湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 含答案

【新结构】2023-2024学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则(

)A. B. C. D.2.在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

)A.若，，则

B.若，，则

C.若，，则

D.“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件4.设，则关于x的不等式有解的一个必要不充分条件是(

)A. B.或 C. D.5.在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别满足，，设，，若，则(

)A. B. C. D.6.在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空保留表面，不计厚度后放入一个球，则该球最大半径为(

)A.1 B. C. D.7.矩形的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的最大面积为(

)A. B. C. D.8.定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是(

)

A.考生参赛成绩的平均分约为分

B.考生参赛成绩的第75百分位数约为分

C.分数在区间内的频率为

D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人10.已知向量，，，则下列说法正确的是(

)A.若，则 B.在上的投影向量为

C.若与的夹角为锐角，则 D.若要使最小，则11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥设，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是(

)

A.在翻折过程中存在某个位置，使

B.当时，AD与平面ABC所成角的正弦值为

C.在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2

D.当时，的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角满足，则__________.13.已知函数，则关于x的方程的不等实根的个数为__________.14.在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题12分已知关于x的不等式若，求不等式的解集;解关于x的不等式.16.本小题12分

如图，在梯形ABCD中，，，，E为线段BC中点，记，

用，表示向量求的值;求与夹角的余弦值.17.本小题12分如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，面PAB，且的面积为求证：面当四棱锥的外接球体积最小时，求平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值.18.本小题12分已知函数，若函数在上恰好有两个零点.求函数的单调递增区间;当时，关于x的方程有两个不同的实根，求实数m的取值范围;在中，设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中，，，的角平分线交BC于D，求线段AD的长度.19.本小题12分已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，，，使得其中，2，，n，，则称为的“n重覆盖函数”.判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值;如果不是，请说明理由;若为的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围;若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围.

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．

化简集合A，B后由交集定义可得答案．

【解答】解：A集合表示函数的定义域，则，

B集合表示函数的值域，则

故故选2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的运算，属于基础题.

由题意，设，且，，而，进一步分析即可得点在第四象限.

【解答】解：

设其中，，，，则在第四象限.故选3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查空间中的线、面位置关系，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

利用空间中线、面平行、垂直关系，结合充分、必要条件的定义逐个判断即可.

【解答】

解：

对于A、若，，则或，故A错误；

对于B、若，，则，故B正确；

对于C、若，，则或与相交，故C错误；

对于D、直线a，b不相交，则直线a，b平行或异面，

故“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的必要不充分条件，故D错误4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式存在性或恒成立问题，考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．

根据二次函数的判别式求解“关于x的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可．【解答】解：

有解，即对于方程的，则可知D选项为一个必要不充分条件，故选5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查向量的线性运算及数量积运算，属于基础题.

求出，利用，结合数量积为零得出结论.

【解答】解：

，，由，得，即得，则C选项正确.6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查球的表面积、球的切、接问题、棱柱的体积，属于中档题.

利用球的表面积公式求出球半径，根据将此三棱柱掏空后放入一个球，该球最大半径为

内切圆半径，利用等面积法求出

内切圆半径即可.

【解答】

解：设BC，中点为D，中点为，中点为O，

外接球球心在中点O处，

设，，，

该三棱柱的体积为，，

，，

该三棱柱的外接球表面积为，

外接球半径，即，，，

，，

底面ABC内切圆半径，

，因此该球最大半径为

7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题．

设，，，则，，再根据为直角三角形，得出a关于x的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于x的表达式，再利用基本不等式可得的面积的最大值．【解答】

解：设，，，则，，

在中，，可知

故选8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查抽象函数的函数单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.

求出

的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将

转化为

的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出

a

.

【解答】

解：定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，在上单调递减，

在上单调递增，

所以越靠近对称轴函数值越小，

由得，

由于，所以，

可得，即时恒成立，

可得，

由于在时单调递增，，

在时单调递减，，

则实数a的取值范围9.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，考查百分位数，平均数的求法，考查分层随机抽样，属于简单题.

