真题）已知函数〃x）=ln（l+x）+依0

⑴当a=l时，求曲线y=〃x）在点（OJ（O））处的切线方程；

10.（2022•北京•高考真题）已知函数/（x）=e'ln（l+x）.

⑴求曲线y=/（x）在点（o,/（o））处的切线方程；

11.（2021•天津•高考真题）已知〃＞0,函数=-旄x.

（|）求曲线＞=/（、）在点（。"（0））处的切线方程：

12.（2021・北京•高考真题）已知函数

（I）若a=0,求曲线y=/（x）在点。，/⑴）处的切线方程；

13.（2021•全国乙卷・高考真题）已知函数/0）=》3-/+依+1.

（1）讨论/⑴的单调性；

（2）求曲线y=/⑺过坐标原点的切线与曲线y=“X）的公共点的坐标.

14.（2020•北京•高考真题）已知函数/（x）=12-

（回）求曲线y=/。）的斜率等于-2的切线方程；

15.（2020•全国•高考真题）设函数/。）=/+笈+*曲线＞=/（尤）在点«,/《））处的切线与y轴垂直.

（1）求b.

16.（2019,北京•高考真题）已知函数/（x）=/+x.

（回）求曲线y=/（x）的斜率为1的切线方程；

17.（2018•北京•高考真题）设函数〃%）=[加-（44+1）%+4°+3]靖.

（1）若曲线y=/（x）在点（1,/（1））处的切线与X轴平行，求。；

18.（2018,北京・高考真题）设函数。（尤）=[tzx?-（3a+l）x+3a+2]e”.

（回）若曲线y=/（x）在点（2"（2））处的切线斜率为0,求a；

19.（2018•全国•高考真题）已知函数〃x）=竺二口.

（1）求曲线产/'（X）在点（0,-1）处的切线方程；

20.（2018・天津,高考真题）已知函数f（x）=a*,g（x）=log“无，其中a>L

（I）求函数//（x）=/（x）-xlna的单调区间；

（||）若曲线y=〃x）在点（％,八％））处的切线与曲线y=g（x）在点（孙g（无?））处的切线平行，证明:

（川）证明：当时，存在直线/，使/是曲线y=〃x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线.

21.（2017・天津・高考真题）设a,力e7?,|a区1.已知函数/（尤）=/-6/-3a（a-4）尤+6,g（x）=e"（x）.

（0）求〃x）的单调区间;

（回）已知函数，=8。）和〉="的图象在公共点（xo,加）处有相同的切线，

（i）求证：/⑺在x=x°处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式g（x）v"在区间区-L%+1］上恒成立，求b的取值范围.

22.（2017•山东・高考真题）已知函数=依2,aeR.

（I）当a=2时,求曲线y=/（x）在点（3,〃3））处的切线方程；

23.（2017•北京•高考真题）已知函数/（%）=e"cosx—%.

（0）求曲线y=/a）在点©A。））处的切线方程；

24.（2016•北京•高考真题）设函数〃%）=%3+62+陵+。.

（回）求曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

25.（2016•北京•高考真题）设函数y（x）=xHT+6x,曲线y=/（尤）在点（2"（2））处的切线方程为

y=（6—1）%+4,

（1）求a,6的值；

26.（2016•全国・高考真题）已知函数/'（%）=（尤+l）lnx-a（尤-1）.

（I）当。=4时，求曲线y=/（x）在（1,7（1））处的切线方程；

27.（2015•重庆・高考真题）设函数=办（ae©

（1）若在龙=0处取得极值，确定”的值，并求此时曲线y=/（x）在点（1J。））处的切线方程；

28.（2015・全国•高考真题）已知函数/（尤）=^+ax+1,g（尤）=Tnx.

4

（1）当〃为何值时，九轴为曲线>=/（%）的切线；

29.（2015•天津•高考真题）已知函数/（x）=几%-％",兀£尺，其中〃£N*,〃>2.

（回）讨论）（九）的单调性；

（团）设曲线y=/（x）与x轴正半轴的交点为p,曲线在点P处的切线方程为y=g（无），求证：对于任意的正

实数x,都有/（元）4gQ）；

30.（2015•山东,高考真题）设函数"（案）=9已知曲线加〃{p,q}在点（L/⑴）处的

切线与直线—v二0平行.

