【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：3.6-简单的三角恒等变换-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十)简洁的三角恒等变换(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2021·福州模拟)已知cos,α∈(0,2π),则sin=()【解析】选A.角是的2倍,所以由于α∈(0,2π),所以∈(0,),所以sin=2.化简:=()A.sin2α B.tan2α C.sin2 D.tan2【解题提示】用二倍角公式化简,α是的二倍.【解析】选D.原式=故选D.3.(2021·长沙模拟)函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为()A.[-2,2] B.[-,]C.[-1,1] D.[-,]【解析】选B.f(x)=sinx-cosx+sinx=(sinx-cosx)=sin(x-).x∈R,所以x-∈R,所以f(x)∈[-,],故选B.4.(2021·哈尔滨模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则()A.y=f(x)在(0,)内单调递增,其图象关于直线x=对称B.y=f(x)在(0,)内单调递增,其图象关于直线x=对称C.y=f(x)在(0,)内单调递减,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在(0,)内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选D.由于f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x++)=cos2x,所以f(x)在(0,)内单调递减,且图象关于x=对称.【加固训练】(2022·郑州模拟)已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),x∈R,则f(x)()A.周期为π,且图象关于点(,0)对称B.最大值为2,且图象关于点(,0)对称C.周期为2π,且图象关于点(-,0)对称D.最大值为2,且图象关于x=对称【解析】选B.f(x)=sin(-x)-cos(x+)由于x∈R,所以x-∈R,所以-1≤sin(x-)≤1,则f(x)的最大值为2.由于ω=1,所以周期T==2π.当x-=kπ(k∈Z)时,f(x)图象关于某一点对称,所以当k=0时,求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称,故选B.5.(2021·临沂模拟)已知函数f(x)=sinx+2cos2,设,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.c<a<bC.b<a<c D.b<c<a【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.【解析】选B.f(x)=由于函数f(x)在[0,]上单调递增,所以,而c==2sin+=2sin+=f(0)<,所以c<a<b.【误区警示】解答本题易误选A,毁灭错误的缘由是不化简函数解析式,直接由自变量的大小推断a,b,c的大小.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=sin42x-cos42x的最小正周期是.【解析】y=sin42x-cos42x=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=-cos4x,所以最小正周期T=答案:7.(2021·泉州模拟)函数f(x)=3sinx+sinπ2+x的最大值是【解析】f(x)=3sinx+cosx=2sinx+所以f(x)max=2.答案:2【加固训练】(2021·咸阳模拟)函数y=4cos2+1,x∈[-π,π]的最小值是.【解析】y=由于x∈[-π,π],所以,所以ymin=3.答案:38.(2021·青岛模拟)设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=.则a,b,c按从小到大的挨次排列为.【解析】a=sin14°+cos14°=sin59°,b=sin16°+cos16°=sin61°,c==sin60°.由于59°<60°<61°,所以sin59°<sin60°<sin61°,所以a<c<b.答案:a<c<b三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2021·潍坊模拟)已知函数f(x)=cos2x+π12(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程.(2)求函数h(x)=f(x)+g(x)的值域.【解析】(1)由题知f(x)=12所以2x+π6=kπ(k∈Z),即x=12kπ-π12(2)由题知h(x)=f(x)+g(x)=12cos2x+=12cos=123=12sin2x+π所以h(x)的值域为[-1,0].10.已知函数f(x)=sinx2cosx2+cos2(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)求函数f(x)在π4【解析】(1)f(x)=sinx2cosx2+=12sinx+12=22sinx+π所以函数f(x)的最小正周期为2π.由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π得2kπ+π4≤x≤2kπ+5则函数f(x)的单调递减区间是2kπ+π4(2)由π4≤x≤3π2,得π2≤x+则当x+π4=3π2,即x=5【加固训练】1.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)的单调区间.