2021年新课标版理数高考复习练习讲义：113 二项分布与正态分布

11.3二项分布与正态分布

探考情悟真题

【考情探究】

5年考情预测

考点内容解读

考题示例考向关联考点热度

独立事件概率

2019课标【，15,5分互斥事件

的求解

独立事件概率

2019课标11,18,12

互斥事件

分

的求解

1•条^牛概

了解条件概率和两个事

率、相互(1)利用期望进行决

件相互独立的概念,理解“课标二项分布的均值

独立事件20181,20,12策、

次独立重复试验的模型及分应用

及二项分

导数

二项分布，并能解决一些简

布★★

单的实际问题.2018课标in,8,5分二项分布★

(2)利用实际问题的直方正态分布、二项

课标概率的计算

图，了解正态分布曲线的特2017I,19,12分布

点及曲线所表示的意义分以及数学期望

的概念和性质

2016课标II,18,12离散型随机变量的

条件概率的计算

分均值

2.正态分

布相互独立事件的

2015课标1,4,5分

瞬

分析解读本节主要命题点:⑴相互独立事件的概率，条件概率;(2)二项分布的概念、特征和相关计算;(3)

正态分布的应用,一般以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解和相关公式的应用.本节在高考中一

般以选择题、解答题形式出现，难度在中等以下，分值约为5分或12分.主要考查学生的数据分析能力.

破考点练考向

【考点集训】

考点一条件概率、相互独立事件及二项分布

1.（2020届辽宁沈阳铁路实验中学10月月考,7）已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该

箱中取1个球（每球取到的机会均等）,取出后放回箱中,连续取三次.设事件A="第一次取到的球和第二次取到

的球颜色不相同"，事件B=”三次取到的球颜色都不相同”，则P（BA）=（）

或叼《D.1

答案B

2.（2019广东东莞模拟,3）假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p,且每位市民使用支付方式都相互独立，已

知X是其中10位市民使用移动支付的人数,且EX=6,则I）的值为（）

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8

答案C

3.（2020届河南百校联盟9月联合检测,15）《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目,节目以“赏中

华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨.每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”“攻擂资格争夺赛”和

“擂主争霸赛”，其中“擂主争踞赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主争霸赛”共

有九道抢答题，抢到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主,在《中国诗词大会》的

某一期节目中，若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是0.5,则抢答完七道题后

甲成为擂主的概率为.

a*128

考点二正态分布

1.（2018广西柳州高级中学、南宁第二中学第二次联考,3）甲、乙两类水果的质量（单位:kg）分别服从正态分布

N（u1,^）,N（u^2）＞其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是（）

/，.甲类水果的平均质量山=0.4kg

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量服从正态分布的参数。2=1.99

答案D

2.（2020届百校联盟T0P209月联考,15）若随机变量k服从正态分布\（9,16）,则？（-3<《£13）=.

参考数据:若CN（M,套）,则P（U-<5<&WU+<J）=0.6827,P（P-2（J<^P+2C）=0.9545,P（U-

3o<4<u+3o）=0.9973.

答案。，84

炼技法提能力

【方法集训】

方法1独立重复试验及二项分布问题的求解方法

（2020届四川内江威远中学第一次月考,7）设随机变量「B（2,p）,n阳4,p）,若乂自力）福则P（n期的

值为（）

0B.%C,竺0

27818181

答案A

方法2正态分布及其应用方法

1.（2020届四川成都外国语学校10月阶段性检测,18）苹果可按果径M（最大横切面直径，单位;™n）分为五个等

级”780时为1级,75SM〈80时为2级,70SM（75时为3级,65sM（70时为4级,M<65时为5级.不同果径的苹

果,按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10000个，果径M均在［60,85］内，从中

随机抽取2000个苹果进行统计分析,得到如图1所示的频率分布直方图，图2为抽取的样本中果径在80以上

的苹果的等级分布统计图.

⑴假设M服从正态分布其中u的近似值为果径的样本平均期(同一组数据用该区间的中点值代

替)，。J35",试估计采摘的10000个苹果中,果径M位于区间(59.85,77.7)的苹果个数；

⑵已知该果园2019年共收获果径在80以上的苹果800kg,且售价为特级果12元一级果10元/kg,二级

果9元/kg.设该果园售出这800kg苹果的收入为X,以频率估计概率，求X的数学期望.

