2016高考-东宝一轮-数理-讲义7

数学A（理）§7.2一元二次不等式及其解法第七章不等式基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分1.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根

有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集

_______{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1<x<x2}∅∅2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}

(x－a)·(x－b)<0

__{x|b<x<a}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}{x|a<x<b}∅口诀：大于取两边，小于取中间.思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若ax＋b>0，则x>－

.(

)(2)不等式－x2－5x＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}.(

)(3)不等式

≤0的解集是[－1,2].(

)(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(

)×√×√(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)××题号答案解析1234

AAC解析由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，例1

求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－3>0；解因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，题型一一元二次不等式的解法又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.解

若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.思维升华含有参数的不等式的求解，

往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首

先确定二次项系数是否为正

数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.跟踪训练1

跟踪训练1

则不等式2x2＋bx＋a<0即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2<x<3}.(－2,3)解

例2

设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；题型二一元二次不等式的恒

成立问题解析思维升华要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0；⇒－4<m<0.所以－4<m≤0.解析思维升华例2

设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；题型二一元二次不等式的恒

成立问题解析思维升华例2

设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；题型二一元二次不等式的恒

成立问题对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.解析思维升华例2

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.例2

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即有以下两种方法：思维升华解析例2

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，思维升华解析例2

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.思维升华解析例2

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.思维升华解析例2

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.思维升华解析解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.例2

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.思维升华解析跟踪训练2

(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(

)A.[－1,4]

B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2,5]解析x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.A(2)已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(

)A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1,3)解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，(2)已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(

)A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1,3)易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程解得x<1或x>3.C解析题型三一元二次不等式的应用例3

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加

x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；思维升华题型三一元二次不等式的应用例3

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加

x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；思维升华所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2].解析求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.题型三一元二次不等式的应用例3

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加

x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；思维升华解析(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.题型三一元二次不等式的应用例3

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加

x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；思维升华解析(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.题型三一元二次不等式的应用例3

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加

x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；思维升华解析例3(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.解析思维升华解析思维升华例3(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，解析思维升华例3(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.解析思维升华例3(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.解析思维升华例3(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.跟踪训练3

某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________.解析由题意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去).∴x≥20，即x的最小值为20.20思想与方法系列10

转化与化归思想在不等式中的应用解析思维点拨温馨提醒典例：(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.考虑“三个二次”间的关系；解析思维点拨温馨提醒解析温馨提醒思维点拨②解析温馨提醒答案

9思维点拨解析温馨提醒本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.思维点拨(2)已知函数f(x)＝

，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________.解析思维点拨温馨提醒(2)已知函数f(x)＝

，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________.将恒成立问题转化为最值问题求解.解析思维点拨温馨提醒(2)已知函数f(x)＝

，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________.解析思维点拨温馨提醒即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立.(2)已知函数f(x)＝

，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是_________.解析思维点拨温馨提醒而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴实数a的取值范围是{a|a>－3}.{a|a>－3}(2)已知函数f(x)＝

，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________.注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别.解析思维点拨温馨提醒方法与技巧1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情形转化为a>0时的情形.2.f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想.3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解.失误与防范1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.23456789101234567891011.函数f(x)＝

的定义域为(

)A.[－2,1]

B.(－2,1]C.[－2,1) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)B23456789101A.(－3,1)∪(3，＋∞) B.(－3,1)∪(2，＋∞)C.(－1,1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1,3)集是(

)解得－3<x<1或x>3.A3.设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c等于

(

)A.1∶2∶3 B.2∶1∶3C.3∶1∶2 D.3∶2∶1解析

∵－c<ax＋b<c，又a>0，2345678910123456789101∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，答案

B234567891014.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(

)A.(－2,2] B.(－2,2)C.(－∞，－2)∪[2，＋∞) D.(－∞，2]解析原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①当m＝2时，对任意x不等式都成立；②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2<m<2，综合①②，得m∈(－2,2].A5.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是(

)A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}解析由题意知a＝0时，满足条件.23456789101D34567891012{x|x<－lg2}34567891012345678910128.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_________________.解析由已知得f(0)＝0，当x<0时，解得：x>5，或－5<x<0.(－5,0)∪(5，＋∞)345678910129.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；解

∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，34567891012(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a、b的值.解

∵f(x)>b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，10.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；解

降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，3456789101234567891012收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%34567891012(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解

原计划税收为200a·10%＝20a(万元).化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又