2025高考数学二轮复习-专题1 函数与导数-第1讲 函数的图象与性质【课件】

第1讲函数的图象与性质专题一内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.函数的概念(1)求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.(2)求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.温馨提示函数的定义域与值域必须写成集合或区间的形式.2.函数的性质(1)奇偶性

这是函数具有奇偶性的重要前提

①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|),f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).(2)单调性判断方法:定义法、图象法、导数法、复合函数同增异减.(3)周期性

等式中自变量x的系数同号

常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±

(a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则函数f(x)的一个周期T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则函数f(x)的一个周期T=2|b-a|(可类比正、余弦函数).特别提醒若f(x)是奇函数且在原点有定义,则f(0)=0;若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有3.函数的图象(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质,根据函数性质判断图象的位置、对称性、变化趋势等;③看变换,看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到的.等式中自变量x的系数异号

(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)与y=f(b+x)的图象关于直线

对称,y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(4)利用图象可解决函数的最值问题,求方程与不等式的解,求参数的取值范围,等等.关键能力•学案突破突破点一函数的定义及其表示命题角度1

函数的定义域与值域[例1-1]已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数

的定义域为(

)A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1] D.(0,1)DA方法点拨确定函数定义域的基本方法(1)对于给出解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,只需构建不等式(组)求解即可.(2)对于复合函数,若已知f(x)的定义域为[a,b],则其复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求得.(3)对于含字母参数的函数,确定其定义域时,要根据具体情况对字母参数进行分类讨论.对点练1(多选题)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,都存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是(

)A.y=sinxcosx B.y=lnx+exC.y=2x

D.y=x2-2xAB解析

由题意,得“H函数”的值域关于原点对称.A中,其值域关于原点对称,故A中函数是“H函数”;B中,函数y=ln

x+ex的值域为R,故B中函数是“H函数”;C中,因为y=2x>0,故C中函数不是“H函数”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D中函数不是“H函数”.命题角度2

分段函数及其应用

A.g(-1)=0B.方程g(x)=2有3个实数根C.方程g(x)=-2的所有实根之和为-1D.当x<0时,f(x)≤g(x)ACD解析

对于A选项,由题意知f(-1)=0,则g(-1)=f(f(-1))=f(0)=0,所以选项A正确.对于B选项,令f(x)=u,则求g(x)=f(f(x))=2的根,即求f(u)=2的根.因为方程f(u)=2没有实根,所以g(x)=2没有实根,所以选项B错误.对于D选项,当x<0时,g(x)=f(x+1),则将函数f(x)在区间(-∞,1)内的图象向左平移1个单位长度可得函数g(x)的图象(如图所示),当x<0时,函数g(x)的图象在f(x)的图象的上方(可以部分点重合),所以选项D正确.故选ACD.A.(-4,0) B.(-3,0)C.[-4,0) D.[-3,0)B由图可知a+b=-4,0<c<1.所以af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-4)f(c)=(c-4)c3=c4-4c3.令g(c)=c4-4c3(0<c<1),则g'(c)=4c3-12c2=4c2(c-3).因为0<c<1,所以g'(c)<0,所以g(c)=c4-4c3在区间(0,1)内单调递减,所以g(1)<g(c)<g(0),即-3<g(c)<0.所以af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是(-3,0).方法总结解决分段函数问题的基本策略(1)分类讨论:已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)时,先根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后综合各段的结果下结论.(2)数形结合:求解分段函数问题时,可画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题.A当x≥0时,f(x)的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为直线x=3,最小值为32-6×3+6=-3;当x<0时,f(x)为直线y=3x+4的一部分.不妨设x1<x2<x3,f(x1)=f(x2)=f(x3)=m,由图象可知m∈(-3,4),令3x+4=-3,突破点二函数的性质及其应用命题角度1

函数的奇偶性、单调性及其应用[例2-1]设函数

,则f(x)(

)A.是奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递增B.是奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减C.是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增D.是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减A[例2-2]已知定义在区间(-1,1)内的函数f(x)满足f(x)=g(x)-g(-x)+2,对任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为(