（回）求〃的值；

1_i_y

31.（2015•北京•高考真题）已知函数f（x）=ln「.

（回）求曲线y=/（x）在点（。，/⑼）处的切线方程；

考点02具体函数的单调性

1.（2024•北京•高考真题）设函数〃”=尤+而（1+尤）（心0）,直线/是曲线y=/（x）在点（f,〃f））（f>0）处

的切线.

⑴当人=-1时，求/（x）的单调区间.

2.（2023•全国甲卷・高考真题）已知函数〃尤）=c0s”，x[0,5.

⑴当a=1时，讨论〃x）的单调性；

cinYI7T।

3.（2023•全国甲卷•高考真题）已知函数/（x）=ar———,xe0,-

cosxI2J

⑴当a=8时，讨论了（盼的单调性；

4.（2022・全国新II卷・高考真题）已知函数/（x）=xe「-e"

⑴当。=1时，讨论了（盼的单调性；

5.（2021,全国甲卷・高考真题）已知。>0且arl,函数/（x）=t（x>0）.

ax

（1）当4=2时，求“X）的单调区间；

6.（2020・全国•高考真题）已知函数/（x）=e*-a（x+2）.

（1）当。=1时，讨论"X）的单调性;

7.（2018•全国•高考真题）已知函数无-。（丁+X+1）.

（1）若。=3,求〃x）的单调区间；

考点03含参函数的单调性

1.（2024•全国甲卷•高考真题）已知函数〃x）=a（x-1）-lnx+1.

⑴求“X）的单调区间；

2.（2023・北京・高考真题）设函数，（无）=尤-人血",曲线y=/（x）在点处的切线方程为y=-x+L

⑴求a,b的值；

（2）设函数g（x）=f'（无），求g（无）的单调区间；

⑶求“幻的极值点个数.

3.（2023•全国新I卷•高考真题）已知函数/（x）=a（e*+a）-x.

⑴讨论了⑺的单调性；

A

4.（2022・浙江•高考真题）设函数/（尤）=『+lnx（x>0）.

LX

⑴求/"）的单调区间；

5.（2022・北京•高考真题）已知函数/0）=6*111（1+苫）.

⑴求曲线y=/a）在点（0"（。））处的切线方程；

⑵设g（x）=7'（x）,讨论函数g（x）在［0,+8）上的单调性；

6.（2022全国新II卷・高考真题）已知函数/0）=（尤-1）届一办2+6.

（1）讨论了（元）的单调性；

7.（2021•浙江・高考真题）设a,6为实数，且。>1,函数/（%）=优一法+/（尤eR）

（1）求函数“X）的单调区间；

8.（2021■全国甲卷•高考真题）设函数/（劝=42%2+以-31nx+1,其中a>0.

（1）讨论的单调性;

9.（2021・全国乙卷,高考真题）已知函数/（x）=x3-X2+办+1.

（1）讨论/（元）的单调性；

10.（2021•全国新I卷•高考真题）已知函数〃x）=x（l-Inx）.

（1）讨论/（x）的单调性;

11.（2020,全国•高考真题）已知函数（（x）=2lnx+l.

（1）若/（x）<2x+c,求c的取值范围；

（2）设a>0时，讨论函数g（x）=/⑴一7⑷的单调性.

x—a

12.（2020・全国•高考真题）已知函数/（x）=sin2xsin2x.

（1）讨论/（x）在区间（0,兀）的单调性；

13.（2018•天津・高考真题）已知函数=g（x）=logax,其中a>l.

（I）求函数为（%）=/（尤）-xlna的单调区间;

14.(2018•全国•高考真题)已知函数/'(无)=1-x+alnx.

尤

(1)讨论/Xx)的单调性；

15.(2017•全国•高考真题)已知函数/(力=茂2工+(0-2户-工

(1)讨论的单调性；

16.(2017•天津•高考真题)设a,6e7?,|a区1.已知函数/(x)=x，-6/-3a(a-4)x+6,g(x)=exf{x}.

