【名师一号】2022届高三数学一轮总复习基础练习：第六章-不等式、推理与证明6-5-

第五节合情推理与演绎推理时间：45分钟分值：100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是()A．① B．②C．③ D．①和②解析由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.答案B2．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则PB．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析由A可知其为椭圆的定义；B由a1＝1，an＝3n－1求出S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn的表达式，属于归纳推理；C由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πab，是类比推理；D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，也属于类比推理，故选B.答案B3．观看下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析方法一：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最终一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.方法二：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，都不是4，故只有3n－2＝4，故选C.答案C4．观看下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为()A. B.C. D.解析表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应当是阴影矩形．答案A5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四周体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,64) D.eq\f(1,27)解析正四周体的内切球与外接球的半径之比为13，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).答案D6．(2021·青岛模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是()A．25 B．250C．55 D．133解析第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，可知操作后得到的数以3为周期重复消灭，而2011＝3×670＋1，所以第2011次操作后得到的数等于第1次操作后得到的数，即为133.答案D二、填空题7．观看下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第五个等式为__________．解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开头的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．观看下列图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．解析第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝eq\f(71＋7,2)＝28，即第6个图中有28个小正方形．答案289．若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}有________________．解析设{bn}的首项为b1，公比为q，则beq\o\al(m－n,p)·beq\o\al(n－p,m)·beq\o\al(p－m,n)＝(b1qp－1)m－n·(b1qm－1)n－p·(b1qn－1)p－m＝beq\o\al(0,1)·q0＝1.答案beq\o\al(m－n,p)·beq\o\al(n－p,m)·beq\o\al(p－m,n)＝1三、解答题10．平面中的三角形和空间中的四周体有很多相类似的性质，例如在三角形中，(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝eq\f(1,2)×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的eq\f(1,2)；…请类比上述性质，写出空间中四周体的相关结论．解由三角形的性质，可类比得空间四周体的相关性质为：(1)四周体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四周体的体积V＝eq\f(1,3)×底面积×高；(3)四周体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的eq\f(1,4).11．观看下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…，问：(1)此表第n行的最终一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2013是第几行的第几个数？解(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最终一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)…＋(2n－1)＝eq\f(2n－1＋2n－1·2n－1,2)＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2013<2048，∴2013在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2013－1024＋1＝990，知2013是第11行的第990个数．eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1．设非空集合M同时满足下列两个条件：①M⊆{1,2,3，…，n－1}；②若a∈M，则n－a∈M(n≥2，n∈N*)，则下列结论正确的是()A．若n为偶数，则集合M的个数为2eq\f(n,2)个B．若n为偶数，则集合M的个数为2eq\f(n,2)－1个C．若n为奇数，则集合M的个数为2eq\f(n－1,2)个D．若n为奇数，则集合M的个数为2eq\f(n＋1,2)个解析当n＝2时，M⊆{1}，且满足1∈M,2－1∈M，故集合M的个数为1个；当n＝3时，M⊆{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M，故集合M的个数为1个；当n＝4时，M⊆{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M，故集合M的个数为3个，故可排解A，C，D，选B.答案B2．观看下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数m3按上述规律开放后，发觉等式右边含有“2013”这个数，则m＝________.解析某数m3按上述规律开放后，等式右边为m个连续奇数的和，观看可知每行的最终一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，…，所以第m行的最终一个数为m2＋(m－1)．由于当m＝44时，m2＋(m－1)＝1979，当m＝45时，m2＋(m－1)＝2069，所以要使等式右边含有“2013”这个数，则m＝45.答案453．(2022·福建卷)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种状况：(1)当①成立时，则a≠2，b≠2，c＝0，此种状况不成立；(2)当②成立时，则a＝2，b＝2，c＝0，此种状况不成立；(3)当③成立时，则a＝2，b≠2，c≠0，即a＝2，b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×答案2014．设函数fn(θ)＝sinnθ＋(－1)ncosnθ，0≤θ≤eq\f(π,4)，其中n为正整数．(1)推断函数f1(θ)，f3(θ)的单调性，并就f1(θ)的情形证明你的结论；(2)证明：2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)(cos2θ－sin2θ解(1)f1(θ)，f3(θ)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上均为单调递增函数．对于函数f1(θ)＝sinθ－cosθ，设θ1<θ2，θ1，θ2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则f1(θ1)－f1(θ2)＝(sinθ1－sinθ2)＋(cosθ2－cosθ1)，可得sinθ1<sinθ2，cosθ2<cosθ1，∴f1(θ1)<f1(θ2)，函数f1(θ)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增．(