附:若随机变量Z服从正态分布N(u,。2),则p(口-°<z<u+。)=0.6827,P(U-2c<Z<u+2a)=0.954

5,7354^5.95.

解析

(1)Vx=62,5X0.15+67.5X0.25+72.5X0.3+77.5X0.2+82.5X0.1=71.75,M=71,75,Q=7354^5.95.

:.P(59.85<M<77.7)=P(■-2o<M<u+a)

=1[P(U-2o<M<u+2o)+P(u-o<M<u+o)]

=0.8186.

故10000个苹果中,果径M在(59,85,77.7)中的苹果个数约8186个，

⑵由图2知,M180的苹果中,特级、一级、二级的概率分别为0.2,0.5,0.3,则X的分布列为

X960080007200

P0.20.50.3

；.E(X)=9600X0.2+8000X0.5+7200X0.3=8080.

2(2020届河南洛阳尖子生第一次联考,19)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的习俗.2019年春节前

夕、A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值.所得频率分布直方图如下:

0.030

0.025

0.020

0.015

O.OIO

1020304050质R指标值

⑴求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数五同一组中的数据用该组区间的中点值表示)：

⑵①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值z服从正态分布N(U,。2),利用该正态分布,求Z落在

(14.55,38.45)内的概率；

②将频率视为概率,若某人从该市某超市购买了1包这种品牌的速冻水饺,记这1包速冻水饺中这种质量指标值

位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.

附:计算得所抽直的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差。二g左右11.95,

若「N(u,则P(口和0.6827,P(u-2o<^<u+2o)=0.9545.

蟀析⑴所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数

x=5X0.1+15X0.2+25X0.3+35X0.25+45X0.15=26.5.(4分)

⑵①服从正态分布N(u,N)，且W=26.5,11.95,(6分)

AP(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.6827,

；・Z落在(14,55,38.45)内的概率是0.6827,(8分)

②根据题意得X~B(4,3,P(X=0)=C：C)4\：

P(X=1)君伊卡P(X=2)=Q针得

P(x=3)=Ci(1)4=；；P(X=4)=C：(步卷(10分)

'.X的分布列为

X01234

p1131

1648416

E（X）=4X/2.（12分）

【五年高考】

A组统一命题•课标卷题组

考点一条件概率、相互独立事件及二项分布

1.（2018课标川,8,5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P,各成员的支付方式相互独立.设X为

该群体的10位成员中使用移动支付的人数,1）X=2.4,P（X=4）〈P（X=6）,则p=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

答案B

2.（2019课标I,15,5分）甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结

束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取

注的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立则甲队以4：1获胜的概率是.

答案0.18

3.（2017课标II,13,5分）一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取T生有放回地抽取100次,X

表示抽到的二等品件数,则DX=.

答案1.96

考点二正态分布

（2017课标I,19,12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16

个零件，并测量其尺寸（单位:cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从

正态分布N（U,

⑴假设生产状态正常,记K表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（U-30,U+3O）之外的零件数,求P（X21）

及X的数学期望；

⑵一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在（U-3。，H+3。）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程

可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检壹.

（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

iii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9,9.$9,9,下

95；9696；9298；

/14

1010101010

G99

丁I丁；220“095

63245

经计算得耳举尸9.97,s=J国（々"船居哈16铲尸0.212,其中x为抽取的第i个零件的尺

寸,i=l,2,…，16.

用样本平均期作为M的估计值Z用样本标准差S作为。的估计值*，利用估计值判断是否需对当天的生产过

程进行检查.剔除（於3；/+3；）之外的数据，用剩下的懒估计u和。（精确到0.01）.

附:若随机变量2服从正态分布N（u,。）

则P（u-3o<Z<u+3o）=0.9974.

0.9974%0.9592,廊而石0.09.

解析（1）抽取的一个零件的尺寸在（U-3。，u+3。）之内的概率为0.9971,从而零件的尺寸在（U-

3o,U+3。)之夕卜的概率为0.0026,故)CB(16,0.0026).

因此P(X/l)=l-P(X=0)=l-0.9974,6«0.0408.

〉：的数学期望为£X=16X0.0026=0.0416.

⑵（i）如果生产状态正常,一个零件尺寸在（P-30,p+30）之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件

中，出现尺寸在（u-3。，u+3。）之勺也）零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就

有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控

生产过程的方法是合理的.

