高三艺术生数学一轮复习-集合与简易逻辑讲义

第二章、集合与常用逻辑用语

2.1集合

一、集合的概念

I.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

2.集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为“w”

或屁”.

3.常见集合字母表示：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零〕（2）正整数集N*

或N+

（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）（4）有理数集。（5）实数集K

【例1】已知集合A=B=则集合C={。-UaiAbjB}中元素的

个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【解析】当4=1时，6=1、0、-1,则。―6=0,1,2；当。=一1时，b=l、0、-1,则

a-b=-2-\,0,集合。={々一如£4疝£3}={-2,-1,0,1,2}即元素的个数为5个，故

选D.

【变式探究1】

⑴设集合A={1,2,3},B={2.3,4}，M={x/x=ab,aeAybeB},则M中的元素

个数为（）

A.5B.6C.7D.8

（2）己知集合A={〃?+2,2M+〃?},若3W4,则小的值为.

（3）己知若集合＜。,，,1}={/,。一上0},则。刈9+/019的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

二、集合间的关系

描述关系文字语言符号语言

集合间相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B

的基本子集A中任意一元素均为B中的元素A^B

关系A中任意一元素均为B中■•的元素，且B中至少有

真子集AiB

一个元素A中没有

空集是任何集合的子集0口B

空集

空集是任何非空集合的真子集

★注:子集个数的运算方法:若集合A有〃个元素，则集合A的子集有2”个，真子集有2"-1个

【例2】设集合A={X£Z/|A|<2},B={y/y=\-x2},则的子集个数为（）

A.4B.8C.16D.32

【解析】分析：求出集合人出，得到4CIB,可求4nB的子集个数

详解：•・,A=卜工Z/NW2}={xqZ/-2<x<2}={-2-1,0,1,2）,

B={y/y=l-x2}={Wy〈i},所以人口8={-2,-1,0,1},人口8的子集个数为24=16，

故选C

【变式探究2】

1、设集合M={2,—2},7V=bl<2,则下列结论正确的是（）

A.NJMB.MJNC.NCM={2}D.NCM;R

2、已知集合加=口£©1夕刍1},若集合例有4个子集，则实数加=（）

A.1B.2C.3D.4

3、已知集合P={珏？=1},。=国"=1},若QUP,则。的值是（）

A.IB.-1

C.1或一1D.0,1或一1

4、已知集合4=国一2q05},B={x\tn—6<x<2in—1）,

（1）若求实数m的取值范围.

（2）若B£A,求实数m的取值范围.

5.已知4={“£邓<一2或x>3},B={x^R\a<x<2a-\],若匹A,求实数。的取值范围.

三、集合运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合A的补集

符号表示AUBAC\B

为CbA

图形表示

意义{Mxw){AIXGAMXGB}CuA={x\xeU§.x^A]

AC\A=A,A\JA=A,d(QA)=A

性质AC10=0,A\J0=A,C/=0,

A^B=B(\AA\JB=B\JAG；0=U

★重要结论：AriB=AoAqB,A^B=A^>B^A

【例3】已知全集U=R,集合A={x/3VxV7},B=k/x2-7x+10V0},则=

()

A.(-oo,3)U(5,+<»)B.(-OO,3)U[5,4<X))

C.(Y,3]U[5,+CO)D.(—,3]U(5,+oo)

【解析】分析：解一元二次不等式求得集合B,之后应用交集中元素的特征，求得AC1B,

再根据全集R，求出CJACIB),从而求得结果。

详解：由X2-7X+10<0可得2<x<5,所以B={x|2<x<5},从而可求得

A(y\B={x/3<x<5},所以Q(AnB)=(—8,3)U[5,+8),故选B

【变式探究3】

(1)已知集合人={-2,-1,0,1},B=(x|(x+l)(x-3)<0},则)

A.{-1,0,1}B.{0,1(C.{0}D.{-2,-1}

(2)集合A={x|2x-l>0},B={X\X2-2X-3<0],则()

A.='x|—<x<3>B.AflB=<x|—<x<1>

I2J2

C.AUB={x|-l<x<3}D.AU8={x|x>g}

(3)设集合U={-2,7,0,1,2},A=1卜2>imcu},贝|jc必二()

A.{-2,2}B.{-U}C.{-2,0,2}D.{-1,0,1)

(4)设集合4=卜/卜一1|22},B={x/y=】g(—为一3),x,ywR},则API8=()

A.(-4,+8)B.[-4,+oc]C.(-oo,-3)D.(-oo,-3)u[3,+oo]

(5)设集合M={x|d-x-2>0},N={x|Tw0,xeZ},则MflN的所有子集个数

x+1

为()

A.3B.4C.7D.8

(6)若集合M={x|x2_Ux+24<0},A^=|x|^y<o1,则〃riN=()

A.(I,8)B.[1,8)C.(3,7]D.(3,7)

2.2简易逻辑

一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.表述形式：若p,

则q,

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

二、全称命题、特称(存在)命题及其否定

1.全称命题

(1)短语”所有的工”任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“V”表示.

