例析函数y=sin(ωx+φ)图像与性质问题的解题策略

教材是教育专家组研究的结晶，在知识探究与习题解答中蕴含着丰富的思想与一般的规律．在高考以及各级各类模拟考试中，有许多题目都来源于课题题的变式或改编．因此，我们在学习过程中要能够充分认识教材承载的培养能力的重要功能，领会知识生成与发展脉络，挖掘蕴含其中的思想方法，学习中不仅知其然，更知其所以然．下面我们就以一道教材例题的求解，谈谈关于三角函数y=sin（ωx+φ）图像与性质模拟试题的求解，供同学们参考．【问题】（人教版数学必修一第237页例1）画出函数y=2sin3x－π6的简图．【解法一】先画出函数y=sinx的图像，再把正弦曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y=sinx－π6的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的13，得到函数y=sin3x－π6的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y=2sin3x－π6的图像（如图1）．【解法二】先画出函数y=sinx的图像，再把曲线上各点的横坐标变为原来的13，得到函数y=sin3x的图像；然后再把图像向右平移π18个单位长度，得到函数y=sin3x－π6的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y=2sin3x－π6的图像（如图2）．【解法三】（五点作图法）：令X=3x－π6，则然后X分别取0，π2，π，3π2，2π．解得x的值分别为π18，2π9，7π18，5π9，13π18，列表，描点画图（如图3）．X0π2π3π22πxπ182π97π185π913π18y020-20【点评】五点作图法是作三角函数图像的基本方法，它也能方便的解决含参的三角函数问题，是数形结合思想方法的集中体现．在y=sin（ωx+φ）（ω>0）中，令X=ωx+φ，当X∈0，2π时，函数y=sinX图像上的五个关键点0，0，π2，1，π，0，3π2，－1，2π，0，分别得出y=sin（ωx+φ）（ω>0）图像上五个关键点－φω，0，π2－φω，1，π－φω，0，3π2－φω，－1，2π－φω，0，解题时，同学们只要找到图像上几个关键点，就可以描绘出三角函数的简易图像．通过研究图像，问题就能迎刃而解，且解法简捷．这样可以使复杂的三角问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维．有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．一、求三角函数解析式例1.（2024江苏十校联考）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的图像如图所示．则函数f（x）的解析式为．【解法一】（常规方法）：由图可知A=1，T4=7π12－π3=π4，T=π=2πω，得ω=2.所以f（x）=sin2x+φ，又f7π12=f（x）=sin7π6+φ=－1，由于－π2<φ<π2，2π3<7π6+φ<5π3，所以7π6+φ=3π2，φ=π3，所以f（x）=sin2x+π3．【解法二】（五点作图法）：由五点作图法知，在一个周期内，π3，0和7π12，－1看作五点作图法的第3、4个点，即π3ω+φ=π，7π12ω+φ=3π2，解得ω=2，φ=π3.（特别说明：以上做法对于填空题和选择题非常简单，但如果是解答题，即为π3ω+φ=π+2kπ，7π12ω+φ=3π2+2kπ，k∈Z，下同）例2.（2024山东青岛）（单选）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）ω>0，0<φ<π2的部分图像如图所示，则f（π）的值为（）A．32B．－12C．12D．－32【解法】由五点作图法知，在一个周期内，4π15，0看作五点作图法的第3个点，0，32是这个周期内π3，32点，即0·ω+φ=π3，4π15ω+φ=π，解得ω=52，φ=π3.所以f（x）=sin52x+π3，即f（π）=sin52π+π3=12，故选C．【点评】作为选择题和填空题中的三角函数图像问题，我们可以利用五点作图法中的特殊点与图像中点建立关系，进而顺利地解出ω和φ；如果作为解答题只要加上2kπ（k∈Z）即可．二、求解与单调性有关问题例3.（2024·河南·汝州模拟）（单选）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω>0）在区间π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．