第3章一阶电路时域分析

第3章一阶电路的时域分析●

理解换路定律和过渡过程及时间常数等概念

教学目标与要求●掌握电容和电感元件的电压电流关系及对交直流的作用●熟练掌握分析一阶动态电路的三要素法，并对一阶RC电路进行正确分析

●了解RC电路的阶跃响应和冲激响应

3.1.1电阻元件1.定义：电路中表示电能消耗的元件3.1电阻元件、电感元件与电容元件2.电阻电路交流电路:R=u/i

直流电路:R=U/IR

的单位为欧［姆］（Ω）4.实物3.功率P=UI=U2/R=RI2耗能元件3.1.2电感元件设线圈匝数为N，则磁链:Ψ=NΦ

L电感:单位：韦[伯](Wb)单位：亨[利](H)下一节上一页

(a)电感器(b)理想电感元件1.定义L2.电感电压与电流的关系在直流电路中，u=?u=0L相当于短路若电感元件电压和电流取非关联参考方向

注意：以磁场能的形式储存于L中单位：焦[耳](J)当电感电流由0

i,所获得的能量

瞬时功率：3.功率3.1.3电容元件1.定义++––(a)电容器

(b)理想元件

法拉（F）电压与电流取关联参考方向：电容电压与电流的关系直流电路中，i=？i=0电容相当于开路当电容电压由0

u,所获得的能量

瞬时功率：以电场能的形式储存于电容器中

单位：焦[耳](J)

3.功率若电容元件电压和电流取非关联参考方向

注意：3.2换路与换路定律3.2.1过渡过程电路从一种稳定状态（简称“稳态”）过渡到另一种稳定状态所经历的中间过程称为过渡过程。1.过渡过程由于电路结构或参数的变化而导致电路工作状态发生的变化称为换路。2.换路3.产生过渡过程的条件(1)电路中含有储能元件(内因)(2)电路发生换路(外因)3.2.2换路定律∵

L储能：不能突变Cu\∵C储能：在换路瞬间储能元件的能量不能跃变电容电路：设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）电感电路：换路定律只适用于确定换路瞬间电容电压和电感电流的初始值。

注意：初始值的确定方法：(2)其它变量初始值的求法。(1)

uC(0+)、iL

(0+)

的求法。1)先由t=0-的电路求出

uC

(

0–)

、iL

(

0–)；

2)根据换路定律求出

uC(0+)、iL

(0+)。1)由t=0+的等效电路求其它变量的初始值；2)在t=0+时的电路中电容电压用

uC(0+)、电感电流用

iL

(0+)。重点【例3-1】

如图3.5（a）所示电路，若，。，，开关S闭合前电路已达稳态，时开关闭合。试求、、、和解:换路前，电路达到稳定，此时，电容视为开路，电感视为短路根据换路定律：换路后瞬间电路如图所示电容用9V电压源代替，电感用1A电流源代替。得到：电容电压和电感电流不发生跃变，其他变量均可能发生跃变。3.3RC电路的响应1.经典法:

根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2.三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。一阶电路求解方法代入上式得换路前电路已处稳态t=0时开关S由1换向2，电容C经电阻R放电。一阶线性常系数齐次微分方程(1)

列

KVL方程1.电容电压uC

的变化规律(t0)零输入响应

无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。实质：RC电路的放电过程3.3.1RC电路的零输入响应(2)解方程特征方程由初始值确定积分常数A齐次微分方程的通解：(3)电容电压uC

的变化规律令:时间常数单位:s(秒)由换路定则可知放电电流

电容电压的变化规律2.电容电流的变化规律电容电压uC

从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。即：时间常数

决定电路瞬态过程变化的快慢3.时间常数

的物理意义当

时时间常数等于电压衰减到初始值U0

的所需的时间。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U当t=5

时，过渡过程基本结束，uC

达到稳态值。理论上认为、电路达稳态。电容放电基本结束，工程上认为t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程分析：在t=0时，开关s闭合3.3.2RC电路的零状态响应换路前根据换路定则在t=0+时，当电路达到稳态时其通解=对应齐次微分方程的通解+任一特解确定积分常数A根据换路定则在t=0+时，(1)

列

KVL方程1.电容电压uC

的变化规律(2)

解方程(3)电容电压uC

的变化规律2.电流iC

的变化规律为什么在t=0时电流最大？思考：U0.632U

越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：当t=5

时,暂态基本结束,uC

达到稳态值。0.998Ut000.632U0.865U0.950U0.982U0.993UtO3.时间常数的物理意义3.3.3RC电路的全响应1.uC

的变化规律全响应:

