四川省攀枝花市2024届高三上学期1月第二次统一考试理科数学试题

四川省攀枝花市2024届高三上学期1月第二次统一考试理科数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z(1+2i)A．2+i5 B．−2−i5 C．1+2i52．已知集合A={1，a2}，A．{−2，−1C．{−1，03．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔(FlorenceNightingale)设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（）A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4．已知命题“∃x0∈R，使得曲线f(xA．a≤−3或a≥3 B．a<−3或a>3C．−3<a<3 D．−3≤a≤35．若a=(A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．c>b>a6．执行如图所示的程序框图，若输入的k=4，则输出的S是（）A．7 B．13 C．15 D．317．若角θ的终边经过点(−1，2A．25 B．−25 C．68．现安排编号分别为1，2，3，4的四位社区志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（）A．12 B．18 C．24 D．369．函数f(x)=Asin(A．y=sin(2x−πC．y=sin2x 10．正方体ABCD−A1B1CA．DB．C1G∥C．直线C1G与直线AED．平面AEF截正方体所得的截面面积为911．已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2)，若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=−3对称，且对∀A．1 B．2 C．3 D．412．若关于x的方程x(aex+x)=A．(−∞，1eC．(−∞，e−1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．以茎叶图记录了甲、乙两组学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），则甲、乙两组数据的中位数之和为．14．(1x−215．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+b216．已知正四棱锥P−ABCD的体积为6，高为3，则该正四棱锥的一个侧面所在的平面截其外接球所得截面的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分．17．已知数列{an}（1）证明：{1（2）求数列{1an+n}的前18．情怀激荡，火热出游——2023年中秋国庆“双节”联动，旅游景区人头攒动，文化和旅游市场恢复势头强劲，行业信心持续有力提振．假期8天中，某景区一纪念品超市随机调查了200名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表：消费金额（元）[0[30[60[90[120[150人数203040504020参考公式：K2=n临界值表：P(0.010.0050.001k6.6357.87910.828（1）估计假期8天中游客到该超市购买纪念品金额的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关．

不少于120元少于120元总计年龄不小于50岁80年龄小于50岁36总计（3）从上述“到该超市购买纪念品不少于120元”的顾客样本中，随机抽取2人进行购物原因调查，设其中“年龄不小于50岁”的顾客人数为X，求X的分布列和期望．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，四边形CDEF是矩形，且平面CDEF⊥平面ABCD，DE=3，CD=AD，（1）证明：BD⊥AE；（2）若点M到平面CDEF的距离是32，求EN与平面CMN20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：y=kx+m(m≠1)与椭圆C交于P、Q两点，PQ的中点为M21．已知函数f(（1）求函数f(（2）若不等式f(2x)22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为x=1+3（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）已知点M(1，0)，直线l与曲线C23．已知函数f(（1）当a=1时，解不等式f(（2）设a>0，b>0，且f(x)的最小值为t

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得z=故答案为：B.

【分析】根据题意结合复数的四则运算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：集合A={1，a2}，B={1，4，a}，若A⊆B，

①当a故答案为：D.【分析】由题意可知a2=4或a2=a，再结合元素的互异性求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，A不符合题意；

B、C、知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.96-0.48=0.48；2017年，1.88-0.96=0.92；2018年，2.95-1.88=1.07；2019年，3.56-2.95=0.61；2020年，4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；2022年，5.27-4.77=0.5；

则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，B不符合题意，C符合题意；

D、由5.27>10x0.48，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.4．【答案】C【解析】【解答】解：命题“∃x0∈R，使得曲线f(x)=x3−ax2+3x在点(x0，f(故答案为：C.【分析】根据已知条件，推得∀x∈R，f'(5．【答案】A【解析】【解答】解：因为a=(3)故答案为：A.

【分析】由已知结合指数及对数函数的单调性求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下：

S=0，i=1，

输入k=4，

S=1，i=2，i<k，执行循环体，

S=1+2x1=3，i=3，i<k，执行循环体，

S=1+2x3=7，i=4，i=k，执行循环体，

S=1+2x7=15，i=5，i>k，终止循环，

输出S=15.故答案为：C.【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出终止循环后输出S的值.7．【答案】A【解析】【解答】解：角θ的终边经过点(-1，2)，则tanθ=2-1=-2，

故答案为：A.

【分析】根据已知条件，先求出tanθ，再将原式中的弦化切，即可求解.8．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意分2步进行分析：①先将四位志愿者分为2-1-1的3组，有13、2、4和24、1、3和14、2、3，共3种情况；

②再将3组志愿者分配到三项工作，有A3故答案为：B.【分析】根据题意，分2步进行分析：①先将四位志愿者分为2人、1人、1人共3组，②再将3组志愿者分配到三项工作，由分步计数原理计算可得答案.9．【答案】A【解析】【解答】解：由图可得|A|=1，又A>0，故A=1，34T=1112π-π6=34π，故T=π，则ω=2πT=2ππ=2故答案为：A.【分析】由最大值可得A、周期可得ω，代入最大值点可得φ，即可得y=f(x)，即可得平移后函数图象解析式.10．【答案】D【解析】【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

A、则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，F(0，1，12)，因为DD1→=(0，0，1)，AF→=(-1，1，12)，且DD1→·AF→=12≠0，

