福建省南平市水源中学2021年高三数学理期末试题含解析

福建省南平市水源中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围()A．(－1,2)

B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)

D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)参考答案：B2.已知函数为奇函数，，则=（

）A、3

B、6

C、9

D、12参考答案：B3.设函数若互不相等的实数p，q，r满足则的取值范围是（

）A.(8,16)

B.(9,17)

C.(9,16)

D.参考答案：B4.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．6.函数的图象大致为（

）参考答案：A略7.甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（

）A．甲和乙不可能同时获奖

B．丙和丁不可能同时获奖

C．乙和丁不可能同时获奖

D．丁和甲不可能同时获奖参考答案：C8.如图，已知点是抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切，且与轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径为（

）A．

B．5

C．

D．4参考答案：D由抛物线定义得与轴的两个交点必有一个为焦点（1，0），所以另一个交点为（5，0）.因此选D.

9.已知为上的可导函数，当时，，则关于x的函数的零点个数为（

）

A．1

B．2

C．0

D．0或2参考答案：C10.已知全集U=R，A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤2}参考答案：D【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】阴影部分所表示的集合为B∩CUA，解不等式求出集合A，可得答案．【解答】解：阴影部分所表示的集合为B∩CUA，∵A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＜﹣1，或x＞4}，U=R，∴CUA={x|﹣1≤x≤4}，又∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴B∩CUA={x|﹣1≤x≤2}，故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知各项均不为零的数列，定义向量。下列命题中真命题是A.B.C.D.参考答案：D12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝2A，cosA＝，b＝5，则

△ABC的面积为

；参考答案：略13.已知等边△ABC边长为6，过其中心O点的直线与边AB，AC交于P，Q两点，则当取最大值时，

.参考答案：

设，在中，，，在中，，，，当，即时，有最大值，此时，故答案为.

14.设双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最小值为．参考答案：﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程，然后把这两个方程和直线构成三个方程组，解这三个方程组的解，得到三角形三个顶点的坐标，把这三个顶点坐标分别代入目标函数z=x﹣2y得到三个值，其中最小的就是目标函数z=x﹣2y的最小值．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线是y=±x，解方程组，，得到三角形区域的顶点坐标是A，B，C（0，0）．∴，，zC=0．∴目标函数z=x﹣2y的最小值为．答案：．点评：把三角形区域三个顶点坐标分别代入目标函数z=x﹣2y得到三个值，其中最小的就是目标函数z=x﹣2y的最小值．15.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于

．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=﹣1．双曲线（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=±x．利用渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，可得=1，即可得出双曲线的离心率．解答： 解：由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=﹣1．由双曲线（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=±x．x=﹣1时，y=±，∵渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，∴=1，∴=1∴双曲线的离心率为e===故答案为：．点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于基础题．16.设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的渐近线方程为

▲

．参考答案：略17.已知R为实数集，集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4﹣x）＜0}，则A∩（?RB）=

．参考答案：{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（?RB）即可．【解答】解：集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4﹣x）＜0}={x|x（x﹣4）＞0}={x|x＜0或x＞4}，∴?RB={x|0≤x≤4}∴A∩（?RB）={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望E.参考答案：解析：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：（2）19.已知函数.（Ⅰ）从区间内任取一个实数，记“函数在区间上有两个不同的零点”为事件，求事件发生的概率；（Ⅱ）若连续掷两次正方体骰子得到的点数分别为和，记“在恒成立”为事件，求事件发生的概率.

参考答案：解：（Ⅰ）函数在区间上有两个不同的零点，，即有两个不同的正根和

………4分

…………6分（Ⅱ）由已知：，所以，即，在恒成立

……

……………8分当时，适合；

当时，均适合；

当时，均适合；满足的基本事件个数为.………………10分而基本事件总数为，……………11分.

………………………12分略20.已知点集,其中为向量,点列在点集中,为的轨迹与轴的交点,已知数列为等差数列,且公差为1,.(1)求数列,的通项公式;(2)求的最小值;(3)设,求的值.参考答案：解:(1)由,,得:…(2)

即

为的轨迹与轴的交点,

则

…(3)数列为等差数列,且公差为1,,

……………(4)代入,得:

……………(5)(2),,

……………(8),所以当时,有最小值,为.

…(9)(3)当时,,

得:

…………(10),

……………(12).

…………(14)略21.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，2Sn=（n+1）an﹣2．（Ⅰ）求a2，a3和通项an；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=an?2n﹣1，求{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）a1=1，当n≥2时，2Sn=（n+1）an﹣2．可得2（1+a2）=3a2﹣2，解得a2，a3．当n≥3时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1），化为：．即可得出．（Ⅱ）由（I）可知，bn=an?2n﹣1，bn=．即可得出．【解答】解：（I）a1=1，当n≥2时，2Sn=（n+1）an﹣2．∴2（1+a2）=3a2﹣2，解得a2=4．同理可得：a3=6．当n≥3时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）an﹣2﹣（nan﹣1﹣2），化为：．∵=2，a1=1，∴=…==2．∴n≥2时，an=2n．故an=．（Ⅱ）由（I）可知，bn=an?2n﹣1，bn=．所以当n=1时，Tn=b1=1．当n≥2时，Tn=b1+b2+…+bn=1+2×22+3×