电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理

全响应=零输入响应+零状态响应稳态分量零输入响应零状态响应瞬态分量全响应=稳态分量+瞬态分量全响应2.uC

的变化曲线

,开关合在1端，电路已处于稳态。t=0时开关由1端改合到2端。试求（1）换路后及的响应；（2）换路后降至7V时所需要的时间。【例3-2】在图3.8（a）所示电路中，若解：（1）（2）当时，根据得解得

因此，需要0.09s的时间降低到7V。据经典法推导结果全响应3.4一阶RC线性电路时域分析的三要素法可以看出，如果求出了初始值，稳态值和时间常数,就可以直接写出电容电压的全响应。------称为RC电路的三要素。由三要素按上式直接写出全响应的方法称为三要素法。利用三要素不仅能求出，还能求出电路中其他的电压和电流。可归纳为：待求函数稳态值初始值时间常数

求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (1)稳态值的计算响应中“三要素”的确定uC+-t=0C10V5k

1

FS例：5k

+-t=03

6

6

6mAS1H1)由t=0-

电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，I0,,电感元件视为开路。(2）若,电感元件用恒流源代替，其值等于注意：(2）初始值的计算

1)对于简单的一阶电路，R0=R

;

2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数

的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路注意：R0UO+-CR0

R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3三要素法求解暂态过程的要点终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出瞬态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入瞬态过程通用表达式；tf(t)O【例3-3】如图3.9（a）所示电路中，若

,换路前开关在a端，电路已稳定。换路后将开关合到b端。试求响应、和。解：（1）初始值的确定因换路前的电路稳定，故可将电容视为开路。根据换路定律得电容可用的电压源替代，如图（b）所示。根据分流公式得（2）稳态值的确定时，电容又视为开路，此时，其他稳态值（3）时间常数的确定写出各响应表达式利用除源等效法，换路后，除去电源（将电压源短路），如图（c）所示，从电容两端看进去的等效电阻3.5.1微分电路微分电路与积分电路是矩形脉冲激励下的RC电路。若选取不同的时间常数，可构成输出电压波形与输入电压波形之间的特定（微分或积分）的关系。1.电路条件(2)输出电压从电阻R端取出TtU0tp3.5RC电路在矩形脉冲信号时的响应2.分析由KVL由公式可知输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。3.波形tt1UtpOtO3.5.2积分电路条件(2)从电容器两端输出。由图：1.电路输出电压与输入电压近似成积分关系。2.分析TtU0tp3.波形t2Utt1tt2t1Utt2t1U

用作示波器的扫描锯齿波电压应用:u13.6RL电路的响应3.6.1RL

电路的零输入响应1.的变化规律换路前开关在

1处，电路已达稳态，当t=0时，将开关由1处换向2处。换路前电路已达稳态，电感电流根据换路定律列方程参照3.3.1中的分析计算方法可得

式中，称为一阶RL电路的时间常数，同时可得

上两式还可以写成

式中的负号表示的实际方向与图中所示的参考方向相反。2.的变化曲线

1)确定初始值

2)确定稳态值

3)确定电路的时间常数(三要素公式)三要素法3.6.2RL电路的零状态响应1.的变化规律三要素法2.

、、、的变化曲线

3.6.3RL电路的全响应1.的变化规律

（三要素法）2.的变化曲线

【例3-5】

如图3.16（a）所示电路中，换路前开关处于断开位置，电路已达稳态，t＝0时将开关S闭合。试求换路后、。解：采用三要素法求，。

（1）确定初始值、，换路前电路稳定，电感视为短路，据换路定律，有时的等效电路如图3.16（b）所示解得

，（2）确定稳态值，时，由图3.16（c）求得（3）确定时间常数或【例3-6】

如图3.17（a）所示电路中，换路前电路已稳定，t＝0时将开关S断开。试求换路后、。解：采用三要素法求，。

（1）

确定初始值、因为换路前电路稳定，电感可视为短路，则据换路定律得

时的等效电路如图3.17（b）所示，得到（2）确定稳态值，（3）确定时间常数则

3.7应用实例3.7.1照相闪光灯装置电子闪光灯是RC电路应用的一个例子，它利用了换路瞬间电容器的电压不能突变以及时间常数短的特点，瞬间产生强电流，使闪光灯动作。开关处于“1”时