2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)重难点04指、对、幂数比较大小问题【八大题型】(解析版)

重难点04指、对、幂数比较大小问题【八大题型】【新高考专用】从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1指、对、幂数比较大小的常用方法】1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3．作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4．估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5．构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6．放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·四川资阳·二模）已知a=40.3，b=30.4，c=ln2，则（

）A．c<a<b B．c<b<aC．a<c<b D．a<b<c【解题思路】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.【解答过程】因为a10=43=64又c=ln2<1，所以故选：A.【变式1-1】（2024·天津河西·三模）若a=logπe，b=π23，c=1e−A．b<a<c B．a<c<b C．c<a<b D．a<b<c【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小.【解答过程】由函数y=logπx是增函数，则a=由函数y=πx是增函数，则b=π由函数y=1ex是减函数，则c=由b=π23由函数y=x13是增函数，则π故选：B.【变式1-2】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知a=log56，b=log28，c=e，则aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a【解题思路】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断a，b，c的范围，即可比较a，b，c的大小．【解答过程】因为c=e>9a=log所以a<b<c．故选：A．【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知a=22.1，b=log215，c=A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a【解题思路】利用指数函数y=2x与对数函数y=log2x的单调性比较a,b与中间值4的大小关系进而得到a与b的大小关系；利用幂函数y=x2.1【解答过程】∵y=2x是R上的增函数，2.1>2，∵y=log2x在0,+∴b=log215<∵c=51.05=52.1，y=∴a=22.1<故选：A．【题型2中间值法比较大小】【例2】（2024·辽宁·模拟预测）设a=0.513A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c【解题思路】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“32【解答过程】a=0.5131=log综上，a<c<b．故选：B.【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=1e−A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】取两个中间值1和32，由a=e>32【解答过程】a=1e−12因此b<c<a．故选：C．【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a=e−1，b=lga，A．b<a<c B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.【解答过程】a=e−1∈(0,1)，b=所以b<a<c，故选：A.【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“12【解答过程】因为y=0.5x在R上单调递减，则0.53.1又因为y=log0.9x在0,+∞上单调递减，则可得c=log1312则12=log综上所述：a<c<b.故选：D.【题型3特殊值法比较大小】【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a=log0.50.6，b=0.49−0.3，c=0.6−0.6，则aA．c>b>a B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【解答过程】因为y=log0.5x在0,+∞上单调递减，所以因为y=x0.6在0,+∞上单调递增，又0.49又53>107>1，所以5故选：A.【变式3-1】（2024·江西上饶·模拟预测）设(13)A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小即得.【解答过程】由(13)a=2c=213<2故选：B.【变式3-2】（2024·天津和平·一模）设13a=2,b=A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a最小，再利用b3>c【解答过程】由13a=2b=log12下面比较b,c，因为32>2所以b=log而c3=323综上，b>c>a.故选：B.【变式3-3】（2024·天津和平·三模）设a=0.42，b=log0.43，c=40.3，则aA．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b【解题思路】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性，结合特殊值比较大小即可.【解答过程】因为y=log0.4x又y=4x在定义域上单调递增，所以y=0.4x在定义域上单调递减，所以所以b<a<c.故选：B.【题型4作差法、作商法比较大小】【例4】（2024·湖南岳阳·二模）设a=log23，b=log3A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】根据指数函数性质得出a>32，b<32，c<3【解答过程】因为32>23，所以log232因为52<33，所以log352因为82<53，所以log582又因为b−c=log且2log所以log53⋅log58<1综上所述，a>b>c.故选：A.【变式4-1】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】由题意首先得0<a<1,d=3−23<0【解答过程】a=0.311.5<b=log又因为log3所以b<c，即d<a<b<c.故选：B.【变式4-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）若a=ln22，b=ln3A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=lnx的单调性分别判断a,b和a,c的大小关系，即可判断出【解答过程】因为b−a=ln33又因为c−a=ln55综上所述：c<a<b.故选：C.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a=20.4,b=30.25A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c范围，比较它们的大小；利用作商法比较a,b的大小，即可得答案.【解答过程】因为函数y=2x在R上单调递增，所以又ab=2因为0.52=0.25<0.343，故0.5<0.343所以log0.70.5>log所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c，故选：B．【题型5构造函数法比较大小】【例5】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【解题思路】由对数函数单调性得c<12，构造函数f(x)=2【解答过程】由对数函数单调性得，c=log构造函数f(x)=2x+x,x∈R因为y=2x和y=x单调递增，所以因为2<5，即f(a)<f(b)，所以a<b又f(12)=21所以c<a<b，故选：A．【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知a=ln72，b=ln7×A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【解题思路】根据0<ln2<1得到c的值最大，然后构造函数fx=1−ln2【解答过程】因为0<ln2<1，所以a=ln7−ln2<ln下面比较a，b的大小．构造函数fx显然fx在0,+因为f8=ln8−ln2−ln故选：C．【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）设a=514，b=54，c=log45，则A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.【解答过程】先比较a和b，构造函数y=x4在上∵5144=5>625又∵4b=5，4c=4log45=∴4c=log45∴a>b>c.故选：A.【变式5-3】（2024·河南·模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+logA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.【解答过程】设f(x)=x2+log2又f12=−设g(x)=12023x−log又g(1)=12023>0,g(2023)=12023因为c=log76综上可知，c<a<b.故选：B.【题型6数形结合比较大小】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e<3<π，∴a=log∵a=ln下面比较π2与 2π的大小，构造函数y=由指数函数y=2x与幂函数