(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.

(3)全称命题“对A7中任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记为：,

读作：“对任意x属于M,有〃(x)成立“

2.存在命题

(1)短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号"三'

表示.

(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.

(3)特称命题“存在M中的一个沏，使p(xo)成立"可用符号简记为：八。£”,〃(如，

读作：“存在•个xo属于例，使加M))成立“

3.含有量词的命题的否定：

命题命题的否定

VxWM,p(x)非p(xo)

3xo^M,pixo)VxWM,非p(x)

4.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:

正面词语等于(=)大于(>)小于(v)是都是

不小于

否定词语不等于(分不大于(W)不是不都是

(2)

正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定

否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定

【例6】1、命题"Vxw(l,+oo),log2》=x-l”的否定是()

A.VXG(1,-KO),log2x^x-1B.3XG(1,+CO),log2x^x-1

C.3XG(1,+OO),log2x=J-1D.曾任(L+oo),log2x*x-1

【解析】全称命题的否定为特称，所以“VxU(l,+8),U>g2X=X-l”的否定是

“£(1,+00),log2xwx-1故选B.

2、命题"Hr£{x|x£Z},k)g2X>0"的否定是.

【解析】该命题的否定：VxG{x|xeZ},log2x<0

【变式探究3】

1、已知命题〃：Vxrx2eR,(/(x2)-/(Xj))(x2-X))>0,则「〃是()

A.,x2eRt(/(^2)-f(x1))(x2-X1)<0B.V%,x2eRf

-

(/U2)f(%))(i—X)彳。

C.Hr】，x2eRf(f(x2)-f{xx))(x2-^)<0D.Vx】，X2ERf

(/(W)-/a))(々-%)v。

2、命题〃:玉1o〉]，使得/2-2/<1,则一p是.

3、命题p：”若£>0,则/-40”，QiJ「p是.

4、若命题“三工£氏/一工+〃<0，，是假命题，则实数。的取值范围是..

三、充分条件与必要条件

(1)若〃=>/pq,则。是4的充分不必要条件;

(2)若〃合■4，pUq,则〃是。的必要不充分条件;

(3)若p=>q,q>p,则〃是。的充要条件;

(4)若p令q,p今q,则"是了的既不充分也不必要条件;

(5)若p是g的充分不必要条件，则'〃是「。的必要不充分条件.

【例7】1、)>[”是“1叫(*2)〈0,,的()

A.充要条件B.充分不必要条件C..必要不充分条件D.既不充分也

不必要条件

【解析】,og'v++2>1AX>—1,故正确答案是分不必要条件，故选B.

2、“4b”是“o/Abc2”的（）

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【解析】当。>6时，若。2=0,则or24c2,所以a>b分加>尻2；当ac2>儿?2时，c2

WO则。，所以讹2>加2舒心友即%>b”是“aAb?”的必要不充分条件，故选

B.

【变式探究4】

⑴若aWR,则“a=F'是"⑷=1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分

又不必要条件

（2）设xeR,则“2—尤之0”是"|工-1区1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必

要条件

11

（3）ux>2n是“，巧”的条件.

（4）已知P：关于x的不等式x2+2ax-a>0的解集为R,小一1va<0,则p是q的（）

A.充分不必要条件.B.必要不充分条件C.充要条件.D.既不充分也不

必要条件.

（5）下面四个条件中，使a>力成立的充分而不必要的条件是（）

A.a>b-h1B.a>b—1C.a2>b2D./

（6）命题”任意[1,2],炉一把。，，为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>4B.a<4C.a>5D.a>3

（7）若“%>2谒・3”是的必要不充分条件，则实数二的取值范围是)

C.[1,2JD.[-l,2]

习题：第二章、集合与常用逻辑用语

2.1集合

1.（2022•全国甲（理））设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合

A={-l,2},B={x|X2-4^+3=0),则①(4DB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0|

2.(2022•全国甲(文))设集合A={-2,-l,0,l,2},5={x|0Kx<g},则AQB=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0)C.{0,1)D.{1,2(

3.(2022•全国乙(文))集合A/={2,4,6,8,10},N={x|Tvxv6},则A/C|N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.