⑴）由*9.97,s%0.212,得u的估计值为、9.97,o的估计值为;=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的

尺寸在（QC,2+3展）之外,因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除。3；2+3；）之外的数据9,22,剩下数据的平均数为

-X（16X9.97-9.22）=10.02,

15

因此口的估计值为10.02.

LX?=16X0,2122+16X9.972^1591.134,

（=1

剔除。3；肃3；）之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为

拉（1591.134-9.22-15X10.022）七0.008,

因此。的估计值为廊福七0.09.

0思路分析⑴利用正态分布、二项分布的性质可求出P（XMI）及X的数学期望;⑵⑴先说明出现尺寸在

［口-3。，u+3。）之外的零件的概率,再说明监控生产过程方法的合理性;（ii）利用给出的数据可计算出区间

向-3；工+3：）,从而剔除03。,於3；）之外的数据,再利用剩余数据估计u和。.

。规律总结⑴正态分布;若变量X服从正态分布N（〜。）则P为样本的均值，工态曲线的对称轴为直线

户口：。为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性.

⑵二项分布:若变量X、B(ntp),则X的期望EX=np,方差DX=np(1-p).

B组自主命题•省(区、市)卷题组

考点一条件概率、相互独立事件及二项分布

1.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)-30,D(X)=20,则p.

答案I

2.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为，.假定甲、乙两位同学到

校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.

⑴用X表示甲同学上学期间的三天中7;30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望；

⑵设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多

2”，求事件V发生的概率.

解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知

识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.

⑴因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为:故从而

P(X=k)鸣针(T)k=0J2,3.

所以，随机变量K的分布列为

X0123

1£41

P279927

随机变量X的数学期望I：(X)=3XH

M

⑵设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y'B(3j),且M=｛X=3,Y=l]U)X=2,Y=0).

由题意知事件IX=3,Y=1｝与｛X=2,Y=0i互斥,且事件(X=3)与｛Y=11,事件(X=2｝与｛Y=0｝均相互独立,

从而由(1)知

P(M)=P({X=3,Y=l)U{X=2,Y=0))=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)XX

0思路分析(1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”，判断)CB(n,p),从而利用二项分布求出分布列

与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即{：二,或{;二言从而利用互斥与相互独立事件的概率计

算公式求解.

考点二正态分布

1.(2015湖北,4,5分)设X~N(u,,,Y~\(P力后),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是

I：)

A.P(YNu2)2P(YNu,)B.P(XWo2)WP(X£c>)

C.对任意正数t,P(X^t)^P(Y^t)D,对任意正数t.P(X^t)^P(Y^t)

答案C

2.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取T牛其长度误

爱落在区间(3,6)内的概率为()

।附;若随机变量，服从正态分布N(〜则P(n-o<g<q+o)=68.26%,P(——2o<g<y+2o)=95.44%.)

A.4.56%B.13.59%

C.27.18%D.31.74%

答案B

C组教师专用题组

考点一条件概率、相互独立事件及二项分布

1.（2015课标I,4,5分）投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率

为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为（）

4.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

答案A

2.（2014课标11,5,5分）某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良

的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

答案A

3.（2018北京,17,12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表;

电影类型第一类缸类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

⑴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率：

⑵从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

⑶假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“；门”表示第k类电影得到人们

喜欢，“目尸0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=l,2,3,4,5,6）.写出方差f）Ci,DC2,DCDCDU,DG

的大小美系.

解析⑴由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+8004-510=2000,第四类电影中获得好评的电影部

数是200X0.25=50.故所求概率是氤=0.025.

⑵设事件八为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，

事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.

故所求概率为P6心丽)=P(Afi)tPUB)

=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).

由题意知:P(A)估计为0.25,P⑻估计为0.2.

故所求概率估计为0.25X0.8+0.75X0.2=0.35.

⑶Dg>D2=Dg5>"3〉"6.

<(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红

灯的概率分别为

⑴记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望：

⑵若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到I个红灯的概率.

解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础

知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

⑴随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(x=o)=(13)x(i.l)x(i.l)4

p(x=l)=lx(1-i)X(l-l)+(i-l)xix

234234k2/k3/424

p(x=2)=(1.l)xlxWx(i.l)xWxlx(i.l)=l,

P(X=3)2x!x—.

