2025年人教A新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A新版高一数学上册月考试卷987考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、（）

A.（-∞；2]

B.（0；+∞）

C.[2；+∞）

D.[0；2]

2、【题文】已知集合集合则是（）A.B.C.D.3、【题文】平面∥平面是夹在与间的两条线段分别是的中点,则与的关系是()A.平行B.相交C.垂直D.不能确定4、【题文】下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A.y=2xB.y=x2﹣1C.y=D.y=5、下列函数中，增长速度最慢的是（）A.y=exB.y=lnxC.y=x100D.y=2x6、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，且其正视图为如图所示的等腰三角形，则该四棱锥的体积是（）A.B.C.D.7、已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l∥β，则α⊥βC.若l⊥α，l⊥β，则α∥βD.若l⊥α，l⊥β，则α⊥β8、扇形的中心角为150鈭�

半径为3

则此扇形的面积为(

)

A.5娄脨4

B.娄脨

C.3娄脨3

D.239娄脨2

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、直线5x-2y-10=0在y轴上的截距为____。10、设函数若则函数的零点个数有个.11、阅读程序框图，运行相应的程序．当输入时，输出的结果是____。12、【题文】若集合则=_________13、【题文】已知的解集为其中b>2a,则不等式14、【题文】圆心为且与直线相切的圆的方程是___________.15、在残差分析中，残差图的纵坐标为____评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)16、已知函数（1）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；（2）设且在上单调递增，求实数的取值范围。17、设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a；c为实数，且c≠0

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式。

（Ⅱ）设a=c=bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；

（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立；求实数c的范围．（理科做，文科不做）

18、已知：函数f（x）=ax（0＜a＜1）；

（Ⅰ）若f（x）=2，求f（3x）；

（Ⅱ）若f（2x2-3x+1）≤f（x2+2x-5）；求x的取值范围．

19、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，面积表示为ycm2；把y表示为x的函数．

20、已知增函数是定义在（－1，1）上的奇函数，其中a为正整数，且满足⑴求函数的解析式；⑵求满足的的范围;21、【题文】函数的定义域为（a为实数）；

（1）当时，求函数的值域。

（2）若函数在定义域上是减函数；求a的取值范围。

（3）求函数在上的最大值及最小值。22、计算下列各式：

（1）（式中字母是正数）；

（2）计算．23、如图所示，已知PQ

分别是正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

的面A1B1BA

和面ABCD

的中心，证明：PQ//

平面BCC1B1

．评卷人得分四、计算题(共2题，共16分)24、等式在实数范围内成立，其中a、x、y是互不相等的实数，则的值是____．25、函数中自变量x的取值范围是____．评卷人得分五、证明题(共4题，共20分)26、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．27、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．28、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．29、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)30、如图，直线y=-x+b与两坐标轴分别相交于A；B两点；以OB为直径作⊙C交AB于D，DC的延长线交x轴于E．

（1）写出A、B两点的坐标（用含b的代数式表示）；并求tanA的值；

（2）如果AD=4，求b的值；

（3）求证：△EOD∽△EDA，并在（2）的情形下，求出点E的坐标．31、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．32、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】

∵函数≥0；

而且-x2-2x+3=-（x2+2x-3）=-（x+1）2+4≤4，∴≤2；

∴0≤f（x）≤2；

故选D．

【解析】【答案】根据函数≥0，而且-x2-2x+3=-（x+1）2+4≤4；从而求得函数的值域．

2、D【分析】【解析】解方程组得

故选D【解析】【答案】D3、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】∵函数图象关于y轴对称；∴函数为偶函数，定义域关于原点对称。

∴A；C不符合，B，D符合。

∵函数在（0；+∞）上单调递增。

∴B符合；D不符合。

故选B．【解析】【答案】B5、B【分析】解：y=ex，y=x100，y=2x；随着x的增大，函数值的增长速度越来越快；

y=lnx随着x的增大；函数值的增长速度越来越慢；

故选：B．

根据基本指数函数；幂函数，对数函数的图象和特点即可判断．

本题考查了基本初等函数的增加程度，关键是掌握基本函数的图象和性质，属于基础题．【解析】【答案】B6、A【分析】解：由题意该四棱锥是底面边长为2，高为的正四棱锥；

即四棱锥S-ABCD中；底面ABCD是边长为2的正方形；

SO⊥平面ABCD，O是正方形ABCD的中心，且SO=

∴该四棱锥的体积：

V===．

故选：A．

由题意该四棱锥是底面边长为2，高为的正四棱锥；由此能求出该四棱锥的体积．

本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．【解析】【答案】A7、C【分析】解：因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的；故A，B错．