{2,4,6,8,10}

4.(2022•全国乙(理))设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足={1,3},则()

A.2eMB.3eMC.D.

5.(2022•新高考1卷)若集合M={x|«<4},N={x\3x>\}f则”C|N=()

A.{x|0<x<2|B.*.¥-<%<2>C.{x|3<x<16}D.

3

«^—<x<16>

3

6.(2022•新高考2卷)已知集合4={-1,1,2,4},3=,卜一1区1},则4B=()

A.{-1,2}B.{152}C.{1,4}D.{-1,4}

7.（2022•北京卷Tl）已知全集。={/|一3<1<3},集合4={乂-2<1《1},则（)

A.(-2,1]B.(-3,-2)J[1,3)C.[-2,1)D.

（-3,-2]U（l,3）

8.（2022•浙江卷Tl）设集合A={1,2},B={2,4,6},则AD8=（）

A.{2}B.{1,2）C.{2,4,6}D.

（1,2,4,6）

9.（2021年全国甲卷文）设集合M={L3,5,7,9},N={x|2x>7},则"AN=（）

A.{7,9}B,{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

10.（2021年全国甲卷理）设集合M={R0<x<4},N=«>,则=（）

A.JxO<x<—D.'x

—<x<4■

I33

C.1x|4<x<5}D.1x|0<x<5}

11.（2021年全国乙卷文）已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则

加（M|JN）=（）

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

12.（2021年全国乙卷理）已知集合5=卜卜=2〃+1,〃£2},T="k=4〃+1,〃EZ},

则5口7=（）

A.0B.SC.TD.Z

13.（2021年全国新高考I卷）设集合A={x\-2vx<4},4={2,3,4,5},则A。3=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4）

14.（2020•北京卷）已知集合A={-l,0,l,2},A={x|Ovxv3},则（）.

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}

15.（2020•全国1卷）设集合A={小2-4戌},8={x|2x+后0},且AnB={M-2-l}，

则a=（）

A.-4B.-2C.2D.4

16.（2020•全国2卷）已知集合（7={-2,-1,0,1,2,3）,A={-1,0,1},B={1,2},

则Qr(A」B)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3)C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,

0,2,3}

17.(2020唆国3卷)已知集合A={(x,y)|x,yeN",yNx},B={(x,y)|x+y=8},则4B

中元素的个数为()

A.2B.3C,4D.6

18.(2020•江苏卷)已知集合从={-1,0,1,2},8={0,2,3},则二.

19.(2020•新全国1山东)设集合A={R1*3},B={x|2<x<4),则AU4=()

A.{x|2V烂3}B.{x|2<x<3}C.{x|l<r<4)D.{x|l<x<4J

20.(2020•天津卷)设全集U={-3,-2,0,1,2,3}，集合4={-1,0,1,2),B={-3,0,2,3},

则Af|也5)=()

A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.

{-3,-2,-1,1,3}

21.(2020•浙江卷)已知集合P={x|lvx<4},Q={2<xv3},则P-Q=()

A.{x|l<x<2}B.{x|2<x<3)

C.{x|3^x<4)D.{x|l<x<4)

22.(2019年高考全国I卷】已知集合M={x|-4<xv2},N={x|/一％—6<0},则

M(}N=()

A.{x|-4<x<31B.{x\-4<x<-2\C.{x|-2<x<2}

D.{x|2<x<3}

23.【2019年高考全国H卷】设集合A={x|f—5x+6>0},B={x|x-l<0),则APIS;()

A.(TO,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+co)

24.【2019年高考全国HI卷】已知集合A={—1,0,1,2},8={刈/工］},则()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

25.【2019年高考天津】设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={XER|1WXV3},则

(AnC)U8=()

A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

26.[2019年高考浙江】已知全集。={一1,0,1,2,3},集合A={0,l,2},B=

则(电A)r)3=()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{TO,1,3}

27.(2018-eI)已知集合人;卜产一工一？>。},则gA=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<21

C.1x|x<-l}.

