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非周期函数的傅里叶级数非周期函数的傅里叶级数第七节中所讨论的函数都是定义在(－∞,+∞)内的周期函数，对于这种函数只要它在一个区间内满足收敛定理的条件，就能将它展开成傅里叶级数.但在波动和热传导问题中，常要将定义在区间［a,b］上的满足收敛定理条件的非周期函数f(x)展开成傅里叶级数.第七节已介绍了如何将周期函数展开成傅里叶级数，所以要把非周期函数展开，就要对非周期函数进行改造，将非周期函数转化为周期函数，这就是延拓的方法.一、定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数设f(x)是一个定义在［－l,l］上且满足收敛定理条件的函数,下面来讨论它的傅里叶级数展开的问题.事实上，可在［-l,l)或(－l,l］外补充函数f(x)的定义，使它延拓成周期为2l的周期函数F(x).这种拓广函数定义域的过程称为周期延拓.于是，将F(x)展开成傅里叶级数一、定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数一、定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数【例53】一、定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数一、定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数图11-2一、定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数【例54】一、定义在区间［－l,l］上的函数展开成傅里叶级数二、定义在区间［0,l］上的函数展开成傅里叶级数设f(x)是一个定义在［0,l］上且满足收敛定理条件的函数,那么如何将f(x)展开成傅里叶级数呢？事实上，仍可用前面介绍的延拓法，即先在开区间(-l，0)内补充函数f(x)的定义，得到定义在(－l,l］上的函数，再将其延拓为以2l为周期的函数，就可求其傅里叶级数了.在(-l,0)内如何补充定义没有什么限制，但若补充后成为(-l,l)上的奇函数或偶函数，则计算傅里叶级数可以简便一些.因此，下面来讨论展开函数为正弦级数或余弦级数的方法.二、定义在区间［0,l］上的函数展开成傅里叶级数奇延拓——函数展开成正弦级数1.补充f(x)的定义使它在(-l,l)上成为奇函数时，若f(0)≠0，规定F(0)=0.注二、定义在区间［0,l］上的函数展开成傅里叶级数二、定义在区间［0,l］上的函数展开成傅里叶级数偶延拓——函数展开成余弦级数2.三、定义在区间［a,b］上的函数展开成傅里叶级数三、定义在区间［a,b］上的函数展开成傅里叶级数【例57】将函数fx=10－x(5<x<15)展开成傅里叶级数.解令t=x－10(5<x<15),则f(x)=f(t+10)=－t=F(t)(－5<t<5),

补充定义F(－5)=5,然后将F(t)作周期延拓(T=10),拓广后的函数满足收敛定理的条件,且展开式在(－5,5)内收敛

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