23424

所以，随机变量X的分布列为

0123

p11111

424424

随机变量X的数学期望l-(X)=0X^+1X生2X%3X9S

42442412

⑵设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,2表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为

P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=Z=0)

=P(Y=0)P(Z=l)+P(Y=1)P(2=0)

42424448

所以,这2辆车共遇到【个红灯的概率为9

。技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,

只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.

5.(2016课标II,18,12分)某睑种的基本保费为a(单位:元)，继续购买该睑种的投俣人称为续保人，续保人本年

度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数01234》5

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数01234

概率0.300.150.200.200.100.05

⑴求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

⑵若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率；

⑶求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

解析(D设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费;则事件A发生当且仅当一年内出险次数大

于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)

⑵设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大

于3,故P（B）=0.1+0.05=0.15.

又P（AB）=P（M故P⑹A）嗡喘然界.

因此所求概率为不（7分）

⑶记续保人本年度的保费为X元，则X的分布列为

X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

P0.300.150.200.200.100.05

EX=0.85aX0.30+aX0.15+1.25aX0.20+1.5aX0.20+1.75aX0.10+2aX0.05=1.238

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为L23.（12分）

。思路分析⑴将本年度保费高于基本保费a对应的所有事件的概率相加即可；

⑵利用条件概率公式求解；

⑶求出续保人本年度保费的期望与基本保费的比值即可.

6.（2016北京,16,13分）A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分

学生一周的锻炼时间,瞬如下表（单位:小时）：

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

⑴试估计C班的学生人数；

⑵从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人.A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻

炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;

⑶再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8,2式单位:小时).这3个新数

据与表格中的雌构成的新样本的平均数记为5,表格中数据的平均数记为八,试判断〃和巧的大小,(结

论不要求证明)

解析⑴由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为

100哈40.

⑵设事件A,为“甲是现有样本中A班的第i个人"，i=l,2,…,5,

事件C为“乙是现有样本中C班的第j个人”，尸1,2,…,8.

由题意可知,P(AJ=,i=l,2,…,5;P(CJ)4j=l,2,…,8.

P(A1Cj)=P(Ai)P(Cj)=1xl=^,i=l,2,…,5,j=l,2,…,8.

设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长由题意

ffl,E=AiC.UAIC2UA2GUA2c2UA2c3UACUA,C2UACUA.C.UAGUAGUAsC.U^UA^UAC.

因此

P(E)=P(AC)+P(AQ)+P(A£)+P(AG)+P(A2c3)+P+P(M2)+P(A3c3)+P(AC)+P(AG)+P(AQ)+P&G)+P(A5Q)

+P(A5c3)+P(AsG)=15X看.

⑶uKu。.

。思路分析⑴利用分层抽样的特征求出C班的学生人数;⑵先找出甲、乙所有可能的搭配方式，再找出符合

条件的搭配方式,其实质是古典概型;⑶将从A,B,C三个班中抽取的样本数据分别与该班的平均数比较,进而作

判断.

施时本题考查抽样方法，互斥事件、相互独立事件的概率、平均数.属中档题.

(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活

动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分;如果只有一人猜对，则“星队”得1分;如果两人都没猜对，则“星队”

得0分.已知甲每轮猜对的概率是a乙每轮猜对的概率是:;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互

43

不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

11)“星队”至少猜对3个成语的概率；

⑵“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.

解析(D记事件A;“甲第一轮猜对”，记事件B;“乙第一轮猜对”，记事件C:“甲第二轮猜对：记事件

D：“乙第二轮猜对”，记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意,kABCD」BCD+A万CD+ABeD+ABC瓦

由事件的独立性与互斥性，得

P(E)=P(ABCD)+P(彳BCD)十P(A万CD)+P(AB^D)十P(ABC万)

P(A)P(B)P(C)P(D)+P®P(B)P(C)P(D)+F(A)P(B)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)好(A)P(B)P(C)・P(D)

zZx-X-X-+2X(，ix-x-x-+-x-x-x-)

4343\43434343/

_2

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为:.

⑵由题意.随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

P(X=o)=lx』x』xLJ-,

4343144

P(X=l)=2X(-x-x-x-+-x-x-x9』二，

\43434343/14472

P(x=2)=^x-x-x-4xixix-4-x-x-xi+lx-xix^-,

4343434343434343144

P(X=3)=^x-xixMxix-x^=^-=—,

4343434314412

P(X=4)=2X(2X|X2XUB|1X1)=^4,

\43434X3X43/14412

P的6片卷冷乂等.

