高考数学热点问题练习-古典概型知识归纳及例题讲解

占典概型

一、基础知识：

1、基本事件:一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。

例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基

本事件

2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该

试验的基本事件空间，用。表示。

3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为4人,…

(1)基本事件两两互斥

(2)此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设A为

“出现i点”，事件A为“点数大于3”，则事件AUA,UAUA

(3)所有基本事件的并事件为必然事件

由加法公式可得：P(Q)=P(AU&U・・,U4)=P(A)+P(4)+・・・+P(4)

因为P(Q)=I,所以尸(A)+P(4)+…+P(4)=I

4、等可能事件：如果一项试验由〃个基本事件组成，而且每个基本事件出现的

可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。

5、等可能事件的概率：如果一项试验由〃个基本事件组成，且基本事件为等可

能事件，则基本事件的概率为1

n

证明：设基本事件为AH，…4,可知P(A)=P(4)=・・・=P(4)

・・•尸(A)+P(&)+…+尸(4)=1所以可得P(A)=：

6、古典概型的适用条件：

(1)试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个

(2)每个基本事件出现的可能性相等

当满足这两个条件时.，事件4发生的概率就可以用事件4所包含的基本事件个

数〃(4)占基本事件空间的总数〃(。)的比例进行表示，即P(A)=喘

7、运用古典概型解题的步骤：

①确定基木事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基木事件，一般来说，

试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事

件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件

②"（A）,〃（。）可通过计数原理（排列，组合）进行计算

③要保证4中所含的基本事件，均在C之中，即A事件应在C所包含的基本事

件中选择符合条件的

二、典型例题：

例1：从1-6这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的

概率为________

思路：事件。为“6个自然数中取三个”，所以〃（。）=《=20,事件A为“一个

数是另外两个数的和”，不妨设a=b+c,则可根据〃的取值进行分类讨论，列

举出可能的情况：{3,2,1},{4,3,1},{5,4,1},{5,3,2},{6,5,1},{6,4,2},所以〃（A）=6。

例2：从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为3从集合8={-2,1,2}中随机

选取一个数记为"，则直线y=丘+人不经过第三象限的概率为（）

思路：设C为“女力的所有组合”，则〃（C）=3x3=9,设事件4为“直线），=H+8

不经过第三象限”，则要求上＜0力＞0,所以〃（A）=lx2=2,从而

必需H

答案：A

例3：袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球，2个白球，2个黑球。若从

袋中任取三个球，则所取3个球中至少有两个红球的概率是（）

B,葛C蔡D.II

A.2

思路：设C为“袋中任取三球”，则〃(。)=仁=35,设事件A为“至少两个红

球”，所以〃(A)=C；C+U=13,从而尸⑷二需堞

答案：B

例4：设函数〃x)=ar+上(工＞1),若4是从0,1,2三个数中任取一个，b是从

x-I

1,2,3,4,5五个数中任取一个，那么/(力＞6恒成立的概率是()

372I

A.-B.—C.-D.-

51552

思路：设事件。为从所给数中任取一个"，则〃(C)=3x4=12,所求事件

为事件A,要计算4所包含的基本事件个数，则需要确定。，力的关系，从恒成立

的不等式入手，/(力>〃恒成立，只需/(力讪>从而

X1

f(x]=ajc+----=«(x-1)+----+〃+1,当时，

')x-\V7x-1

—1)H-----FQ+1N(x-1)------F4+1=25/fl+a+1,所以当

x-1Vx-1

〃(x-l)=—!—nx=l+J，时，/(x)mjn=2\fa+a+\=^\[a4-1j,所以

x1Va

(&+1/>b,得到关系后即可选出符合条件的(a⑼：

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5)共8个,当。=0时,/(x)=l+—>1,所以(0,1)符合条件,

综上可得“A)=9,所以P(4)=嚅=|

答案：A

例5：某人射击10次击中目标3次，则其中恰有两次连续命中目标的概率为

()

思路：考虑设C为“10次射击任意击中三次”，则〃（。）=%=120,设事件A为

“恰有两次连续命中”，则将命中分为两次连续和一次单独的，因为连续与单独

的命中不相邻，联想到插空法，所以〃（A）=C；&=56（剩下七个位置出现八个

空，插入连续与单独的，共有C；种，然后要区分连续与单独的顺序，所以为）,

从而P（A）=34=2_

答案：A

例6：已知甲袋装有6个球，1个球标0,2个球标1,3个球标2；乙袋装有7个

球，4个球标0,1个球标1,2个球标2,现从甲袋中取一个球，乙袋中取两个球，

则取出的三个球上标有的数码乘积为4的概率是

思路：设C为“两个袋中取出三个球”，则MQ）=C［《=126,事件A为“三

个球标记数码乘积为4"，因为4=2x2xl,所以三个球中有两个2号球，1个1

号球，可根据1号球的来源分类讨论，当1号球在甲袋时，有C；xC；=2种，当

1号球在乙袋时，则乙袋一个1号球，一个二号球，共有有种，即

（A）=8种。则P（4）=驶=34

n

Jv7〃（Q）12663

答案：—

63

例7：四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个点，则这四个点

不共面的概率为（）

A.3B.2C.二D.”

7103570

思路：设C为“10个点中取4个点”，则〃（。）=喘=210,设事件A为“4个点

不共面”，若正面寻找不共面的情况较为复杂，所以考虑问题的对立面，即久为

“4个点共面”，由图可得四点共面有以下几种情况：（1）

四个点在四面体的面上，则面上6个点中任意4个点均共

面，则N1=4.C：=60；（2）由平行线所产生的共面（非

已知面），则有3对，即N2=3；（3）由一条棱上的三点与对棱的中点，即N2=6,

所以共面的情况M（可=60+3+6=69,所以刀（A）=刀（C）一〃（可=210—69=141,

所以尸网=招*

答案：D

例8：袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球，由甲，乙，丙三人依次各抽取

一个球，抽取后不放回，若每颗球被抽到的机会均等，则甲，乙，丙三人所得之

球颜色互异的概率是（）

1123

A.-B.-C.-D.—

43711

思路：事件C为“不放回地抽取3个球”，则〃（。）=其，基本事件为甲，乙，

丙拿球的各种情况，且将这些球均视为不同元素。设所求事件“甲，乙，丙三人

所得之球颜色互异”为事件A,则先要从白球黑球红球中各取一个（C；.C；）,

再分给三个人（三个元素全排列），所以〃（田=。卜。卜。卜4,从而

c；GC£3

尸伊）=

区11

答案：D

例9：甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为。，再由乙猜甲刚

才所想的数字，把乙猜的数字记为b,其中48£{1,2,3,4,5,6},若。=6或。=8-1,

就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率

为（）

A.—B.-C.—D.—

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