(回)求的单调区间；

17.(2017•天津•高考真题)设aeZ,已知定义在R上的函数/(x)=2犬+3V-3/一6了+。在区间(1,2)内有

一个零点为,g(x)为/(*)的导函数.

(0)求g(x)的单调区间；

18.(2017•全国•高考真题)已知函数/(x)=lnx+ox2+(2a+l)x.

(1)讨论/(x)的单调性；

19.(2017•全国•高考真题)设函数〃x)=(l-xV.

(I)讨论函数〃x)的单调性；

20.(2016•山东•高考真题)f(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aeR.

(H)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间；

21.(2016・四川•高考真题)设函数危)=尔/-加，其中aEIR.

(I)讨论」力的单调性;

22.(2016•全国•高考真题)已知函数/(x)=(x-2)e*+a(x-l)2.

(H)讨论f(x)的单调性;

23.(2016•北京•高考真题)设函数/⑺=加^+笈，曲线V=/(元)在点(2,7(2))处的切线方程为

y=(e-l)x+4,

(1)求。，6的值；

(2)求"X)的单调区间.

2x—l

24.(2016•山东•高考真题)已知/1(x)=a(尤-In尤)+——,aeR.

(回)讨论/(元)的单调性；

25.(2016•四川•高考真题)设函数/(x)=ax2-a-lnx,g(x；=---二，其中aGR,e=2.718…为自然对数的底数.

xe

(1)讨论/(x)的单调性;

26.(2016・全国,高考真题)设函数/(x)=ln尤-x+1.

(0)讨论/(X)的单调性；

27.(2015,江苏■高考真题)已知函数f(X)=ab-R)-

(1)试讨论『」的单调性；

28.（2015•重庆•高考真题）设函数〃x）=失竺（aeR）

（1）若〃x）在龙=0处取得极值，确定。的值，并求此时曲线y=/（x）在点（1J。））处的切线方程;

（2）若在[3,内）上为减函数，求。的取值范围.

29.（2015•天津•高考真题）已知函数5（%）=砧-/，%£一，其中〃wN*,〃22.

（回）讨论〃%）的单调性;

30.（2015•四川•高考真题）已知函数f（x）=-2xlnx+x2—2ax+a2,其中a>0.

（团）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（X）的单调性；

31.（2015•四川•高考真题）已知函数/（X）=—2（%+Q）lnx+%2一2〃%-2。2+。，其中〃〉（）.

（1）设g。）是广⑺的导函数，讨论g（x）的单调性;

32.（2015•北京,高考真题）设函数〃x）=]-《nx,k>0.

（1）求的单调区间和极值；

考点04极值最值及其应用

1.（2024•全国新H卷•高考真题）已知函数/（无）=上一狈-凡

⑴当4=1时，求曲线y=/（x）在点。，/⑴）处的切线方程；

⑵若"X）有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

2.（2024•全国甲卷•高考真题）已知函数=-ax）ln（l+x）-x.

⑴当a=—2时，求“X）的极值；

（2）当x>0时,/（%）>0,求。的取值范围.

3.（2023・北京•高考真题）设函数2（幻=尤-尤3产+二曲线y=/（x）在点（1J（1））处的切线方程为y=-x+1.

⑴求a,b的值；

⑵设函数g（x）=f'（x）,求g（x）的单调区间；

⑶求〃幻的极值点个数.

4.（2023•全国乙卷•高考真题）已知函数/（x）=1+41n（l+x）.

⑴当a=-L时，求曲线尸/⑴在点。，/⑴）处的切线方程；

⑵是否存在a,b,使得曲线y=/（£|关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由.

⑶若〃x）在（0,+可存在极值，求a的取值范围.

5.（2023•全国新H卷•高考真题）（1）证明：当Ovxvl时，x-x2<sinx<x；

(2)已知函数"x)=cosax-ln(l-f)，若x=0是的极大值点，求〃的取值范围.

6.(2022•全国乙卷•高考真题)已知函数/(%)=依-工-(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求/(X)的最大值；

(2)若/(X)恰有一个零点，求a的取值范围.

7.(2022■全国新I卷•高考真题)已知函数/。)=^-办和g(x)=av-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线>=%其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

8.(2021•北京•高考真题)已知函数=7金.