12，1B．0，12C．12，54D．0，1【解法一】（五点作图法）：由题意得，函数f（x）=sinωx+cosωx=2sinωx+π4，由五点作图法知，相邻的最高点和最低点依次为π4ω+2kπω，1，5π4ω+2kπω，－1，k∈Z，又因为函数f（x）在区间π2，π上单调递减，则π4ω+2kπω≤π2且5π4ω+2kπω≤π，且T2≥π－π2，解得12+4k≤ω≤54+2k，k∈Z，且ω≤π，又ω>0，所以k=0，得12≤ω≤54．故选：C．【解法二】（整体法）：因为π2≤x≤π，所以π2ω+π4≤ωx+π4≤πω+π4，因为函数f（x）在区间π2，π上单调递减，所以π2ω+π4，πω+π4π2+2kπ，3π2+2kπ，T2≥π－π2，即π2ω+π4≥π2+2kπ，πω+π4≤3π2+2kπ，且ω≤π，又ω>0，所以k=0，得12≤ω≤54．故选：C．【点评】由于ω会影响三角函数的周期，单纯从代数角度去研究单调性，需要先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒（可以）成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围．一般来说，运算量都很大，并且太抽象．而如果结合五点作图法来解决此类问题，计算小，容易理解．三、求解与最值有关问题例4.（2024·重庆模拟）已知函数f（x）=sinωx+π6（ω>0）在区间（0，2π）内有唯一的最值，则ω的取值范围是．【解法一】（整体法）：函数f（x）=sinωx+π6（ω>0），由于x∈（0，2π），所以π6<ωx+π6<2ωπ+π6，根据正弦函数的图像，以及f（x）在区间（0，2π）内有且只有一个最值，所以π2<2ωπ+π6≤3π2且ω>0，所以16<ω≤23．故ω的取值范围是16，23．【解法二】（五点作图法）：令sinωx+π6=±1，得ωx+π6=π2+kπ，即x=π3ω+kπω（k∈Z），因为f（x）在区间（0，2π）内有且只有一个最值，所以π3ω<2π，π3ω+πω≥2π，得16<ω≤23.故ω的取值范围是16，23．【点评】三角函数y=sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）在某个区间上（a，b）有唯一最值，也就是在此区间上有唯一对称轴，也是在此区间有唯一极值，并且有唯一最值的区间长度小于等于一个周期．四、求解与零点有关问题例5.（2024·江西·临川）函数f（x）=sin（ωx－π6）（ω>0）在π2，3π2上没有零点，则ω的取值范围是（）A．0，19B．0，1C．0，19∪13，79D．0，19∪79，1【解法一】（五点作图法）：由五点作图法知，3个零点依次是π6ω，0，7π6ω，0，13π6ω，0，且半个周期出现一个，所以使函数f（x）在π2，3π2上没有零点，即π6ω+kπω≤π2，7π6ω+kπω≥3π2，（k∈Z）所以13+2k≤ω≤19+23k+1，k∈Z，即13+2k≤ω≤79+23k，k∈Z，因为79+23k≥13+2k，所以k≤13，又因为ω>0，所以79+23k>0，所以k>－76，所以－76<k≤13，因为k∈Z，所以k=－1或k=0，当k=－1时，－53≤ω≤19；当k=0时，13≤ω≤79，又因为ω>0，所以ω的取值范围是：0，19∪13，79．故选：C．【解法二】（整体法）：因为在x∈π2，3π2，所以π2ω－π6≤ωx－π6≤3π2ω－π6，又函数f（x）在π2，3π2上没有零点，即π2ω－π6，3π2ω－π6π2+2kπ，3π2+2kπ（k∈Z），得π2ω－π6≥kπ，3π2ω－π6≤kπ+π，所以13+2k≤ω≤19+23k+1，k∈Z，即13+2k≤ω≤79+23k，k∈Z，（同上）．【点评】三角函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）相邻两个零点间的距离的大小对函数周期的影响，也是求三角函数周期和参数的重要思路，但求解过程中应注意图像的平衡位置发生变化时，即平衡位置不在x轴上时，其相邻两个零点的距离一定不再是半个周期．四、求解与对称性有关问题例6．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx－12（a>0，x∈R）在0，π内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是（）A．23，76B．［76，53）C．53，136D．