讲解值定理与导数应用教材课程

中值定理

洛必达法则

泰勒公式

函数的单调性和极值

函数图形的描绘

平面曲线的曲率第

章3值定理与导数应用

在中13.1.2罗尔(Rolle)定理3.1.3拉格朗日(Lagrange)定理3.1.4柯西(Cauchy)定理3.1中值定理

3.1.1费马(Fermat)引理23.1.1费马(Fermat)引理问题的引出首先，让我们来观察这样一个几何事实：如图所示C连续曲线弧是函数如果

,我们看到在曲线弧的最高点C处或最低点处，曲线有水平切线．为，则有的图形,设C点的横坐标进一步,当时,曲线弧ab上,至少有一点C,C又看到使得弧ab在该点处的切线平行于弦ab.3定义3.1.1使得对一切属于该邻域的(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点极大值与极小值统称极值5费马(Fermat)引理且存在证明设则6注(1)7罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证明故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点3.1.2、罗尔(Rolle)定理8若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注(1)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如则由费马引理得9使(2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.10(3)罗尔定理的几何意义如果连续曲线弧除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且端点处的纵坐标相等，上至少存在一异于A、B的点C，使在该点的切线平行于x轴（平行于弦AB）

则11例如

12例1证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证明1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设13例2

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.证明设欲证:使只要证亦即作辅助函数显然在上满足罗尔定理条件.14求证存在使例3设可导，且在连续，证明因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得15例4设

均在[a,b]上连续,（a,b）内可导，且有f（a）=g（a），f（b）=g（b）。求证存在ξ∈（a，b）使证明令，[a,b]上连续,（a,b）内可导，在[a，b]上满足罗尔定理的条件，则由题设知在且有故存ξ∈(a，b)使得163.1.3拉格朗日(Lagrange)定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕17注(1)定理证明中用到的辅助函数不是唯一的如还可改成同样可以证明.(2)此定理的几何意义是:可微函数在开区间内至少有一点处的切线平行于两个端点的连线．(3)拉格朗日中值定理还有如下表示形式：

18可以看出,拉格朗日定理将函数在有限区间上的推论若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.也称为有限增量形式.

从式增量和这一区间上某点处的导数联系起来,用导数研究函数的理论依据从而提供了

式19例5证明等式证明设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.经验欲证时只需证在I上20例6证明不等式证明设中值定理条件,即因为故因此应有21例7

证明当x>1时，ex＞ex

。满足拉格朗日定理的条件,即ex－ex

－0

=(eξ－e)(x

－1)

1＜ξ＜x

于是有证明令x－1＞0，则存在ξ∈（1，x）使223.1.4柯西(Cauchy)定理分析及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证23证明作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点:柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.思考24柯西定理的几何意义:注弦的斜率切线斜率2526例8设至少存在一点使证明结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明27例9试证至少存在一点使证明

法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:28例9试证至少存在一点使法2

令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在29小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理30思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程312.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设32费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.33拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.34柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,