(1)若a=0,求曲线y=/("在点(1,/。))处的切线方程；

(2)若〃何在》=-1处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.

9.(2021・天津•高考真题)已知a>0,函数/(x)=ax-xe,.

(I)求曲线y=/(无)在点(o,/(o))处的切线方程：

(II)证明/a)存在唯一的极值点

(川)若存在。，使得/(x)4a+8对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

10.(202(全国乙卷・高考真题)设函数〃x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=犷(％)的极值点.

(1)求〃；

(2)设函数g(x)=证明:g(x)<l.

11.(2020•北京•高考真题)已知函数/(x)=12-f.

(回)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；

(0)设曲线y=/(x)在点CJ⑺)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为SQ),求s。)的最小值.

12.(2019・全国•高考真题)已知函数/(x)=(x-l)lnx-x-1.证明：

(1)/(x)存在唯一的极值点；

(2)/。)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

13.(2019,江苏•高考真题)设函数/(x)=(x-a)(x-6)(x-c),a也cwR,/。)为/(x)的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若aM,b=c,且/(x)和/(无)的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求f⑺的极小值；

4

(3)若。=0,0<Zl,c=l,且/(x)的极大值为求证:近方.

14.（2018・北京•高考真题）设函数〃x）=[«%2-（4a+l）x+4a+3]/.

（1）若曲线y=〃x）在点（1,f（l））处的切线与x轴平行，求。；

（2）若“X）在X=2处取得极小值，求a的取值范围.

15.（2018•北京•高考真题）设函数y（x）=3"（3a+i）x+3a+2]e*.

（回）若曲线y=/（x）在点（2）（2））处的切线斜率为0,求a；

（回）若75）在x=l处取得极小值，求a的取值范围.

16.（2018,全国•高考真题）已知函数/（x）=（2+x+ax2）ln（l+x）-2x.

（1）若a=0,证明：当一l<x<0时，/（x）<0；当x>0时，/（x）>0；

（2）若元=0是〃x）的极大值点，求

17.（2018•全国・高考真题）已知函数/（x）=ae"-加:-1.

（1）设尤=2是AX）的极值点.求。，并求/（x）的单调区间；

（2）证明：当■时，/W>0.

e

18.（2017•山东,iWj考真题）已知函数/（尤）=§彳3—万依2,R.

（I）当a=2时,求曲线y=/（x）在点（3,〃3））处的切线方程；

（||）设函数g（尤）=/（力+（工-43％-5皿尤,讨论8（力的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

19.（2017•江苏•高考真题）已知函数£门）。3+62+乐+i（a>o,bwR）有极值，且导函数f，⑺的极值点是

f（x）的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：b2>3a;

7

（3）若f（x）,f（x）这两个函数的所有极值之和不小于不，求a的取值范围.

20.（2017,全国•高考真题）已知函数/（%）=%-1-々InX.

（1）若/⑶»。，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n,（1+；）（1+《）（1+士）〈加，求m的最小值.

21.（2017・山东•高考真题）已知函数/'（x）=V+2cosx,g（x）=e%（cosx-sinx+2x-2）,其中e=2.71828

是自然对数的底数.

（0）求曲线y=/（x）在点（匹/（到处的切线方程；

（0）令妆尤）=g（x）-疗■（x）（awR）,讨论网力的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

22.（2017•北京•高考真题）已知函数/（x）=e*cosx-x.

（回）求曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程;

JT

(回)求函数/(x)在区间［0,万］上的最大值和最小值.

23.(2016•山东•高考真题)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aeR.

(回)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;

(回)已知f(x)在x=l处取得极大值.求实数a的取值范围.

24.(2016•天津•高考真题)设函数/(%)=(x-l)3-ax-b,x©R,其中a,b团R.

(0)求f(x)的单调区间；

(回)若f(x)存在极值点Xo,且f(X1)=f(Xo),其中XiAXo,求证：Xi+2Xo=3;

(回)设a>0,函数g(x)=|f(x)I,求证：g(x)在区间［0,2］上的最大值不小于;.

