2021新高考二轮复习·数学第二编 专题五 规范答题系列四

规范答题系列四

立体几何类解答题

例

（2020•新高考卷I）（12分）如图，四棱锥尸-ABCO的底面为正方形,

底面4BCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.

⑴证明：LL平面P0C;

（2）已知尸。=AZ）=1,。为/上的点，求与平面。。所成角的正弦值的

最大值.

解题思路（1）先证4。〃平面尸8C,从而得到4。〃/,再由AO_LOC,AD1

PD,得到Z±DC,ILPD,结合线面垂直的判定定理，得到让平面PDC；（2）建

立空间直角坐标系，得到P8的坐标，设。（机，0,1）,求出平面QCO的一个法向

量〃，写出与平面QC。所成角的正弦值关于m的表达式，结合基本不等式求

解.

解⑴证明：在正方形A8CO中，ADHBC,

因为AOT平面PBC,BCu平面PBC,

所以A。〃平面PBC,（1分）

又因为ADu平面以。，平面%0n平面PBC=/,

所以A。〃/.（2分）

因为在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是正方形，所以AO_LOC,所以LLOC,

又PO_L平面ABCO,所以AO_LPO,所以/_LPD（4分）

因为。cnpo=。，所以/j_平面POC(5分)

⑵如图，建立空间直角坐标系。9z,

因为尸0=43=1,则有。(()，0,0),C(0,1,0),因为0,0),因0,0,1),

8(1,1,0),

设。(加,0,1),则有少C=(0,1,0),DQ=(m,0,1),P5=(l,1,-1).(6

分)

设平面QC。的法向量为〃=(x,y,z),

[DCH=0,

y=os

则即

mx+z=0,

^DQ,zi=0,

令工=1,贝ljz=-m,

所以平面QCO的一个法向量为〃=(1,0,-〃z),(8分)

nPB1+0+w

则cos<n,PB>2

—►y[3Xyjm+1

\n\\PB\

根据直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平

面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

|1+tn\正义+2m+nf

</i,PB〉|=

V3X^'m2+13*Vm2+1

《坐义勺1+1二半,

当且仅当"2=1时取等号，（11分）

所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为坐.（12分）

踩点得分

1.由线面平行的判定定理证明AO〃平面P8C给1分.

2.由线面平行的性质定理证明AO〃/给1分.

3.由直线与平面垂直证明直线与直线垂直给2分.

4.由线面垂直的判定定理证明/JL平面POC给1分.

5.由底面AU8为矩形，/7），底面4，。力，建立空间直角坐标系，并写出

相关点及向量的坐标给1分.

6.求平面QCD的一个法向量给2分.

7.求直线与平面所成角的正弦值的最大值，给3分.

8.作答给出结论给1分.

答题启示

1.写全得分条件，证明线面平行时，一定要说明平面内的直线和平面外的直

线.

2.写明得分关键，利用法向量求解空间角时，要构建恰当的空间直角坐标系,

准确求解相关点的坐标，赋值法求出平面的法向量，利用公式求出直线的方向向

量与平面的法向量夹角的余弦值或两平面法向量的夹角，从而求出要求的线面角

或二面角的三角函数值.其中二面角要根据几何体的结构特征判断其取值范围.

［跟踪训练1

（12分）如图所示,在几何体ABCDE中，△入水:是等边三角形,AE1平面ABC,

CDIIAE,ELCD=2AE=2AC.

D

⑴试在线段B。上确定点”的位置，使平面BCD并证明；

⑵求二面角E-BC-D的余弦值.

解（1）当点M为的中点时，平面8CD（1分）

证明如下：取8c的中点F,连接MF,

：.MFIICD且MF=gcD.

又AE〃CD,AE=^CD,

/.M/7//AE且M/uAE,

四边形AEMF为平行四边形，

'EMIIAF.Q分）

又AE_L平面ABC,CDIIAE,8J__平面ABC,

又COu平面BCD,平面3co_L平面ABC,（3分）

・「△ABC是等边三角形，「.A尸18C,

又平面ABCA平面BCD=8C,「.Abi平面BCD,（5分）

」.EMI平面8CD（6分）

⑵由⑴知，M,FB,尸M两两互相垂直，以尸为原点，FA,FB,尸M所在的

直线分别为工轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设4E=AC=2,贝ljCD=4,

.,.C(0,-1,0),B(0,1,0),E巾,0,2),

・•.CE=(®1,2),BE=(6-1,2).(7分)

设平面E8C的法向量为界=(x,y,z),

«CE=0,小工+>+2z=0,

则，即1.解得y=0,

—►yj3x-y+2z=0,

n-BE=0,

32

令

则

X=z=--=仇

2_27,(9分)

由(1)知，平面8CO的一个法向量为次二(1,0,0