当x∈(0,2)时，x2<2x由x=π∈(0,2)，故π2 <所以b<a<c，故选：A.【变式6-1】（2024·江西赣州·二模）若log3x=logA．3x<4y<5z B．4y<3x<5z C．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【解题思路】设log3x=log【解答过程】令log3x=log3x=3m+1,4y=在同一坐标系内画出y=3故5故选：D.【变式6-2】（2024·江西·模拟预测）若aea=bA．a<b B．a=b C．a>b D．无法确定【解题思路】令aea=b【解答过程】因为a>0，所以ae因为ae所以blnb>0，可得令aea=b所以ea设f(x)=ex，g(x)=ln作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知a=12a,1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,b,c∈0,1，得到logab<1=loga【解答过程】令fx又f0由零点存在性定理得a∈0,1则y=logax画出y1=1

可以得到b∈0,1又y2=ax在R上单调递减，画出

可以看出c∈0,1因为12b<12因为a,c∈0,1，故a由ac=log综上，c<a<b．故选：D．【题型7利用基本不等式比较大小】【例7】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知a=log32，b=log4A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b【解题思路】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.【解答过程】b−a=logc−b=所以c>b>a.故选：C.【变式7-1】（2024·云南·模拟预测）已知a=log169,b=A．b>a>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【解题思路】a=log43，b=log54，作商ab【解答过程】a=log169=ab=log43log5所以a<b，a=log所以b>a>c.故选：A.【变式7-2】（2024·湖南·模拟预测）已知a=log32,b=A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．b<c<a【解题思路】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论.【解答过程】因为log3所以a<b.因为ln3ln8<ln3+ln822故选：A.【变式7-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知a=log35，b=213A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a=log34=812561c=3log所以c>b>a.故选：B.【题型8放缩法比较大小】【例8】（2024·四川乐山·三模）若a=log32,b=log4A．b<c<a B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【解题思路】利用放缩法可得a>12,b>12【解答过程】a=log所以则a>c,b>c，又ab所以a<b，所以c<a<b.故选：D.【变式8-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知a=19−17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.【解答过程】因为a=19b=6−3c=log所以a<b<c.故选：A.【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知a=log2π，b=ln4A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解题思路】应用对数函数的单调性及放缩法对a,b,c进行估值即可判断.【解答过程】a=log2π<logb=ln4=1+ln由c=0.6−1.5可得c2=0.6−3=故选：C.【变式8-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知a=log35，b=213A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a=log34=812561c=3log所以c>b>a.故选：B.一、单选题1．（2024·福建泉州·一模）若实数a>b>0，则下列不等式一定不成立的是（