4

25.(2016•全国•高考真题)⑴讨论函数〃无)=总%/的单调性，并证明当x>0时，(x-2)er+x+2>0;

⑵证明：当。40,1)时，函数g(x)="一"一"(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为欠。)，求函数欠。)的

X

值域.

26.(2015・重庆•高考真题)已知函数〃"=加+/("夫)在工=-；处取得极值.

⑴确定。的值；

(2)若g(x)="X)/,讨论g⑺的单调性.

27.(2015•重庆・高考真题)设函数=办(qeR)

(1)若在x=0处取得极值，确定。的值，并求此时曲线y=/(x)在点(1J。))处的切线方程；

(2)若在［3,+8)上为减函数，求。的取值范围.

28.(2015•山东•高考真题)设函数/(x)=ln(x+l)+a(尤2-尤)，其中aeR.

(0)讨论函数极值点的个数，并说明理由；

(回)若Vx>0,"x)20成立，求。的取值范围.

29.(2015,湖南•高考真题)已知。>0,函数/0)=*$也了0€［0,+(»)),记X“为了(X)的从小到大的第〃(〃eN*)

个极值点，证明：

(1)数列｛/(%)｝是等比数列

(2)若。27子二，则对一切weN*,恒成立.

y1e-1

30.(2015•安徽・高考真题)设函数/(x)=/一办+人

JTTT

(0)讨论函数/(sin无)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

(0)记/(无)=/-4x+%,求函数|/(sinx)-4(sinx)|在上的最大值D；

2

(0)在(回)中，取出=%=0,求Z=b-幺满足DW1时的最大值.

4

31.(2015•山东•高考真题)设函数f(.i)=:X-aj.r.x,二fi1二j已知曲线"而｛，4｝在点(L/⑴)处的

切线与直线2x-V=0平行.

(回)求。的值；

(回)是否存在自然数左，使得方程〃x)=g(x)在依，左+1)内存在唯一的根？如果存在，求出左；如果不存在，

请说明理由；

(回)设函数加(x)=，〃〃｛/(x),g(x)｝(相加｛。，4｝表示，0应中的较小值)，求机(x)的最大值.

32.(2015•全国局考真题)已知/(X)=lnx+a(l—x).

⑴讨论了⑺的单调性；

⑵当“X)有最大值，且最大值大于2a-2时，求。的取值范围.

考点05证明不等式等证明问题

1.(2024•全国甲卷・高考真题)已知函数〃x)=a(x—1)—lnx+1.

⑴求的单调区间；

(2)当a<2时，证明：当尤>1时，/(力<炉一恒成立.

2.(2024•全国新I卷•高考真题)已知函数/(x)=ln'一+ar+b(x-l)3

2-x

(1)若/=0,且/'。)20,求。的最小值；

(2)证明：曲线>=/(尤)是中心对称图形；

⑶若〃无)>-2当且仅当1<%<2,求力的取值范围.

3.(2023•天津・高考真题)已知函数〃x)=］：+jln(x+l).

⑴求曲线y=/(x)在x=2处的切线斜率；

(2)求证;当尤>0时，/(x)>l；

(3)证明：1<ln(n!)-^M+-1^lnn+zi<l.

4.(2022•全国新H卷•高考真题)已知函数/(x)=xe「一e”.

(1)当a=l时，讨论了⑺的单调性；

(2)当x>0时，/«<-1,求a的取值范围；

11I

(3)设〃cN*,证明：1+/++/)>ln(〃+1).

VI?+1V2?2+2yln2+n

5.(2021・全国乙卷高考真题)设函数/(%)=ln(a-%),已知x=0是函数y=4(力的极值点.

(1)求。；

Y+

(2)设函数g(x)=.二.、.证明:g(x)<l.

xj(x)

6.(2019,北京,高考真题)已知函数/"(X)=z》3—Y+x.

(0)求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程；

(E)当尤e［-2,4］时，求证：x-6<f(x)<x.

(回)设尸(x)="(x)-(x+a)|(awR),记尸(尤)在区间［-2,4］上的最大值为M(°),当M(a)最小时，求a

的值.

7.(2018•全国•高考真题)已知函数"x)=(2+x+ax2)in(l+x)-2x.