28.(2018•卷I)已知集合A={0,2},B={-2f-1,0,1,2},则An§=()

A.{0,2)B.{1,2}C.{0}D.{-2,2}

29.(2018•卷II)已知集合4={1、3、5、7},B={2.3、4、5),则AflB=()

A.⑶B.{5}C.{3、5}D.[1、2、3、4、5、7}

30.(2018•卷II)已知集合A=|(xy)|x2+y2<3,XGZ,yeZ|.则A中元素的个数为()

A.9B.8C.5D.4

31.(2018•卷HI)已知集合4=",一120},B={0,1,2},则4n8=()

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

32.(2018•北京)已知集合A={4r|v2},B={-2,0』,2},则AnB=()

A.(0,1)B.(-1,0,1)C.{-2,0,1,2}D.{-10,1,2}

33.（2018•北京）设集合人={（先丁）卜一）之1,公+>>4,工一。了《2},贝ij（）

A.对任意实数a,(2,l)eAB,对任意实数a,(2,l)eA

2

C.当且仅当aVO时，(2,l)eAD.当且仅当好一时，(2,1)任A

3

34.(2018•天津)设全集为R,集合4={H()VX<2},8={x\x>i},则(C*)=()

A.1x|0<x<ijB.1x|O<x<1}C.1x|l<x<2^

D.{x|0<x<2}

35.(2018•天津)设集合A={1,2,3,4},8={-1,023},C={xeR\-l<x<2]t则

(AUB)AC=()

A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}

36.(2018•浙江)已知全集U二{1,2,3,4,5),A={1,3},则G7A=()

A.0B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

37.(2018•江苏)已知集合A={0,1,2,8},8={-1,1,6,8},那么AflB二.

38.(2017全国I卷汜知集合A={x|xvl},B={x|3r<lb则()

A.A「5={x|x<0}B.A|JB=RC.AUB={x|x>l)

D.=0

39.(2017全国II卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=o}.若ACIB={1},则8=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

40.(2017全国HI卷)已知集合A=b，y)p+y2="B={(x,y)|y=x},则AClB中元素的个

数为()

A.3B.2C.1D.0

41.(2017浙江卷)已知「二{可-14<1},。={川-2<¥<0},则/>。=()

A.(-2,1)B.(-1,O)C.(O,1)D.(-2,-D

42.已知集合A=3(x+4)(x+5)《)},5={My=ln(x+2)},则4n(C/)=()

A.(—co,—4)B.[—5,+00)C.[—5,—4]D.(—5,—4)

43.设集合/={M—3a<3,xez}.A={1,2),B={-2,-1,2),则AC(C/8)=

44、已知集合4=以£%|3・2工>0},8=卜次2«4},则()

A.{x|-2<x<l}B.{x\x<2}C.{0,1}D.{1,2}

45、若集合M=gy=lg^^},N={x|xv1},则MJN二()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-oo,2)D.(0,+8)

46、若集合A={x||x区LxeR},3={y|y=f,x£R},则AC)B=)

A.{x|-l<x<l}B.{x|x>0}C.{x|O<x<l}D.0

47、设集合A={x|4x-x2<o},3={y|yNO},则4门6=（）

A.0B.（0,4）C.（4收）D.（0,-K»）

48、已知集合A二卜2-2},B二b,/一3},若4nB二12},则实数〃的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

49、已知集合人={刈工<。},B={x\x2-3x+2<0},若AQ8=B,则实数。的取值范

围是（）

A.a<\B.a<\C.a>2D.a>2

50、设集合A={x|f一冗一6vO,xwZ},B=[z\z=\x-y\,XGA9yGA},则集合

AAB=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2）

2.2充分条件与必要条件

1、设XER,则“0<冗<5”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

2、设p:实数x,y满足心>1且户1,q:实数％,y满足x+y>2,则p是夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

3、设尤>0,ywR,则」>尸是“%>1田”的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分

也不必要条件

4、设小b是实数,则“0+b>O”是“办>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

5、设小人为正实数，则是“og2a>/og2b>0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必

要条件

6、设店£儿命题“若用》0，则方程/+*-m=0有实根''的逆否命题是（）

A.若方程/+x-二o有实艰，则m>0B.若方程+x—ni0有实根

则加<0

C.若方程/+》-阳=0没有实根，则町>0D.若方程m=0没有实根

则删40

7、命题“土。€（。.+工），In.%=%-1”的否定是()

A.3xt€（0.^x）,In/wx.-l