高三数学一轮复习-平面与平面垂直的题型讲义

高三数学第一轮复习专题平面与平面垂直的题型二、面面垂直的判定定理：

面面垂直定义：两平而相交，若它们所底的一面角是直二面角.则称

第一部分基础知识

这两个警而垂直.

一、二面角：

1.面面垂直判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，

le半平面：平面内的一条直线把平面分为两分，短一部分都叫做1用

则这两个平面垂亶2.

面.

2。二面角：从一条1sl线出发的两个半平面所组成的图形叫做湎角，

这条口线叫二面角的校.这两个半平面叫二面角的面.线面垂直n面面垂直

校为AN.而为名尸为一面用记作：ct-AB-fi,

AHc.a.AHLp=^>aLp

3。二面角的平面角：在二面角a-/一夕的校”.仟取一点O.以点

。为垂足，在半平面/夕内分别作垂应干校/的射线。A,OB,NAOA叫

证明：设ac』=C。，在》内过B作8E1CD

做二面角的平面角.

\AtiLfi.CDuflr.AtiLCD

一向角的大小可用它的平面角来度显，一面角的隙数等于翼平面角的度

又：BEICO：.ZABE为二面角a-C〃一J的平面用

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

又，：AB*乐BEuBABA.BEWARE

.\a±fl

2.推论：若一个平面平行于另一个平面的一条垂线,则这两个平三、面面垂直的性质定理：

面垂直。（小题中使用〉

1,面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面

内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

I上口.1〃a=aL

面面垂直=线面垂直

a1.艮ac/3=CD,ARua,AB1CD=>AH

三个核心条件：aip.ar\p=CD.AliLCD

证明：过/作平面7交平面a于百线

•A"a,luy、acy=a:.lfla

又・,•/_!■万：.al.fi

又「aua:.aIfi

证明:rr。内过B作BELCD.则NABE为：面用a-C。-/?的平ifti用

•.a".\ABLBE

又；AB_LCD：.ABIfi

第二部分面面垂直的基本题型例2.在长方体人BCD一儿dCR中,DA="=2DQ=J5.E是cn

的中点，F是CE的中点.(1)求证：EA〃平面BDF:(2＞求证：

题型一；证明两平面垂直

mBDF1平由.

规律「证明两年面垂直，关键是要在一个平面而找到另一平面的垂

线.

例1.在几何体P-A8CQ中，四边形ABCD为矩形./XJ.平面A6CD.

AR=PA=AD=2,求证：平面AWQ1平面ZMC。

<2>证明：；8C1平面u平面CDQG

BC±DF

・・・在册ADDJE由E为为四中点DD|=VJ,D|E二1

：.DE=2

•・•在/:DE4*CD=DE=2/'为C£'中点

.\BD1AC.•.8。_1平面以。

DFICEDF1平面EC月:.平面8Qb1.平面BCE.

平面〃/")1平面QIC.

例3.如图.在四核帷PABCD中.底面ABCO是矩形.4/)_L半面。)巴

例5.如图所示.四校钳如BCD的底面A8CD是平行四边形.BA=BD=丘,

AD-2,PA=〃)=底E.F分别是枝AllPC的中点.二面角〃-AD-8为

60.

；PA・77)=石,E为AD中点，.'.PEIAD.

•:RA=RD=J1.E为AD中点.，BE±AD.

,:PEcBE=E・：.ADI平面PBE.

；P8u平面PBE,7.AD1PB,

•/AD=2.E为AD中点.

(1)证明：平面PKC1平面ABCDi

,AE=ED=1.由勾股定理得：PE=4Pl>-EI彳=>/^T=2.

(2)求直戊仃。平面“0C所成角的正弦值.

【分析】

,.・RA'SMAD',由勾股定理逆定理可得：RSBD.

<1>作出辅助纹，由余弦定理求出PB,从而由勾股定理逆定只得到纹找垂

«.从而证明纹面来直.再到曲面眼自：

BE=-AD=l

/.2,

证明：(1)VBE±AD.PE±AD,，/PEB即为二面角〃-4)-5的平面角，

连接PE・BE.

7.ZPFB=W.

在三角形PEB中，由余景定理得；

/次=PE；+由-2PEQ8S&F=4+|-4X1=3，•"•依f，

2

•/PB2+BE'=PE2.：.PH±BE.

(1)证明：由咫意。AH1AD.AHLAF,ADQ4F=4,且A/)M尸u平而

/为，平面

/WD8E=E....ABCD.ADF,，/也，平面入。「；

■:PBuf面P8C.，甲面PBCJ_TlftlABCD

又,.•AB||<7),\CDA平面ADF.

而CDu平面CD".「.平面3J_平加C/"产：

例6.如图，在水平放置的立角悌形ABCD中，

.以A8所在长线为轴，将A8CD向上

旋转角。得到人僚丁，其中"w(Q0.

例7.如图.在四校伴产-ABC。中.出面ABCD是边长为2的菱形，PB=PC,

M为BC中点,RDM=&

⑴证明：平面皿」平面C/)/芭：

⑵若邛面4)尸与平面BCE的夹角余弦值不超过且,求。的越国.

3

【鞫析】

⑴求由平面"叱，平面PMD：

(1)首先利用线面垂直的判定定理证明八8J.平面人川"又由A81|C。可证

£

⑵公平面PBCJ.平［肌ABCD.三棱锥M-PQ的体枳为5.求二面角

(7〃平面ADF，内根据曲面垂1*1的判定定理"I证平面八小“平面ClyFEt

8-PC-O的余弦值.