）A．0.3a<0.3b B．lga>lg【解题思路】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D.【解答过程】因为y=0.3x在定义域R上单调递减且a>b>0，所以因为y=lgx在定义域0,+∞上单调递增且a>b>0当a>1>b>0时，1a−1因为y=x在定义域0,+∞上单调递增且a>b>0，所以故选：C.2．（2024·四川眉山·一模）若a=log391.1，b=logA．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b【解题思路】结合指数函数和对数的运算性质易得a=2.2，b=log25，c<2，进而分析比较22.2与5的大小，进而比较【解答过程】a=log39b=log则a>c，b>c，下面比较a与b的大小，即比较2.2=log22即比较22.2与5即比较211与55的大小，而则a<b，所以b>a>c.故选：B.3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知a=0.23,b=A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．c>b>a【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得.【解答过程】a=0.23<0.20故b>1>a>0>c，故b>a>c.故选：C.4．（2024·四川宜宾·一模）已知a=53，b=3，c=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a【解题思路】根据a2<b2得到a<b，根据log32>log【解答过程】∵a2=259<3=∵log32>log33∵742=4916∴c>b>a.故选：D.5．（2024·四川雅安·一模）下列不等式成立的是（

）A．3423<3434 【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性可判断出结果.【解答过程】对于A，因为底数34<1，所以随着指数的增大而减小，又23对于B，log412=12log212=对于C，因为log73>log77对于D，因为23.92=23.9，3.92x增长速度比x2增长速度快，在0,2上2x>x在4,+∞上2x>x2故选：C.6．（2024·四川成都·模拟预测）已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为（

）A．1a>1C．a3>b【解题思路】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.【解答过程】对于A，1a>1b，不能推出a>b>0，如1−3即1a>1对于B，由lna+1>lnb+1，得不能推出a>b>0，反之a>b>0，则a>b>−1，因此ln(a+1)>ln(b+1)对于C，a3>b3>0⇔a>b>0对于D，由a−1>b−1，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出因此a−1>b−1是故选：B.7．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex2A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】应用介值法比较log32,log【解答过程】解：因为log3所以log3又因为log5所以log3又因为fx=e所以c<b<a，故选：D．8．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知偶函数fx在−∞,0上单调递增，a=fA．b>a>c B．c>b>aC．a>c>b D．a>b>c【解题思路】先根据对数函数的单调性比较出π−2【解答过程】∵偶函数fx在−∴fx在0,+b=f−log2因为log22<log23<所以π−2<log23<故选：C.二、多选题9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（

）A．2−0.01>2C．log1.85<log【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得log33.01>1，由指数函数的性质可得【解答过程】解：对于A，因为−0.01<−0.001，所以2−0.01<2对于B，因为log23>对于C，因为log1.85>0,log对于D，因为log33.01>log故选：BCD．10．（2024·贵州·模拟预测）已知0<a<b<1，m>1，则（

）A．am<bC．logma>log【解题思路】根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性,结合不等式性质逐项分析即可.【解答过程】对于A，根据y=xm在(0,+∞)单调递增，结合对于B，根据y=mx在(0,+∞)单调递增，结合对于C，根据y=logmx在(0,+∞)对于D，根据logam=1知logma<logmb<0故选：AD.11．（2024·吉林·模拟预测）若b>a>0，则下列不等式成立的是（

）A．a<ab<a+bC．log2a+log【解题思路】对于AC：利用作差法分析判断即可；对于BD：举反例说明即可.【解答过程】因为b>a>0，则b>对于选项A：b−a+b2=a+b2−abab−a=ab所以a<ab对于选项BD：例如a=2,b=4，满足b>a>0，因为1a=1因为2b−a=2对于选项C：因为log2又由选项A知，0<ab所以log2故选：AC.三、填空题12．（2024·北京昌平·二模）3−2,213【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.【解答过程】∵1<213=3∴log即三个数中最大的数是log2故答案为：log213．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log1413【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2b=log14c=log故a<b<c，故答案为：a<b<c.14．（2024·吉林长春·模拟预测）已知a=log3322，b=22−33，c=ln【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到a∈0,1，b>1，c=−【解答过程】因为y=log33x在故a=log3322因为y=22x所以b=2c=ln故c<a<b.故答案为：c<a<b.四、解答题15．（23-24高一·上海·课堂例题）设a=23x，b=x32及c=log23【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较值的大小即可.【解答过程】当x>1时，由于a=23x由于b=x32由于c=log23故c<a<b.16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）比较下列各组数中两个数的大小：(1)log23.4，(2)log0.51.8，(3)0.60.6，0.6【解题思路】（1）（2）根据对数函数的单调性比较大小即可；（3）根据指数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】（1）因为函数y=log2x在(0,+∞)所以log2（2）因为函数y=log0.5x在(0,+∞)所以lo