又因为垂直与同一直线的两个平面平行；故C对，D错．

故选C．

因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的；故A，B错．再利用垂直与同一直线的两个平面平行可得结论C对，D错．即可得到答案．

本题考查了面面平行和面面垂直的判定．是对基础知识的考查．【解析】【答案】C8、A【分析】解：扇形的中心角为娄脕=150鈭�=5娄脨6

所以扇形的弧长l=娄脕R=5娄脨6隆脕3=53娄脨6

根据扇形的面积公式，得所求面积S=12隆脕53娄脨6隆脕3=5娄脨4

．

故选：A

．

把扇形的圆心角换算为弧度制；利用弧度制下扇形面积公式求解即可．

本题考查扇形的面积计算，弧度制下面积公式简明，计算方便．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】【解析】试题分析：直线中令得所以在y轴上的截距为考点：截距的概念【解析】【答案】-510、略

【分析】试题分析：由可得，即令即故与的图象如下图所示，由图象易知，与的图象有4个交点.故答案为4.考点：分段函数的图象；函数的零点.【解析】【答案】411、略

【分析】【解析】试题分析：第一圈，x=y否，x>y是，所以x=16-12=4,y=12；第二圈，x=y否，x>y否，所以y=12-4=8,x=4；第三圈，x=y否，x>y否，所以y=8-4=4,x=4；第四圈，x=y是,输出y,即4.考点：本题主要考查程序框图功能识别。【解析】【答案】412、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、残差【分析】【解答】有残差图的定义知道；作图时纵坐标为残差；

横坐标可以选为样本编号；或身高数据，或体重的估计值；

这样做出的图形称为残差图．

故答案为：残差．

【分析】结合残差图的定义知道，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值．这是一个概念题。三、解答题(共8题，共16分)16、略

【分析】【解析】试题分析：解(1)对任意的实数恒成立，即恒成立，即3分所以1分（2）其中①当即时，则得--2分②当即或时，设方程的根为若则则得3分若则则得--3分综上，或1分考点：二次函数的性质；函数图像的对称变换；二次方程根的分布问题。【解析】【答案】（1）（2）或17、略

【分析】

（Ⅰ）由题设得：n≥2时，an-1=c（an-1-1）=c2（an-2-1）==cn-1（a1-1）=（a-1）cn-1．

所以an=（a-1）cn-1+1．

当n=1时，a1=a也满足上式．

故所求的数列{an}的通项公式为：an=（a-1）cn-1+1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=n（1-an）=

∴Sn=b1+b2++bn=+2•++

∴Sn=+2•+++

∴两式相减可得Sn=+++-

∴Sn=

（Ⅲ）由（Ⅰ）知an=（a-1）cn-1+1．

若0＜（a-1）cn-1+1＜1，则0＜（1-a）cn-1＜1．

因为0＜a1=a＜1，∴0＜cn-1＜（n∈N+）．

由于cn-1＞0对于任意n∈N+成立；知c＞0．

下面用反证法证明c≤1．

假设c＞1，由函数f（x）=cx的图象知，当n→+∞时，cn-1→+∞；

所以cn-1＜不能对任意n∈N+恒成立；导致矛盾．

∴c≤1；因此0＜c≤1．

【解析】【答案】（Ⅰ）根据题设条件进行恒等变形，构造an-1=c（an-1-1）；利用迭代法，即可求数列的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论求出数列的通项；利用错位相减法求和；

（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论知an=（a-1）cn-1+1．接合题设条件得0＜cn-1＜再用反证法得出c的范围．