可得随机变量X的分布列为

X012346

1525151

nP

1447214412124

所以数学期望EX=0X-^4-1XA+2X^+3X±+4X^6X^.

出版魅题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，确定随机变量可能的取值是解

题的关键.属于中档题.

8.（2015湖北,20,12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A.B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用

设备1小时，获利1000元;生产1吨R产品需鲜牛奶L5吨,使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产

品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时,假定每天可获取的鲜

牛奶数量W（单位:吨）是一个随机变量，其分布列为

M121518

P0.30.50.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大,因此每天的最大获利Z（单位:元）是一个随机变量.

⑴求Z的分布列和均值；

⑵若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有I天的最大获利超过10300元的概率.

2x+1.5y<W,

（2x-y>0,

x>0,y>0.

①

目标函数为z=l000x+l2Q0y.

诡茄翔h；oU(O.OjCfljfi)12；-S脚⑼12

miK2M3

当*=12时，①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为

A(0,0),B(2.4,4,8),C(6,0).

将OOOx+1200y变形为y-3+高，

当x=2.4,尸4.8时,直线1:尸-3+品在¥轴上的截距最大,最大获利及22二2.4><1000+4.8X1200=8160.

当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为

A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).

将z=lOOOx+1200y变形为尸-x.,

当x=3,y=6时,直线1:丫=-也:总在y轴上的截距最大，

最大获利Z=zw3Xl000+6X1200=10200.

当W-18时,①表示的平面区域如图3,

四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D⑼0).

将z=lOOOx+1200y变形为丫=~^啖，

O1/UU

当产6,y=4时,直线1:产一3十忘在y轴上的截距最大，

最大获利Z二人尸6XI000+4X1200=10800.

故最大获利Z的分布列为

Z81601020010800

P0.30.50.2

因此,E(Z)=8160X0.3+10200X0.5+10800X0,2=9708.

⑵由⑴知，一天最大获利超过10000元的概率

P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,

由二项分布知.3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为卜(卜0.7);1-0,3,-0.973.

9.（2014大纲全国,20,12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、

(M,各人是否需使用设备相互独立.

⑴求同一工作日至少3人需使用设备的概率：

⑵X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.

蟀析记A,表示事件;同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,

H表示事件:甲需使用设备，

C表示事件:丁需使用设备，

D表示事件;同一工作日至少3人需使用设备，

⑴口二人】•B•C+Aj•B+A2•5,C,

P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A,)=C|X0.5*i=0,l,2,(3分)

所以P(D)=P(Ai•B•C+A2•B+Az-B-C)

=P(A>•B・C)+P(A2・B)+P(A2•后・C)

=F(AI)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P©P(0

=0.31.(6分)

⑵X的可能取值为0,1,2,3,4,则

P(X=0)=P(5・Ao•C)=P®)P(Ao)P(C)

=(1-0.6)X0.5ZX(1-0.4)=0.06,

P(X=1)=P(B•酊•C+B•Ao•C+B•A.•C)

=P(B)P(Ao)P(C)+P®P(Ao)P(C)+P(B)P(Ai)P(C)

=0.6X0.52X(1-0.4)+(1-0.6)X0.52X0.4+(1-0.6)X2X0.52X(1-0.4)=0.25,

2

P(X=4)=P(A2・B・C)=P(A2)P(B)P(C)=O.5X0.6X0.4=0.06,

P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,

P(X=2)=1-P(X=O)-P(X=l)-P(X=3)-P(X=4)

=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,（10分）

数学期望EX=0XP(X=0)+1XP(X=l)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4XP(X=4)=0.25+2X0.38+3X0.25+4X0.06=2.(12

分)

10.(2013课标I,19,12分)一批产品需要进行质量检睑检验方案是冼从这批产品中任取1件俯佥睑这4件

产品中优质品的件数记为n,如果n3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优废品,则这批产品通过检验;如

果展4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验:其他情况下,这批产品都不能通过

检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为;，且各件产品是不是优质品相互独立.

⑴求这批产品通过检验的概率；

⑵已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为

)：(单位:元)，求X的分布列及数学期望.

解析⑴设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件如第一次取出的1件产品全是优质品为事件M

第二次取出的4件产品都是优质品为事件比,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事

件A,依题意有A=(AiBi)U件物)，且AB与件2互斥，所以P(A)=P(A,B1)+P(W=P(Ai)P(B,|A,)+P(As)P(扬|件

z±x±+±xi=-.

