高考数学模拟大题规范训练(29)含答案及解析

高三数学大题规范训练（29）15.已知数列的首项为，且满足．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和．16.如图，在三角形中，，，平分交于点，．（1）求的值；（2）求的长度；（3）求的面积．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2菱形，是正三角形，.平面平面ABCD，点在棱PC上.（1）若平面ADE与棱PB交于点，求证：平面ABCD；（2）若二面角E-AD-B的余弦值为，求点到平面ABCD的距离.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，（ⅰ）求的极值；（ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围．19.对于确定的正整数，若存在正整数，使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”．（1）设是公差为的等差数列，若为“阶可分拆数列”，证明：；（2）设函数，记曲线在点处的切线与轴的交点为，，探究数列是否为“阶可分拆数列”，并说明理由；（3）设，若数列为“阶可分拆数列”，求由所有的值组成的集合．

高三数学大题规范训练（29）15.已知数列的首项为，且满足．（1）证明数列为等差数列，并求通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解答，（2）【解答】【分析】（1）根据条件中的递推关系式，结合等差数列的定义，即可证明，并求通项公式；（2）根据（1）的结果，可知，再利用裂项相消法求和.【小问1详解】由，，得，则，于是，所以数列是首项，公差为2的等差数列，故，所以,【小问2详解】由（1）知，所以.16.如图，在三角形中，，，平分交于点，．（1）求的值；（2）求的长度；（3）求的面积．【答案】（1）（2）（3）【解答】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合角的取值范围，可得答案；（2）由题意，求得三角形的内角，结合等腰三角形的性质，可得答案；（3）利用三角形的面积公式，结合正弦的差角公式，可得答案.【小问1详解】在中，由正弦定理得，所以，因为，所以；【小问2详解】由（1）得，由题设，，则，即为等腰三角形，所以．【小问3详解】，所以面积．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，是正三角形，.平面平面ABCD，点在棱PC上.（1）若平面ADE与棱PB交于点，求证：平面ABCD；（2）若二面角E-AD-B的余弦值为，求点到平面ABCD的距离.【答案】（1）答案见解答（2）【解答】【分析】（1）运用线面平行判断得到平面，再用线面平行性质得到，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，设，，则点，求出平面的法向量，根据二面角余弦值构造方程即可求出,再用点到平面的距离公式计算即可.【小问1详解】因为底面是菱形，所以，又平面，平面，则平面．点在线段上，平面与线段交于点，所以平面平面，而平面，所以．又平面，平面，所以平面．【小问2详解】取的中点，连接，，如图所示，由条件，是正三角形，，则，，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，则，而，得．在中，，结合勾股定理易得．以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，，则，所以点，，，设平面的法向量为，由取，则，，平面的法向量为，而平面的法向量为，故，解得（舍负），所以．设直线E与平面所成角为，．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，（ⅰ）求的极值；（ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围．【答案】（1）（2）（ⅰ）极小值，无极大值；（ⅱ）【解答】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）（ⅰ）求导，利用导数判断单调性进而求出极值；（ⅱ）分析可得，构造函数，，解法一利用导数判断函数的单调性，解法二根据，在内均单调递增得到函数的单调性，再根据求解即可.【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即；【小问2详解】（ⅰ）因为的定义域为，且，令，解得；当时，；当时，；所以在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值；（ⅱ）由题意可得：，因为，所以，构建，，因为，所以在内单调递增，因为，不等式等价于，解得，所以的取值范围为.解法二：由题意可得：，即，构建，，因为，在内均单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以的取值范围为.19.对于确定的正整数，若存在正整数，使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”．（1）设是公差为的等差数列，若为“阶可分拆数列”，证明：；（2）设函数，记曲线在点处的切线与轴的交点为，，探究数列是否为“阶可分拆数列”，并说明理由；（3）设，若数列为“阶可分拆数列”，求由所有的值组成的集合．【答案】（1）证明见解答（2）数列不是“阶可分拆数列”，理由见解答（3）．【解答】【分析】（1）由等差数列的通项公式，表示出，由题意建立方程，可得答案；（2）由函数解答式求导，设出切点并写出切线方程，表示出数列，利用余弦和角公式，可得答案；（3）由题意建立方程并化简整理，利用列举检验，可得答案.【小问1详解】因为是公差为的等差数列，所以，所以，．因为为“阶可分拆数列”，所以，即．化简，得．【小问2详解】由，得．又切点为，，则过该切点的切线方程为易知当时，．令，整理，得，所以，所以，．又，所以；所以数列不是“阶可分拆数列”．【小问3详解】由题意，知对于确定的正整数，存在正整数，使得成立，即，所以．①若，则，当时，成立：②若，则，当时，，当时，，当时，，所以不存在