【解析】

(1)结合匕知条”及找面幅直的判定定理i正明C“，平面PDM,再由面面

垂宜的判定定理即可证明：

又BCu平面P8C,

(1)证明：

::2::

•.•在菱形ABCD中，D^+GW=(V3)+i=2=ZM'\CMA.IJM,，平面/WCL平面R4C；

"：PB=PC,M为6c的中点，.二PM1CM.

V/M/cPM=jVf,「.CM1平面PMD.

又CAIu平面DMC/.平面/JW平面PMD.

例8.如图，A8是R1O的直径，点C是呻。上异于A.8的点,直线PCI平

面ABC.

⑴证明：平面尸6C_L平面PAC：

(2)设AB=PC=2.AC=6求二面角"-PA-C的余弦值.

【解析】

<1>易用8c_LAC,根据线向垂向的件项可得PCJLWC,从而可用AC1.平

而少人C.再根据面而重食的判定定理即可出证：

(1)证明：QAB是1580的直径人C.

又•.•小,平面人/?。,BCcTlftiAfiC.：.PC1BC.

题型二：面面垂直性质定理的应用.

■.PCr\AC»C,且PC?./^匚平而尸人^^二南,平面分。.

:.AB:=AD2^BD2，/ADR=90,BD1AD

规律：凡是已知条件中有面面垂直的，都要用到面面垂直的性质定

理,注意：面面垂直性质定理有三个核心条件，缺一不可！

又•.•平•面PA7)_L+面A/，C〃,H.平面川0c乎而•月C/)=A。

医秀工找出两平面的交线，—并在两平面中找出垂直于交线的垂豉二|

RDA.T-Ifil/MD,平面MAD1Tlfij/MD.

例1.如图，在四枝维P-A8CQ中，平而小。，平由以双刀，

取的中点连接作〃

AB//DC,APAD为等边三角形，己知(2)ADO.PO.D_LA8jH

•・•△PAD为等边三角彩,o为AD中点..POLAD

BD=2AD=8.^5=2DC=475.(1)设M为PC上一点，证明：

又•.•平而/aD_L平面A"CD,且平面上4Dc平面ABCD=AD

平面例/〃)_L平面始。：(2＞求四校锥P-AHCD体枳.

:.PO1平面A3CY>又：在正AP40rp.AD=4;.P0=?£

■<­在RIAAD冲,4Dm=48DH,AD=4,BD=&4B=47J

分析：要证平面M6Q1平面以D・因M为上动点，故只需证

平面月U)即可.而条件中的平而用/51平面4Hm是•定

要用上的，其交线为AQ,故只需证8QJ4DRP可.

(1)证明，在中.8。=8.4D=4.AB=4\/5

例2.如图.在四幡IFP-/WCD中,

AD=2,.-Ui=BC=CD=l,BC//AD.=平面AM/f_L平面又•.•平面PAB±fii4ficn.fifii?，t«c平面ABCD=AB.

ARCD.工HOI平面办".nniPA.

XA4J.AD.A/)nW)=。，

J.P4_L平面从8C〃：

(2)A。。平面尸8。所成用的正弦值为手，求：.根推。-刖)的衣面枳.

【解析】

(1)取AD中点为Q,也题意可用"Q=C/>=I=Q/>=QA.二,\B±RD.

乂平面尸AA_LF面ABCD,可得8D，平面，ND_L/Ot.由城面并

直的判断定理叩町证明;

⑴证明：取A。中点为Q.

•.，花四校锥尸-ABC。中.AD=2.AB=BC=CD=\.6C〃AD,

」.AC/Q).”6C=Q。..•.四边形6CDQ为平行四边杉.

BQ=CD=\^QD^QA.

例3.m，四校雄尸-AWCD中.侧面/明。为等边三角形且率比于底面

「.ASLBD，

AHCD.=ZfiAD=ZAflC=90°.E为AO的中点.PAD.APEJ_平面A8c。，

AB\nABCD.：.PELAB:

例4,如图，在三技惟P-ABC中，平面产，记,平面心,打,平面相。.

{1}证明：PELAB；

⑵若Z\/M面枳为&•求点&到曲小C的距离.

1解析】

【分析】

⑴求证：BCJ.平面PAC：

(1)由平面色M>L平面ABCD,根据血血垂直性质定理证明/%_!.平面

(2)若AC=6C=附，求一面用A-WLC的大小.

八BCD.由此证明"J./W，

【解析】

【分析】

⑴*明:

(1)作AO1PC于0,先证ADJ.平面P8C,^ADIBC,又PA_LBC,

•.•住等边三角形MAD中.£为人£>的中点..1.PELAD.

即可证得月CJ■平面P4C：

乂；平面产人"1_平面八80干面PAOCI而AACX/tQ.PEu平面

(1)证明:

的菱形.PA^PD,平面粗。承EU取SM8C。，G为AQ边

的中点.求证：

WADIPCiI),

•.•平面PAC1平面P/K',平面PACf］平面/ADu平面小C.

H!ibW±Ti&iP0C,

(l)RGJ■平面PAD；

又•«•HCu平面PKC.则ADIBC.

(2)若PA=AB=6,求名向体PAHCI)的体枳.

又PA_L平闻ARC.8Cu平面PRC,则/认18c.又尸A.ADu平面

v【解析】

PAC,/以c/V)=A,则改'If面PAC；

【分析】

<1)利用面〃八/)J.而AHO得到M_L平面PADz

⑴证明।

V四边形ABCD是N/M8=的菱形，

，△川驻)为等边三角形，又G为AD的中点，.•."G_L4D,

又二•平面也