(3)若x∈0,【解析】(1)f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos2x+所以最小正周期T=2π2=(2)由2kπ-π≤2x+π4≤2kπ,k∈得kπ-58π≤x≤kπ-π8,k所以函数f(x)的单调增区间为kπ-58由2kπ≤2x+π4≤2kπ+π,k∈得kπ-18π≤x≤kπ+38π,k所以函数f(x)的单调减区间为kπ-18(3)由于0≤x≤π2,所以π4≤2x+π4所以-1≤cos2x+π4所以-2≤f(x)≤1.所以当x=0时,f(x)有最大值为1,当x=38π时,f(x)有最小值为-22.已知函数f(x)=tanxtan2xtan2x-tanx+23sin(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若x∈π12【解题提示】(1)先化简,再求周期.(2)由化简后的解析式及x的范围求解.【解析】(1)f(x)=sinxcosx·sin2x=sinx·sin2xsin2xcosx-cos2xsinx+3-=sinx·sin2xsin(2x-x)-3=sin2x-3cos2x+3=2sin2x-π所以T=2π2=(2)由于x∈π12所以-π6≤2x-π3所以f(x)max=3,f(x)min=3-1.3.(2021·大连模拟)已知函数f(x)=cos2ωx-3sinωx·cosωx(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.(2)若A为锐角三角形ABC的内角,求f(A)的取值范围.【解析】(1)依题意,得f(x)=1+cos2ωx2-32=cos2ωx+π3由于T=2π2ω=π,所以所以f(x)=cos2x+π3由-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ,k∈-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ所以函数f(x)的单调递增区间为-2π3+kπ,-令2x+π3=π2+kπ,k所以x=π12+kπ2所以对称中心为π12+kπ(2)依题意,得0<A<π2,所以π3<2A+π3所以-1≤cos2A+π3所以-12≤cos2A+π所以f(A)的取值范围为-1

(20分钟40分)1.(5分)(2021·铜陵模拟)已知α为其次象限角,sinα+cosα=,则cos2α=()【解析】选A.由于sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=,所以2sinαcosα=-,即sin2α=-.又由于α为其次象限角且sinα+cosα=>0,所以2kπ+<α<2kπ+(k∈Z),所以4kπ+π<2α<4kπ+(k∈Z),所以2α为第三象限角,所以cos2α=【一题多解】本题还可用如下方法求解:sinα+cosα=两边平方,得1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.由于α为其次象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=由得所以cos2α=2cos2α-1=-.【加固训练】(2022·六安模拟)已知2sinθ=1+cosθ,则tan等于()A.2 B.C.或不存在 D.不存在【解析】选C.当1+cosθ=0时,tan不存在.当1+cosθ≠0时,2.(5分)(2022·上海高考)方程sinx+3cosx=1在区间0,2π上的全部解的和等于【解题提示】首先将左边函数化为Asin(ωx+φ)的形式,再依据三角函数的图象特点可求.【解析】令f(x)=sinx+3cosx=2sinx+所以sinx+π3=12,又x所以x+π3=5π6或2π解得x=π2或11π6答案:73.(5分)(2021·西安模拟)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.【解题提示】用挂念角公式求解,留意挂念角φ的正、余弦值.【解析】f(x)=sinx-2cosx=sin(x+φ),其中tanφ=-2,当x+φ=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos(-φ)=sinφ,又由于tanφ=-2,φ在第四象限,所以sinφ=-,即cosθ=-.答案:-4.(12分)(2021·淮北模拟)等差数列{αn}的前n项和Sn=π36n2,数列{βnβn=(7-2n)π①sin2α1+cos2β1-sinα1cosβ1=m;②sin2α2+cos2β2-sinα2cosβ2=m;③sin2α3+cos2β3-sinα3cosβ3=m;④sin2α4+cos2β4-sinα4cosβ4=m;⑤sin2α5+cos2β5-sinα5cosβ5=m;⑥sin2α6+cos2β6-sinα6cosβ6=m.(1)求数列{αn}的通项公式.(2)试从上述六个等式中选择一个,求实数m的值.(3)依据(2)的计算结果,将同学甲的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)当n=1时,α1=π36当n≥2时,αn=Sn-Sn-1=π36n2-π36(n-1)2=π18由于当n=1时,α1适合此式,所以数列{αn}的通项公式为αn=π18n-π(2)选择②,计算如下:β2=π12m=sin2α2+cos2β2-sinα2cosβ2=sin2π12+cos2π12-sinπ=1-12sinπ6=(3)推广为:sin2θ+cos2π6-θ-sinθcosπ6证明:sin2θ+cos2π6-θ-sinθ=sin2θ+cosπ6cosθ+sinπ6sinθ2-sinθcosπ=sin2θ+34cos2θ+14sin2θ+32cosθsinθ-32sinθcosθ-=34cos2θ+34sin2θ=5.(13分)(力气挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平常休闲闲逛,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OE⊥OF,如图所示.(1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