)B解析

设h(xf(x)-2=g(x)-g(-x)(x∈(-1,1)),因为对任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内为增函数,则h(x)在区间(-1,1)内为增函数,又h(-x)=g(-x)-g(x)=-h(x),所以h(x)为奇函数.又因为不等式f(3x+1)+f(x)>4可化为f(3x+1)-2+f(x)-2>0,即h(3x+1)+h(x)>0,亦即h(3x+1)>-h(x)=h(-x),B而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,则a=0.故选B.名师点析函数单调性与奇偶性应用中应注意的问题(1)判断函数的奇偶性,必须先检验定义域是否关于原点对称,复合函数的奇偶性可回归到奇偶性的定义进行判断,分段函数的奇偶性,要分段讨论,也可以利用图象判断.(2)已知奇偶性求参数值时,一般利用奇、偶函数的定义,也可采用特殊值法.特别地,若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则可利用f(0)=0求得参数值.(3)奇偶性与单调性的应用主要涉及利用单调性求最值、比较大小、解抽象函数不等式等.解题时要注意几个方面:一是函数定义域的限制,二是函数单调性的判定,三是等价转化思想与数形结合思想的运用.如已知f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)内单调递增,那么形如f(m)>f(n)的不等式均可转化为f(|m|)>f(|n|),从而有|m|>|n|,这样避免了分类讨论,可简化解题过程.DA解析

因为f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,又因为函数y=2|x+m|,y=log3(x+m)2的图象均只有一条对称轴,即直线x=-m,可知函数f(x)的图象只有一条对称轴为直线x=-m,则-m=1,可得m=-1,所以f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2.当x>1时,f(x)=2x-2+2log3(x-1).因为函数y=2x-2,y=2log3(x-1)在区间(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,即ex>x+1(x>0),命题角度2

函数的奇偶性、周期性及其应用

D解析

因为f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1)①;因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2)②.因为当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,所以当x=1时,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b,因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2,令x=0,由①得f(1)=-f(1)⇒f(1)=0⇒a+b=0⇒b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2.(方法二)∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为4.名师点析函数奇偶性、周期性的应用技巧(1)具有奇偶性的函数,在关于原点对称的区间上,函数值、单调性、图象都有密切的联系,可通过原点一侧图象对应函数的性质得出另一侧图象对应函数的性质.(2)根据函数的周期性,可以转化函数的解析式、图象、性质,将不在已知区间上的问题转化为已知区间上的问题进行求解.(3)函数的周期性常通过奇偶性与对称性得到,当函数有两条对称轴(或两个对称中心、一条对称轴和一个对称中心)时,都能推出函数的周期.例如,若函数f(x)有一条对称轴为直线x=a和相邻的一个对称中心(b,0),则4|a-b|就是f(x)的一个周期.对点练4(2024·河北石家庄二模)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x<0时,f(x)=log2(-6x+2),则

的值为(

)A.-1 B.-2 C.2 D.1B解析

由题意知f(1+x)=f(1-x),则f[1+(x-1)]=f[1-(x-1)],即f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f[2-(x+2)]=f(-x).又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x+2)=-f(x),所以f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.命题角度3

函数性质的综合应用

BC∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos

2π=π,故D错误.故选BC.规律总结关于函数性质的常用结论:(1)若f(x+a)为偶函数,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若f(x+a)为奇函数,则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.对点练5(多选题)(2024·湖南邵阳一模)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R,且f(x)-x与g(1-2x)均为偶函数,则下列说法一定正确的有(

)A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.

的图象关于点(0,1)对称C.g(x+2)+g(x)=2D.f(0)=1BC解析

对于A项,因为g(1-2x)为偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称.若f(x)的图象关于直线x=1对称,则导函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,这与g(x)的图象关于直线x=1对称矛盾,故A错误;对于B项,因为f(x)-x为偶函数,所以f(x)-x=f(-x)+x,即f(x)-f(-x)=2x,所以

,故B正确;对于C项,因为f(x)-x为偶函数,所以f'(x)-x'=g(x)-1为奇函数,所以g(x)-1的图象关于点(0,0)对称,g(x)的图象关于点(0,1)对称,所以g(-x)+g(x)=2.又g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(1+(x+1))=g(1-(x+1)).所以g(x+2)=g(1+(x+1))=g(1-(x+1))=g(-x)=2-g(x).所以g(x+2)+g(x)=2,故C正确;对于D项,由上可知,g(x)的图象关于点(0,1)对称,g(0)=1,但f(0)=1无法确定,故