18、略

【分析】

（1）由题意得，f（x）==2；

∴f（3x）===8；

（2）∵0＜a＜1，∴函数f（x）=ax在定义域上递减；

∵f（2x2-3x+1）≤f（x2+2x-5）；

∴2x2-3x+1≥x2+2x-5，即x2-5x+6≥0；

解得x≥3或x≤2；

故x的取值范围是{x|x≥3或x≤2}．

【解析】【答案】（1）根据题意求出再由指数的运算表示出f（3x）；整体代入求值；

（2）先由a的范围判断出函数的单调性，再由单调性将不等式转化为：2x2-3x+1≥x2+2x-5；求解即可．

19、略

【分析】

设AB=x；

则BC=

面积y=

因为直径为50cm；

所以0＜x＜50

故函数解析式为y=（0＜x＜50）

【解析】【答案】首先根据矩形的一边长为xcm；表示出另外一边的长度，然后直接列出y关于x的函数．

20、略

【分析】试题分析：(1)由函数是定义在上的奇函数,则有可求得此时又有则有即又为正整数,所以从而可求出函数的解析式;(2)由(1)可知可知函数在定义域内为单调递增(可用定义法证明:①在其定义域内任取两个自变量且②作差(或作商)比较与的大小;③得出结论,即若则为单调递增函数,若则为单调递减函数),又不等式且为奇函数,所以不等式可化为从而有可求出的范围.试题解析：(1)因为是定义在上的奇函数所以解得2分则由得又为正整数所以故所求函数的解析式为5分(2)由(1)可知且在上为单调递增函数由不等式又函数是定义在上的奇函数所以有8分从而有10分解得12分考点：1.函数解析式、奇偶性、单调性;2.不等式.【解析】【答案】(1)(2)21、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）当时符合基本不等式“一正，二定，三相等”的条件，固可用基本不等式求函数最值（2）利用函数单调性的定义求出时只要即可，转化为恒成立问题。利用求出的范围即可求得范围。（3）分类讨论时函数在上单调递增，无最小值。由（2）得当时，在上单调递减，无最大值，当时；利用对勾函数分析其单调性求最值。具体过程详见解析。

试题解析：（1）当时，当且仅当时取所以值域为

（2）若在定义域上是减函数，则任取且都有成立，即只要即可由且

故

（3）当时，函数在上单调递增，无最小值，当时，

由（2）得当时，在上单调递减，无最大值，当时，

当时，此时函数在上单调递减；

在上单调递增，无最大值，

考点：（1）函数的单调性（2）利用函数单调性求最值问题【解析】【答案】（1）（2）（3）无最大值，最小值为22、略

【分析】

（1）利用指数幂的运算法则即可得出．

（2）利用对数的运算法则即可得出．

本题考查了指数幂与对数的运算法则，属于基础题．【解析】解：（1）原式==．

（2）原式==1．23、略

【分析】

连接AB1ACB1C

由题意可得故PQ

是鈻�AB1C

的中位线，故有PQ

平行且等于12B1

C.再根据直线和平面平行的判定定理证得PQ//

平面BCC1B1

．

本题主要考查三角形的中位线的性质，直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．【解析】证明：连接AB1ACB1C

由于PQ

分别是正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

的面A1B1BA

和面ABCD

的中心；

故PQ

是鈻�AB1C

的中位线，故有PQ

平行且等于12B1

C.

而B1C?

平面BCC1B1

而PQ

不在平面BCC1B1

内，故有PQ//

平面BCC1B1

．四、计算题(共2题，共16分)24、略

【分析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到a（x-a）≥0，x-a≥0，则a≥0，而a（y-a）≥0，a-y≥0，则a≤0，得到a=0，把a=0代入已知条件中易得x=-y，然后把x=-y代入分式计算即可．【解析】【解答】解：∵a（x-a）≥0；x-a≥0；

∴a≥0；

又∵a（y-a）≥0；a-y≥0；

∴a≤0；

∴a=0；

把a=0代入已知条件则-=0；

∴x=-y；

∴原式==．25、略

【分析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解析】【解答】解：根据题意得：x-4＞0；

解得：x＞4．

故答案为x＞4．五、证明题(共4题，共20分)26、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．27、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．28、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=29、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=六、综合题(共3题，共12分)30、略

【分析】【分析】（1）在解析式中分别令x=0与y=0；即可求得直线与y轴，x轴的交点坐标，即可求得OA，OB的长度，进而求得正切值；

（2）利用切割线定理，可以得到OA2=AD•AB，据此即可得到一个关于b的方程，从而求得b的值；

（3）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得两个三角形相似．【解析】【解答】解：（1）∵当x=0时，y=b，当y=0时，x=2b；

∴A（2b，0），B（0，b）

∴tanA===；

（2）AB===b

由OA2=AD•AB，得（2b）2=4•b，解得b=5；

（3）∵OB是直径；

∴∠BDO=90°；

则∠ODA=90°

∴∠EOC=∠ODA=90°；

又∵OC=CD

∴∠COD=∠CDO

∴∠COD+∠EOC=∠CDO+∠ODA

∴∠EOD=∠EDA

又∵∠DEA=∠OED

∴