计算平均值得到A，计算第75百分位数得到B正确，分数在区间

内的频率为

，

C正确，区间

应抽取

60

人，D错误，即得到答案.【解答】解：对选项A：平均成绩为

，A错误；对于选项B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内，

则第75百分位数为，B正确;对选项C：分数在区间

内的频率为

，C正确；对选项D：区间

应抽取

人，D错误.10.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了向量的坐标运算，向量平行与垂直的性质，以及投影向量，属于中档题.根据向量的坐标运算，向量平行与垂直的性质，以及投影向量逐一判定即可.【解答】

解：对于因为，，所以

又，且，所以，解得：，故A正确;

对于因为，，

所以|，|，

所以在上的投影为|，

所以在上的投影向量为，故B正确;

对于由与的夹角为锐角，可知且，故C错误;

对于由，

|，

可知时取最小值，故D正确.

故选11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查了直线与直线垂直、直线与平面所成的角和多面体表面上的最短距离问题，是中档题.

根据直线与直线垂直、直线与平面所成的角和多面体表面上的最短距离问题逐一判定即可.

【解答】

解：

对于当平面平面BCD时，，

证明如下：因为平面平面BCD，平面平面，，平面BCD，

则平面ABC，因为平面ABC，所以，故A正确，

对于当时，平面平面BCD，则平面ABC，

所以是直线AD与平面ABC所成的角;

此时，，则，故B错误;

对于当三棱锥体积取得最大值时，平面平面BCD，

即AE是三棱锥的高，，故C正确;

对于当时，因为F为BD的中点，所以，则，

又因E为BC的中点，所以，

又，所以，所以，

如图将沿AE旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，

则当C，M，三点共线时，最小，即的最小值为，

在中，，

则，

所以在中，由余弦定理得，

所以的最小值为，故D正确，

故选12.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了诱导公式和同角三角函数关系，是基础题.

由诱导公式得，再由同角三角函数关系可得结果.

【解答】

解：因为，

所以，

所以，

，

，

13.【答案】2

【解析】【分析】本题考查分段函数与复合函数的应用，考查方程的根的个数问题，属于中档题．

方法一：分情况讨论解方程即可.

方法二：画出图象，数形结合即可得解.【解答】

解：方法一：由题意得，

①时，，即，

即时，解得，符合题意；

时，解得，舍；

②时，，即，

时，解得，舍；

时，，解得，符合题意.

综上，关于x的方程的不等实根为和，共2个，

故答案为

方法二：图象如图，

令，则，

由图可得或，即或，

由，数形结合可得与和分别有1个交点，

故与分别有1个根，

故关于x的方程的不等实根有2个，

故答案为14.【答案】

【解析】【分析】

本题考查正余弦定理及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题.

首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到

，由三角函数性质可得结果.

【解答】

解：因为，

，

所以，

即

即，

解得

或舍去，

可得，

，

，

因为是锐角三角形，

，，

可知当时取得最大值，

当时取得最小值，

所以取值范围为15.【答案】解：，，，

当时，可得解集为或

对应方程的两个根为a，，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为或，

当时，原不等式的解集为或

【解析】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．

将代入解不等式即可；

因为对应方程的两个根为a，，分、、三种情况解不等式即可．16.【答案】解：；

；

，

【解析】本题考查了平面向量的线性运算、向量的夹角和向量的数量积，是基础题.

由向量的运算可得结果；

由向量的数量积可得结果；

由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.17.【答案】证明：面PAB，面PAB，，

又，，BC、面ABCD，面ABCD，

CD在面ABCD内，，

是正方形，，

又，AD、面PAD，面

设，，

设四棱锥的外接球的半径为R，

则

当且仅当，即，取等号

过B作交PC于H，连接DH，

则为平面PCD与平面PBC所成的二面角.

，，

，

平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值为

【解析】本题考查线面垂直的判定及二面角的余弦值，属于中档题.由条件结合线面垂直的判定即可证得；

设，，设四棱锥的外接球的半径为R，则结合基本不等式可求得，，，过B作交PC于H，连接DH，则为平面PCD与平面PBC所成的二面角，结合余弦定理可求得平面PCD与平面PBC所成