(1)若。=0,证明：当一1cx<0时，/(x)<0；当尤>0时，/(%)>0；

(2)若尤=0是“X)的极大值点，求-

8.(2018•全国•高考真题)已知函数〃力=弋口.

(1)求曲线产/>(X)在点(0,-1)处的切线方程；

(2)证明：当aNl时，/(x)+e>0.

9.(2018・全国•高考真题)已知函数/(无)=枇工-阮r-1.

(1)设x=2是〃”的极值点.求。，并求的单调区间；

(2)证明：当。2工时,f(x)>0.

e

10.(2017•全国•高考真题)已知函数/⑴=加一⑪一％1nx，且/⑴NO.

(1)求a；

(2)证明：存在唯一的极大值点办,且/<〃不)<2一2.

11.(2016,浙江•高考真题)设函数/(%)十二---,%£［0』］.证明：

1+x

(回)/W>l-x+x2；

33

(回)-<f(x)<-.

42

12.(2016・全国・高考真题)设函数，(x)=ln%-%+l.

(回)讨论了⑺的单调性；

(El)证明当xw(l,+8)时，1<-----<尤；

In尤

(团)设c>l,证明当xw(O,l)时，l+(c-l)x>c\

13.(2015・全国•高考真题)设函数/(x)=B-alnx.

(0)讨论〃尤)的导函数尸(%)的零点的个数;

2

(0)证明：当a>0时〃x)22a+aln)

14.(2015•湖北,高考真题)设函数/⑺，g(无)的定义域均为R,且了⑺是奇函数，g(x)是偶函数,

/(x)+g(x)=e\其中e为自然对数的底数.

⑴求Ax),g(x)的解析式，并证明：当x>0时,/(x)>0,g(x)>l；

(2)设。40,b>\,证明：当x>0时，ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(l-b).

15.(2015•福建•高考真题)已知函数/(x)=/〃(l+x),g(x)=kx,(kcR),

(0)证明：当尤>0时，/(x)<x；

(0)证明：当上<1时，存在%>0,使得对任意尤1(0,%),恒有/'(x)>g(x)；

(回)确定k的所以可能取值，使得存在r>0,对任意的"(0,r),恒有|/(x)-g(x)|<x2.

1_i_Y

16.(2015•北京•高考真题)已知函数〃力=1叫—.

1-x

(H)求曲线在点(。，/(。))处的切线方程;

(国)求证：当xe(O,l)时，〃尤)>2"+：］；

(0)设实数上使得+对xe(O,l)恒成立，求左的最大值.

考点06恒成立与能成立(有解)问题

1.(2024•天津,高考真题)设函数/(x)=xlnx.

⑴求图象上点(1，/。))处的切线方程；

⑵若在xe(0,+°°)时恒成立，求。的值；

⑶若莉,马«0,1),证明闫

2.(2024・全国甲卷•高考真题)已知函数=-ax)ln(l+x)-x.

⑴当a=—2时，求/(x)的极值；

(2)当xNO时，f(x)>0,求。的取值范围.

sinjv(7t

3.(2023•全国甲卷・高考真题)已知函数“尤)=办-1后,xe[0,5।.

⑴当4=1时，讨论“X)的单调性；

(2)若〃x)+sinx<0,求a的取值范围.

cinY(jrA

4.(2023•全国甲卷•高考真题)已知函数/(工)=以———,xe0,-

cosx\2J

⑴当a=8时，讨论了*)的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

5.(2022•全国新I卷・高考真题)已知函数/(x)=xe«-e1

⑴当a=l时，讨论"X)的单调性;

(2)当x>0时，,求a的取值范围；

111,,,、

(3)设〃eN*,证明：/,+./：—++/,>1r1("+1).

V1+1V22+2Vn+«

6.(2022•全国甲卷・高考真题)已知函数/(x)=C-]nx+x-a.

⑴若〃x)20,求a的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点外,三，则占尤2<L

7.(2021•天津•高考真题)已知a>0,函数=.