136，83【解法一】（五点作图法）：由题意得，f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx－12=32sin2ωx+12cos2ωx=sin2ωx+π6，由五点作图法知，我们只需要研究函数f（x）的以下4条对称轴：x=π6ω，x=π6ω+π2ω，x=π6ω+πω，x=π6ω+3π2ω，函数f（x）在0，π内有且仅有三条对称轴，所以π6ω+2π2ω≤π，π6ω+3π2ω>π，解得ω∈［76，53），故选：B．【解法二】（整体法）：由题意得，f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx－12=32sin2ωx+12cos2ωx=sin2ωx+π6.当x∈0，π时，2ωx+π6∈［π6，2ωπ+π6］，函数f（x）在0，π内有且仅有三条对称轴，则有2ωπ+π6∈［5π2，7π2），解得ω∈［76，53），故选：B．【点评】先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，解法一，是利用五点作图法找出x轴右边的四条对称轴，前三条在区间中，第四条不在区间中得到不等式，进而求出参数范围；方法二是利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到2ωπ+π6∈［5π2，7π2），进而求得结果．五、求解与MN＝λMP相关问题【引例】已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0）的图像与直线y＝t（0＜t＜A）连续的三个公共点从左到右依次为M，N，P，若MN＝λMP（0＜λ＜1），探究m，A，λ的关系．解析：设点Mx0，t，则Px0+2πω，t.又因为MN＝λMP，所以xN－x0=λxP－x0，即xN=xP+1－λx0，所以MN的中点坐标为x0+xN2=λxP+2－λx02=λx0+2πω+2－λx02=λπω+x0，所以f（λπω+x0）=Asinωλπω+x0+φ=A，得λπ+ωx0+φ=π2+2kπ，即ωx0+φ=π2－λπ+2kπ（k∈Z），又点Mx0，t在函数f（x）的图像上，所以Asinωx0+φ=t，即Asinπ2－λπ+2kπ=t，即cosλπ=tA．例7.（2024·江西·九江）（多选题）已知直线y＝t（0＜t＜1）与函数f（x）＝sinωx+π6（ω＞0）的图像相交，A，B，C是从左到右的三个相邻交点，设AB＝λAC，0＜λ＜12．则下列正确的是（）A．若f（x）在0，π2上无最值，则ω的最大值为23B．若λ＝13，则t=12C．t随λ的增大而减大D．1λ-t＞2解析：对于A：因为f（x）在0，π2上无最值，则f（x）在0，π2上单调，由五点作图法可知，区间0，π2应该在图像相邻得两个最值之间，即0，π2π2－π6ω+kπω，3π2－π6ω+kπω（k∈Z），得0≥π2－π6ω+kπω，π2≤3π2－π6ω+kπω，解得k≤－13，ω≤83+2k，（k∈Z）.所以当k=-1时，ω的最大值为23，故A正确；对于B：由上面引例知，cos13π=t，得t=12，故B正确；对于C：由上面引例知，t=cos（λπ）（0＜λ＜12），由余弦函数得图像性质可知，t随λ的增大而减小，故C错误；对于D：由上面引例知，t=cosλπ（0＜λ＜12），所以1λ－t=1λ－cosλπ，令g（x）=1x－cosπx（0＜x＜12），求导得g′（x）=－1x2+πsinπx，所以g″（x）=2x3+π2cosπx＞0在（0，12）上恒成立，即g′x=－1x2+πsinπx在区间（0，12）上单调递增，又0＜x＜12，得0＜sinπx＜1，所以g′（x）＜－4+π＜0，所以g（x）=1x－cosπx在区间（0，12）上单调递减，所以g（x）>g12=2，即1λ－t>2，故D正确；所以选ABD．【点评】本题的的A选项可以采用两种方法，即五点作图法和整体法；其余三个选项主要利用引例这个结论，整体综合性较强，难度较大．六、其它综合问题例8.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图A，B是直线y＝32与曲线y＝f（x）的两个交点，f2π3＝0且|AB|＝π12，则f（2024π）=．解析：设Ax1，32，Bx2，32，由五点作图法知，则ωx1+φ=π3，ωx2+φ=2π3，所以ωx2－ωx1=π3……①，又|AB|＝π12，所以x2－x1=π12②，由①②得ω=4，又因为函数f（x）图像过点2π3，0，得2π3×4+φ=2π+2kπ（k∈Z），解得φ=－2π3+2kπ（k∈Z），所以f（x）=sin4x－2π3+2kπ=sin4x－2π3，故f（2024π）=sin4×2024π－2π3=sin－2π3=－32，故答案为－32．【点评】三角函数中的参数问题一般涉及零点、单调性、周期性、最值等相关性质．从代数的角度来处理参数问题往往计算量大，且不易理解