所以DD1→与AF→不垂直，即直线DD1与直线AF不垂直，A错误；

B、假设C1G//平面AEF，因为C1G⊂平面BCC1D1，EF⊂平面BCC1D1，所以C1G//EF，显然C1G//FB，所以C1G与EF不平行，

所以假设不成立，即C1G与平面AEF不平行，B错误；

C、因为C1(0，1，1)，G(1，1，12)，E(12，1，0)，则C1G→=(1.0，-12)，AE→=(-12，1，0)，C1

【分析】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，计算DD1→·AF→≠0，判断直线DD1与直线AF不垂直；假设C1G//平面AEF，得出C1G//EF，显然C111．【答案】C【解析】【解答】解：由函数y=f(x+3)的图象关于直线x=-3对称，可知f(x)关于x=0对称，即f(x)是偶函数，故①正确；

由f(x)=f(x+4)+f(2)→f(-2)=f(2)=f(2)+f(2)=2f(2)，即f(2)=0，故②正确；

由上可知f(x)=f(x+4)，即T=4是f(x)的一个周期，又对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0，

即f(x)在[0，2]上单调递增，根据偶函数性质可知在[-2，0]上单调递减，则T=4是f(x)的最小正周期，故③正确；

由上面结论可知：f(3)=f(-1)>f(0)=f(-4)，故④错误.故答案为：C.

【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性一一判定选项即可.12．【答案】D【解析】【解答】解：对于方程x(aex+x)=e2x，当x=0时，不成立，所以x=0不是方程x(aex+x)=e2x的解，

若关于x的方程x(aex+x)=e2x存在三个不等的实数根，则关于x的方程a=exx-xex，x≠0

若关于x的方程a=exx-xex，x≠0，存在三个不等的实数根，则y=a与y=f(t)有两个交点，所以a>e-【分析】由题可知x=0不是方程x(aex+x)=e2x13．【答案】26【解析】【解答】解：甲组的中位数为13，乙组的中位数为12+142故答案为：26.【分析】根据中位数的定义求解即可.14．【答案】-10【解析】【解答】解：(1x−2x2)5故答案为：-10.【分析】根据已知，结合二项式定理求解即可.15．【答案】150°（或5π6【解析】【解答】解：△ABC中，由a2+b2−c22a−3csinB=a，由余弦定理得bcosC−3csinB=a，

故答案为：150°（或5π6

【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简求解即可.16．【答案】24π【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，所以13×3a如图所示：

取正四棱锥的底面中心为E，CD的中点F，连接PE，EF，PF，则PE=3，且外接球球心O在PE上，设其半径为R，则OP=R.

在Rt△OEC中，由勾股定理有R2=EC2+(PE-R)2=3+(3-R)2，解得R=2.

在Rt△PEF中，由勾股定理得PF=PE2+EF2=422.

过点O作OQ⊥PF，设O到平面PCD的距离为b，则OQ=b.

所以bR=EFPF，则b=27，所以平面PCD截球O所得截面圆的半径r2=R2-b2=4-47=247，

【分析】取正四棱锥的底面中心为E，则外接球球心O在PE上，利用勾股定理求出外接球半径R，取CD的中点F，连接PE，EF，PF，过点O作OQ⊥PF，则OQ为O到平面PCD的距离，利用截面圆的性质求出截面圆半径，从而求出面积.17．【答案】（1）证明：数列{an}满足a所以1an+1又1a故{1an+1}是以1（2）解：由（1）可知，1a所以S=(1=1【解析】【分析】(1)根据题中递推公式化简得到1an+1+1=1418．【答案】（1）解：估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为15×20+45×30+75×40+105×50+135×40+165×20（2）解：填写2×2列联表，如下：不少于120元少于120元总计年龄不小于50岁2480104年龄小于50岁366096总计60140200则K2因此，没有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关（3）解：X的可能取值为0，1，2P(所以X的分布列为X012P2114446E【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图平均数的求法即可求解.

(2)由题意和表格中的数据完成列联表，根据卡方的计算公式，结合独立性检验的思想即可下结论；

(3)根据超几何分布求出随机变量X对应的概率，列出其分布列，即可求解数学期望.19．【答案】（1）证明：∵BC=CD=AD，∴∠DBA=∠CBD=30°，从而∠ADB=90°，故AD⊥BD又∵矩形CDEF中，DE⊥DC，DE⊂平面CDEF，平面CDEF⊥平面ABCD∴DE⊥平面ABCD，从而DE⊥BD．∵DE∩AD=D，DE、AD⊆平面∴BD⊥平面ADE，从而BD⊥AE．（2）解：∵点M到平面CDEF的距离是32，点M是AE∴点A到平面CDEF的距离是3．作DK⊥AB于点K，则DK⊥DC如图所示：∵面CDEF⊥面ABCD，面CDEF∩面ABCD=CD，∴DK⊥平面CDEF．而AB∥平面CDEF，则点A到平面CDEF的距离即是DK=3而DK=AD⋅sin∠DAB=3∴AB=4，由（1）以DA、DB、DE为x，y，z轴建立如图所示直角坐标系．已知DE=3，则E(0，0，3)，设平面CMN的法向量n=(x，y又EN=设EN与平面CMN所成的线面角为θ，则sin【解析】【分析】(1)利用线面垂直知识先证明BD⊥平面ADE，然后再证明线线垂直即BD⊥AE，即可求解；

(2)建立空间直角坐标系，根据点M到平面CDEF的距离可求点A到平面CDEF的距离，然后利用空间向量法求解EN与平面CMN所成的正弦值，即可求解.20．【答案】（1）解：由题意知A(0，∵F(从而a2=（2）证明：∵在△AMQ中，∠PMA=∠MQA+∠MAQ，且∠PMA=2∠PQA∴∠MQA=∠MAQ，从而MA=MQ=1由y=kx+mx25设P(∴x则AP=(==6解得：m=−23或所以直线l过定点(0【解析】【分析】(1)根据椭圆的几何性质求解即可；

(2)分析可得AP⊥AQ，利用AP→2