161616264

⑵X可能的取值为400,500,800,并且

P(x=400)=l-±-^s

P(X=500)二，

16

P(X=800)4

4

所以X的分布列为

X400500800

1111

P

16164

EX=400义去5。°><力8。。乂表5。6.25,

。思路分析（D设第一次取出的1件产品中恰有3件优质品为事件Ai,第一次取出的4件产品全是优质品为事

件必第二次取出的1件全是优质品为事件B..第二次取出的I件是优质品为事件【以这批产品通过检验为事件

4依题意有A=（A|B|）U（AR）且AB与AB：互斥，进而求解.

⑵X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.

考点二正态分布

（2014课标I,1&12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结

果得如下频率分布直方图；

⑴求这500件产品质量指标值的样本平均数讶口样本方差$2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

⑵由直方图可以认为，这种产品的质量指乐值Z服从正态分布N（u,其中U近似为样本平均数元。，近

似为样本方差一.

⑴利用该正态分布,求PU87.8<Z<212.2）;

iii）某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产

品件数.利用⑴的结果，求EX.

时：、国七12.2.

若Z“N（P,。2）,则P（p-o〈Z<l*+<J）=0,6826,P（u-2a<Z<口+2。）=0.9544.

解析⑴抽取产品的质量指标值的样本平均数百口样本方差s：分别为

7=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+230X0.02=200,

S2=(-30)2X0.02+(-20)2X0.09+(-10)2X0.22+0X0.33+102X0.24+202X0.08+302X0.02=150.

⑵⑴由⑴知,Z'N(200,150),

从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2a<200+12.2)=0.6826.

Hi)由(i)知,T牛产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,

依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100X0.6826=68.26.

。思路分析⑴根据直方图求得样本平均舞和样本方差一；

⑵(i)由⑴知Z'N(200,150),从而得出概率.

(ii)依题意知X~B(100,0.6826),从而求得EX.

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分，共35分)

1.(2020届吉林延边二中高三开学考试,10)甲、乙两人从1.2,3,•••,15这15个数中,依次任取一个数(不放回),

则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是()

A/B.三C/D.色

21S1415

答案C

2.(2020届吉林延边二中9月月考,7)某班有50名学生，一次数学考试的成绩€服从正态分布N(105,10,已

知P(954&<105)=0.32,估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()

L10B.9C.8D.7

答案B

3.（2020届重庆一中摸底考试,8）规定投掷飞镖3次为一?仑3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机

模拟试验的方法估计某人投掷飞镖的情况:先由计算器产生随机数0或1,用0表示该次投镖未在8环以上，用I

表示该次投镖在8环以上,再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果.例如：“1讥”代表第一次投镖在8环

以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投瞟在8环以上,该结果代表这一轮投镖为优秀，“100”代表第一次投

镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上,该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟试验产生了

如下10组随机数，据此估计,该选手投掷飞镖两轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率是（）

101111011101010100100011111001

AgB-C-D-

'25"25125"25

答案B

4.（2020届山东烟台第一中学第一次联考,4）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向

购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为;,:，目三家企业的购买结果相互之间没有影

响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是（）

L-B.-C.-D.-

24242424

答案C

5.（2019福建宁德二模,6）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布

N（105,。2）（。）0）,试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数联，则此次数学

考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）

A.150B.200C.300D.400

答案C

6.（2019河南郑州二模,7）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阻影部分（曲线C为正态分布

义-2,4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

1附;X~N(。3则p(H—。＜XWI＞+0)=0.6827,P(P-2。＜XW”2。)=0.9545)

A.906B.2718C.340D.3413

答案C

7.（2018山东济南外国语学校12月月考,9"石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，

起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游

戏规则是:出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表

“剪刀”，五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜"布"而"布”又胜“石头”.若所出的拳

相同，则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛

至第四局小军胜出的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

Z7278181

答案B

二、填空题（每小题5分，共10分）

8.（2020届云南名校高考适应性月考,M）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队赢得四局胜利时,

该队获胜,决赛结束）,根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8,且各局比赛结果相互独立,则甲队以4：1

获胜的概率是.

如玄1024

°3125

9.（2020届湖北宜昌部分示范高中教学协作体9月月考,16）在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、

D,如图连接在一起,假定在2019