(I)求曲线y=/(%)在点(0,〃。))处的切线方程：

(II)证明/(X)存在唯一的极值点

(川)若存在a,使得〃x)Ma+人对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

8.(2020・山东•高考真题)已知函数/(x)=ae*T-Inx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=〃x)在点(1,/。))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若不等式/'(x)21恒成立，求a的取值范围.

9.(2020•全国•高考真题)已知函数/(尤)=1+依2一天.

(1)当4=1时，讨论/(X)的单调性；

(2)当贬。时，f(x)>^^+1,求。的取值范围.

10.(2019•全国•高考真题)已知函数/(x)=2sinx—xcosx-x,f(x)为/(x)的导数.

(1)证明：f(x)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若尴[0,兀]时，f(x)>ax,求。的取值范围.

x

11.(2017•天津•高考真题)设a,bGR,|。区1.已知函数/(%)=/一6/一3〃(〃一4)%+6,g(x)=ef(x).

(回)求了(幻的单调区间；

(回)已知函数丁=且。)和>="的图象在公共点(xo,y0)处有相同的切线,

(i)求证：，(x)在x=x0处的导数等于0；

(ii)若关于X的不等式g(x)Ve，在区间区-1,%+1]上恒成立，求b的取值范围.

12.(2017•全国•高考真题)设函数，(劝=(1-高

(I)讨论函数Ax)的单调性；

(II)当XN0时，f(x)<ax+l,求实数。的取值范围.

13.(2016,江苏•高考真题)已知函数/(x)=a*+匕*(。>0,6>0,。片1,6)1).

(1)设0=2,6=；.

①求方程〃x)=2的根；

②若对任意xeR,不等式/(2x)2，何•(无)-6恒成立，求实数m的最大值；

(2)若。函数g(x)=/(x)-2有且只有1个零点，求ab的值.

14.(2016•全国•高考真题)已知函数/'(x)=(x+l)lnx-a(尤-1).

(I)当。=4时，求曲线y=/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

(0)若当彳«1,-)时，/(x)>0,求。的取值范围.

15.(2016•四川,高考真题)设函数/(x)=ax2-a-lnx,g(x；=---L，其中aGR,e=2.718…为自然对数的底数.

xe

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当x>l时，g凶>0；

(3)如果/(x)>g(x)在区间(1,+oo)内恒成立，求实数a的取值范围.

16.(2015•四川,高考真题)已知函数/(x)=-2(尤+a)lnx+Y-2ax-2a2+a,其中a>0.

(1)设g(x)是F3的导函数,讨论g(x)的单调性;

(2)证明:存在"(0,1),使得/(尤)20在区间(1,+8)内恒成立，且f(x)=O在(1,”)内有唯一解.

17.(2015・山东・高考真题)设函数“*)=111(%+1)+。(必-工)，其中aeR.

(回)讨论函数极值点的个数，并说明理由；

(回)若Vx>0,/(x)20成立，求。的取值范围.

18.(2015・湖南・高考真题)函数/(x)=ae*cos考xe[0,+oo),记了,为户>)的从小到大的第”(力eN*)个极

值点.

(回)证明：数列"(％)｝是等比数列；

(回)若对一切“cN*,当恒成立，求。的取值范围.

19.(2015・湖南•高考真题)已知a>0,函数/(尤)ujsinx(xe[0,+oo)),记乙为〃刈的从小到大的第九(neN*)

个极值点，证明：

(1)数列｛/(%)｝是等比数列

（2）若。之工^彳，则对一切〃wN*,|/（x/恒成立.

20.（2015・福建•高考真题）已知函数/（》）=历（1+无），g（x）=kx,（keR）,

（0）证明：当x>0时，f（x）<x；

（0）证明：当4<1时，存在%>。,使得对任意xi（0,%）,恒有y（x）>g（x）；

（回）确定k的所以可能取值，使得存在f>0,对任意的尤e（。，r）,恒有|/（x）-g（刈</.

1y

21.（2015•北京•高考真题）已知函数/（x）=ln丁一.

（0）求曲线y=/（x）在点（。，/⑼）处的切线方程；

（0）求证：当xe（O,l）时，/（x）>2x+yj；

（回）设实数上使得/（对>左卜+：）对x«0，l）恒成立，求上的最大值.

考点07零点问题

1.（2022•全国